1、8.3双曲线,一、双曲线的定义,平面内到两个定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数2a (小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点F1,F2叫做双曲线的焦点,两焦点F1,F2间的距离叫做双曲线的焦距.,(1)定义的数学表达式为:|PF1|-|PF2|=2a(2a|F1F2|).,(2)在双曲线的定义中,若2a=|F1F2|时,动点的轨迹是两条射线;当|F1F2|0,b0),其中c2=a2+b2,焦点坐标为(c,0);,2.焦点在y轴上的双曲线标准方程 -=1 (a0,b0),其中c2=a2+b2,焦点坐标为(0,c).,确定一个双曲线的标准方程,必须要有一个定位条件(即确定焦点的位
2、置)和两个条件(即确定a,b的大小),主要有定义法,二、双曲线的标准方程,、待定系数法,有时还可根据条件用代入法.用待定系数法求双曲线方程的一般步骤是:,第一,作判断:根据条件判断双曲线焦点在x轴上还是在y轴上,还是不确定在哪个坐标轴上.,第二,设方程:根据上述判断,设为-=1(a0,b0)或-=1(a0,b0),或者mx2-ny2=1(mn0).,第三,找关系:根据已知条件建立a,b,c或m,n的方程组.,第四,得方程:解方程组,将解代入所设方程,即为所求双曲线的标准方程.,三、双曲线的简单几何性质,三、双曲线的简单几何性质,一般而言:,(1)双曲线有两条对称轴,它们分别是两焦点的连线及两焦
3、点连线段的中垂线.,(2)双曲线都有两个顶点,顶点是曲线与它本身的对称轴的交点.,(3)离心率反映双曲线开口的程度,离心率越大,双曲线的开口越大.,(4)与双曲线-=1(a0,b0)共渐近线的双曲线方程都可以表示为-=(0),且其渐近线方程为-=0;如果双曲线的渐近线为y=x,则双曲线方程可设为-=(0)或 (bx)2-(ay)2=(0).,四、直线与双曲线的位置关系,设双曲线方程-=1(a0,b0),直线Ax+By+C=0,将直线方程与双曲线方程联立,消去y得到关于x的方程mx2+nx+p=0,(1)若m0,当0时,直线与双曲线有两个交点;,当=0时,直线与双曲线只有一个公共点;,当0时,直
4、线与双曲线无公共点.,(2)若m=0,则直线与双曲线只有一个公共点,此时直线与双曲线的渐近线平行.,1.已知F1(-3,0)、F2(3,0),且|PF1|-|PF2|=6,则动点P的轨迹是(),(A)双曲线.(B)双曲线的左支.,(C)双曲线的右支. (D)一条射线.,【解析】因为|PF1|-|PF2|=6,且|F1F2|=6,所以动点P的轨迹是以F2为端点的一条射线,即选D.,【答案】D,2.(2011年安徽卷)双曲线2x2-y2=8的实轴长是(),(A)2.(B)2 .(C)4.(D)4 .,【解析】双曲线方程可化为-=1,所以a2=4,得a=2,所以2a=4.故实轴长为4.,【答案】C,
5、3.已知双曲线的离心率为2,焦点是(-4,0)、(4,0),则双曲线方程是.,【解析】由已知有c=4,e=2,所以a=2,b2=12,所以双曲线的方程为-=1.,【答案】-=1,题型1双曲线的定义及应用,例1(1)如果双曲线 -=1上一点M到双曲线右焦点F2的距离是10,那么点M到左焦点F1的距离为(),(A)2或18.(B)6或14.,(C)6. (D)14.,(2)已知动圆M与圆C1:(x+5)2+y2=49、圆C2:(x-5)2+y2=1都外切,则动圆圆心M的轨迹方程是.,【分析】(1)由双曲线的方程确定2a,再根据双曲线的定义求,解;(2)根据两圆相外切的几何条件,寻求动圆圆心M满足的
6、几何条件,进行判断后,根据符合哪一种轨迹的定义求解即可.,【解析】(1)由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a=4,|PF2|=10,所以|PF1|=6或14.,(2)设动圆M的半径为R,则 所以|MC1|-|MC2|=60,b0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P,满足|PF2|=|F1F2|,且F2到直线PF1的距,离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为(),(A)3x4y=0.,(B)3x5y=0.,(C)4x3y=0.,(D)5x4y=0.,【解析】(1)由题意知 解之得,双曲线标准方程为-=1.,(2)设F2到直线PF1的距离为|HF2|,由已知得PF1F2是等腰
7、三角形,且|PF2|=|F1F2|=2c,|HF2|=2a,故|PH|=2b,|PF1|=4b,于是有2a=|PF1|-|PF2|=4b-2c,2b-c=a,c=2b-a,又a2+b2=c2,a2+b2=(2b-a)2,3b=4a,故渐近线方程为y=x=x,即4x3y=0.,【答案】(1)B(2)C,例2已知双曲线渐近线方程为2x3y=0.,(1)若双曲线经过P(,2),求双曲线方程;,(2)若双曲线的焦距是2 ,求双曲线方程;,(3)若双曲线顶点间的距离是6,求双曲线方程.,【分析】根据条件可设双曲线E的方程-=(0),再由其他条件求出的值即可.,题型2求双曲线的标准方程,【解析】由双曲线渐
8、近线方程y=x,可设双曲线方程为-=(0).,(1)双曲线过点P(,2),-=, =-,故所求双曲线方程为y2-x2=1.,(2)若0,则a2=9,b2=4,c2=a2+b2=13,由题设2c=2 ,=1,所求双曲线方程为-=1.,若0,a2=9,由题设2a=6,=1,所求双曲线方程为-=1.,若0,则a2=-4,由题设2a=6,=-,所求双曲线方程为- =1,故所求双曲线方程为-=1或- =1.,【点评】求双曲线标准方程(-=1)一般是用定义法直接求解,或运用待定系数法求双曲线标准方程,这是最常用的方法,其中待定系数法就是想方设法建立关于a、b的方程组,先,定型、再定量,若位置不确定时,考虑
9、是否有两解,有时为了解题需要,双曲线方程可设为mx2+ny2=1 (mn0),由题目所给条件求出m、n即可.,合理利用下述结论求双曲线的方程可简化解题过程,提高解题效率.,(1)与双曲线-=1有共同渐近线的双曲线方程可设为 -=t(t0);,(2)若双曲线的渐近线方程为y=x,则双曲线方程可设为-=t(t0)或(bx)2-(ay)2=t(t0);,(3)与双曲线-=1共焦点的双曲线方程可设为 - =1(-b2ka2);,(4)过两个已知点的双曲线方程可设为+=1(mnb0)共焦点的双曲线方程可设为 - =1(b2k0,b0),且c=5.,又e=,a=4,b2=c2-a2=9.,双曲线的标准方程
10、为-=1.,(法二)(设共焦点双曲线系方程),椭圆的焦点在x轴上,可设双曲线方程为 - =1(240,k=2.,所求Q的坐标为(2,0).,【点评】有关直线与圆锥曲线的位置关系问题,通常转化为一元二次方程根的问题来讨论,从而可以利用根与系数之间的关系转化为含有特定系数的方程来求解.,注意直线与双曲线有一个公共点的情况时,只讨论是不够的,还应讨论二次项系数等于0的情况,此时解得的斜,率k恰好等于双曲线渐近线的斜率,这样的直线l与双曲线相交,交点只有一个,所以,直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件,而对于椭圆则是充要条件.,变式训练4设双曲线C:-y2=1(a0)与直线l:x
11、+y=1相交于两个不同的点A和B.,(1)求双曲线C的离心率e的取值范围;,(2)设直线l与y轴的交点为P,且 = ,求a的值.,【解析】(1)由双曲线C:-y2=1(a0)与直线l:x+y=1相交于两个不同的点,知方程组 有两个不同的实数解.,消去y并整理得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0,所以 解得0a 且e .,即双曲线C的离心率e的取值范围为(, )( ,+).,(2)设A(x1,y1)、B(x2,y2),由题设知P(0,1).,而 = ,所以(x1,y1-1)= (x2,y2-1),所以x1=x2.,又由于x1、x2是方程的两根,且1-a20,所以 即,消去x2,得- = .,
12、所以a=(a=-与题设不合,舍去).,1.应用双曲线定义时要注意“绝对值是一常数,且该常数小于两定点的距离”,弄清是指整条双曲线,还是双曲线的哪一支.若无“绝对值”三字,则为双曲线一支.,2.求双曲线标准方程的方法,(1)定义法,根据题目的条件,若满足定义,求出相应a、b、c即可求得方程.,(2)待定系数法:,待定系数法的步骤,待定系数法求双曲线方程的常用方法:,3.双曲线的几何性质与代数中的方程、平面几何的知识联系密切,解题时要深刻理解确定双曲线的形状、大小的几个主要特征量,如a、b、c、e的几何意义及它们的相互关系,充分利用双曲线的渐近线方程,简化解题过程.,4.类比双曲线与椭圆的性质时,
13、要突出双曲线的渐近线,特别是由渐近线方程求双曲线方程时,不能直接写出双曲线方程,如渐近线方程是=0,要把双曲线方程写成-=,再根据已知条件确定的值,求出双曲线方程.若求得0,则焦点在x轴上,若求得|PF1|.,【正解】由题设a=2,b=3,c= = ,由于|PF1|=50,n0,且a= ,c= , m=,n=,mn= .,【答案】A,4.(高度提升)如图所示,F为双曲线C:-=1的左焦点,双曲线C上的点Pi与P7-i(i=1,2,3)关于y轴对称,则|P1F|+|P2F|+|P3F|-|P4F|-|P5F|-|P6F|的值是(),(A)9.(B)16.(C)18.(D)27.,【解析】设双曲线
14、的右焦点为F,且由双曲线C上的点Pi与P7-i(i=1,2,3)关于y轴对称,|P6F|=|P1F|,|P5F|=|P2F|,|P4F|=|P3F|,则|P1F|+|P2F|+|P3F|-|P4F|-|P5F|-|P6F|,=(|P1F|-|P1F|)+(|P2F|-|P2F|)+(|P3F|-|P3F|)=32a=18.,【答案】C,5.(高度提升)已知点F1、F2分别是双曲线-=1(a0,b0)的左、右焦点,过F1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A,B两点,若ABF2是锐角三角形,则该双曲线离心率的取值范围是(),(A)(1, ).(B)( ,2 ).,(C)(1+ ,+).(D)(1,1
15、+ ).,【解析】由题意可得A(-c,),B(-c,-),所以 =(-2c,), =(-2c,-), =4c2-()20,e4-6e2+10,1e1+ .,【答案】D,6.(基础再现)若双曲线x2+ky2=1的离心率是2,则实数k的值是.,【解析】由题意可得k0,b0),则,解得,所以所求双曲线的方程为-=1.,【答案】-=1,8.(视角拓展)已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2,过点F2作与x轴垂直的直线与双曲线的一个交点为P,且PF1F2=,则双曲线的渐近线方程为.,【解析】设|PF2|=2m(m0),由题意可知三角形PF2F1为直角三角形,且PF1F2=,所以|PF1|=4m,|F1F
16、2|=2 m,所以2a=4m-2m=2m,2c=2 m,得a=m,c= m,从而b= = m,故所求双曲线的渐近线方程是y=x= x.,【答案】y= x,9.(高度提升)已知P是双曲线-=1上的动点,F1、F2分别是双曲线的左、右焦点,M是F1PF2的角平分线上的一点,且 =0,O为坐标原点,则|OM|=.,【解析】如图, =0,F2MMP,延长F2M交F1P于点N,PM是F1PF2平分线,|PN|=|PF2|,M为F2N的中点,在F1NF2中,OM为中位线,|OM|=|F1N|=(|PF1|-|PN|)=(|PF1|-|PF2|)=2a=3.,【答案】3,10.(视角拓展)已知双曲线3x2-
17、y2=12的中心为O,左右焦点分别为F1、F2,左顶点为A.,(1)求双曲线的实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程;,(2)设过点A且平行于y轴的直线交双曲线的两条渐近线分别于B、C两点,求四边形F1COB的面积.,【解析】(1)双曲线的标准方程为 - =1,a2=4,b2=12,a=2,b=2 ,三、解答题(本大题共3小题,每小题14分),c= = =4,所以双曲线的实轴长为2a=4,虚轴长为2b=4 ,离心率为e=2,渐近线方程为y= x.,(2)A(-2,0), F1(-4,0),过A点且平行于y轴的直线方程为x=-2.,tanF1OB= ,F1OB=60,由对称性知F1OB为正三角形,四
18、边形F1COB为边长为4的菱形., =242=8 .,11.(高度提升)已知双曲线的离心率为2,焦点到渐近线的距离等于 ,过右焦点F2的直线l交双曲线于A、B两点,F1为左焦点.,(1)求双曲线的方程;,(2)若F1AB的面积等于6 ,求直线l的方程.,【解析】(1)依题意b= ,=2,则a=1,c=2,双曲线的方程为x2-=1.,(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),F2(2,0),易知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x-2),由 消元得(k2-3)x2-4k2x+4k2+3=0,显然k ,x1+x2= ,x1x2= ,y1-y2=k(x1-x2),F1AB的面积S=c|y1
19、-y2|=2|k|x1-x2|,=2|k|,=2|k| = 6 ,所以k4+8k2-9=0,k2=1,k=1,所以直线l的方程为y=(x-2).,12.(高度提升)已知双曲线C的中心在坐标原点,渐近线方程是3x2y=0,左焦点的坐标为(- ,0),A、B为双曲线C上的两个动点,满足 =0.,(1)求双曲线C的方程;,(2)求 + 的值;,(3)动点P在线段AB上,满足 =0,求证:点P在定圆上.,【解析】(1)由题意,设双曲线方程为-=1(a0,b0),则c=,由=,c2=a2+b2得a=2,b=3,所以双曲线C的方程为-=1.,(2)当过A、B两点的直线斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx
20、+m,代入双曲线方程得,(9-4k2)x2-8kmx-4m2-36=0, x1+x2= , x1x2=- ,y1y2=(1+m2+m)=k2x1x2+(x1+x2)+m2=,y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=,又 =0,x1x2+y1y2=0,即- + =0,5m2=36(k2+1),=64k2m2+16(m2+9)(9-4k2)=64m2+161170.,设原点O到直线AB的距离为d,则d= .,又| |2| |2=d2| |2, + = = = .,当直线AB的斜率不存在时,设直线AB的方程为x=n,则求得上式值也为.,(3)由三角形面积公式,得| | |=| | |,| | |=| | |,| |2(| |2+| |2)=| |2| |2,即| |2( + )=1| |2= .,所以,点P在以原点为圆心,为半径的圆上.,
