1、平面与平面垂直的判定,1.理解二面角，面面垂直的概念. 2.掌握二面角的平面角，面面垂直的判定定理. 3.能够利用面面垂直的判定定理判断或证明有关面面垂直的问题.,1.本课重点是面面垂直的判定定理以及应用. 2.本课难点是二面角的概念的理解以及求法.,1.二面角 (1)定义：从一条直线出发的_所组成的图形. (2)相关概念： 这条直线叫二面角的_，两个半平面叫二面角的_.,两个半平面,棱,面,(3)画法：,(4)记法：二面角_或_或_.,-l-,P-AB-Q,P-l-Q,(5)二面角的平面角:,则二面角-l-的平面角是_. (6)范围：_.,AOB,0二面角180,2.两个平面互相垂直 (1)
2、定义:两个相交平面，所成的二面角是_. (2)画法：通常把直立平面的竖边画成与水平面的_.(3)记作：_.,直二面角,横边垂直,平面平面,3.两平面垂直的判定定理 (1)自然语言 条件：一个平面过另一个平面的_. 结论：两平面_.,垂线,垂直,(2)图形语言(3)符号语言_.,1.剖析二面角 (1)二面角的平面角可以度量二面角的大小，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度，约定二面角的取值范围是0,，平面角是直角的二面角叫做直二面角. (2)构成二面角的平面角的三要素 角的顶点在二面角的棱上； 角的两边分别在表示二面角的两个半平面内； 角的两边分别和二面角的棱垂直.,2.对面面垂直的判
3、定定理的理解 (1)该定理可简记为“线面垂直，则面面垂直”. (2)定理的关键词是“过另一面的垂线”，所以应用的关键是在平面内寻找另一个面的垂线. (3)线、面之间的垂直关系存在如下转化特征：线线垂直线面垂直面面垂直，这体现了立体几何问题求解的转化思想，应用时要灵活把握.,面面垂直的判定与证明 【技法点拨】证明面面垂直的方法 (1)定义法:即说明两个半平面所成的二面角是直二面角; (2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”； (3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面.,【典例训练】 1.(2012新课标全国高考)
4、如图，三棱 柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直底面，ACB =90，AC=BC= AA1，D是棱AA1的中点. (1)证明：平面BDC1平面BDC; (2)平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两 部分体积的比.,2.如图所示，已知BSC=90，BSA=CSA=60,又SA=SB=SC.求证：平面ABC平面SBC.,【解析】1.(1)由题设知BCCC1，BCAC，CC1AC=C，所以BC平面ACC1A1， 又DC1平面ACC1A1，所以DC1BC. 由题设知A1DC1=ADC=45，所以CDC1=90，即DC1DC.又DCBC=C，所以DC1平面BDC，又DC1平面BDC1，故平面BDC1平面BD
5、C.,(2)设棱锥B-DACC1的体积为V1,AC=1，由题意得 V1= 又三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=1，所以(V-V1)V1=11. 故平面BDC1分此棱柱所得两部分体积的比为11.,2.方法一：(利用定义证明) BSA=CSA=60，SA=SB=SC， ASB和ASC是等边三角形， 则有SA=SB=SC=AB=AC，令其值为a， 则ABC和SBC为共底边BC的等腰三角形. 取BC的中点D，如图所示， 连接AD，SD，则ADBC，SDBC， ADS为二面角A-BC-S的平面角.,在RtBSC中，SB=SC=a，SD= BD= .在RtABD中，AD= 在ADS中，SD2+AD2=S
6、A2,ADS=90，即二面角A-BC-S为直二面角，故平面ABC平面SBC.,方法二：(利用判定定理) SA=SB=SC，且BSA=CSA=60,SA=AB=AC，点A在平面SBC上的射影为SBC的外心. SBC为直角三角形，点A在SBC上的射影D为斜边BC的中点，AD平面SBC. 又AD平面ABC，平面ABC平面SBC.,【变式训练】如图，在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中，ADBC，ABC=90，PA平面ABCD，ACBD=E，AD=2，AB=2 ，BC=6.求证：平面PBD平面PAC.,【解题指导】条件中给出了线面垂直及底面梯形的形状.证明本题的突破口是设法在其中一个平面内找一条直线
7、垂直于另外一个平面.,【证明】PA平面ABCD，BD平面ABCD，BDPA. 又tanABD= ,tanBAC= ABD=30,BAC=60, AEB=90,即BDAC. 又PAAC=A，BD平面PAC. BD平面PBD，所以平面PBD平面PAC.,【规范解答】线面垂直的综合应用 【典例】(12分)如图所示，已知三 棱锥P-ABC，ACB=90，CB=4， AB=20，D为AB的中点，且PDB是 正三角形，PAPC. (1)求证：平面PAC平面ABC； (2)求二面角D-AP-C的正弦值； (3)若M为PB的中点，求三棱锥M-BCD的体积.,【解题指导】,【规范解答】(1)D是AB的中点，PD
8、B是正三角形， AB=20，PD= AB=10，APPB. 又APPC，PBPC=P， AP平面PBC.2分 又BC平面PBC，APBC. 又ACBC，APAC=A， BC平面PAC. 又BC平面ABC，平面PAC平面ABC.4分,(2)PAPC,且PAPB， BPC是二面角D-AP-C的平面角. 由(1)知BC平面PAC，则BCPC， sinBPC= 8分,(3)D为AB的中点，M为PB的中点， DM PA，且DM= 由(1)知PA平面PBC， DM平面PBC， SBCM= SPBC= VM-BCD=VD-BCM= 12分,【规范训练】(12分)在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，
9、MA平面ABCD，PDMA，E，G，F分别为MB，PB，PC的中点，且AD=PD=2MA.,(1)求证：平面EFG平面PDC； (2)求三棱锥P-MAB与四棱锥P-ABCD的体积之比.,【解题设问】(1)在证明(1)中，可先证明BC垂直于哪一个 平面？BC_. (2)求解三棱锥P-MAB的体积的关键是什么？_ _，由PDMA可将距离转化为点_到平面 MAB的距离.,平面PDC,关键是求点,P到平面MAB的距离,D,【规范答题】(1)由已知MA平面ABCD，PDMA，所以PD平面ABCD. 又BC平面ABCD，所以PDBC.2分 因为四边形ABCD为正方形，所以BCDC. 又PDDC=D，因此B
10、C平面PDC.4分 在PBC中，因为G，F分别为PB，PC的中点， 所以GFBC，因此GF平面PDC. 又GF平面EFG，所以平面EFG平面PDC.6分,(2)因为PD平面ABCD，四边形ABCD为正方形，不妨设MA=1，则PD=AD=2， 所以VP-ABCD= S正方形ABCDPD= .8分 由于DA平面MAB，且PDMA，所以DA的长即为点P到平面 MAB的距离. 三棱锥VP-MAB= 10分 所以VP-MABVP-ABCD=14.12分,1.对于直线m，n和平面，能得出的一个条件 是( ) (A)mn,m,n (B)mn,=m,n (C)mn,n,m (D)mn,m,n,2.过空间一点的
11、三条直线两两垂直，则由它们确定的平面中互相垂直的有( ) (A)0对 (B)1对 (C)2对 (D)3对,2.过空间一点的三条直线两两垂直，则由它们确定的平面中互相垂直的有( ) (A)0对 (B)1对 (C)2对 (D)3对 1【解析】选C.mn,n则m，又m，所以.2【解析】选D.三条直线两两垂直,其中任何一条直线都垂直于另两条直线确定的平面，从而过此直线的两个平面垂直于另两条直线确定的平面(如墙角).,3.m，n是互不垂直的异面直线，平面，分别过m，n，则下列关系中，不可能成立的是( ) (A)n (B) (C)m (D),3.m，n是互不垂直的异面直线，平面，分别过m，n，则下列关系中，不可能成立的是( ) (A)n (B) (C)m (D) 【解析】选C.m时，n,则m，n互相垂直，与已知条件矛盾，所以m不可能成立.,5.如图所示，在RtAOB中，ABO= ，斜边AB=4，RtAOC 可以通过RtAOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B-AO-C是 直二面角，D是AB的中点. 求证：平面COD平面AOB.,【证明】由题意知，COAO，BOAO，BOC是二面角B-AO-C的平面角，又二面角B-AO-C是直二面角， COBO.又AOBO=O,CO平面AOB. CO平面COD，平面COD平面AOB.,
