1、集合及运算的概念集合:一般的，一定范围内某些确定的，不同的对象的全体构成一个集合。子集:对于两个集合 A 和 B，如果集合 A 中的任意一个元素都是集合 B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合 A 是集合 B 的子集，记作AB 读作 A 包含于 B空集:不含任何元素的集合叫做空集。记为 集合的三要素:确定性、互异性、无序性集合的表示方法:列举法、描述法、视图法、区间法集合的分类:(按集合中元素个数多少分为:)有限集、无限集、空集常见数集“N“全体非负整数 (或自然数) 组成的集合“N+“或“N*“所有正整数组成的集合“Z“全体整数组成的集合“Q“全体有理数组成的集合“R“全体实数组
2、成的集合关系:元素属于集合:aA集合与集合:A B，A=B运算:交集:由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合，叫做集合A 与集合 B 的交集。记作 AB并集:由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合，叫做集合 A 与B 的并集记作 AB补集:由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合，记为 CuA运算的基本性质集合的运算性质(1)AB=BA;ABA;ABB;AU=A;AA=A;A=;(2)AB=BUA; AAB; BAB;AU=U;A A=A;A=A ;(3)Cu(CuA)=A;Cu=U;CuU=;ACuA=;ACuA=U (摩根定律或反演律);(4)AB，B
3、 A，则 A=B， AB，B C，则 AC常用结论(1) ABAB=A;ABAB=B; AB=ABA=B(2) CuACuB=Cu(AB)，CuACuB=Cu(AB)-德摩根律折叠编辑本段有关公式折叠抛物线折叠三角函数两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B)=(cot
4、AcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)倍角公式tan2=2tan/(1-tan2() sin2=2sincoscos2=cos2()-sin2()=2cos2()-1=1-2sin2()sin+sin(+2/n)+sin(+2*2/n)+sin(+2*3/n)+sin+2*(n-1)/n=0cos+cos(+2/n)+cos(+2*2/n)+cos(+2*3/n)+cos+2*(n-1)/n=0 及sin2()+sin2(-2/3)+sin2(+2/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A
5、+B)=0万能公式:sin=2tan(/2)/1+tan2(/2)cos=1-tan2(/2)/1+tan2(/2)tan=2tan(/2)/1-tan2(/2)半角公式sin(A/2)=(1-cosA)/2)cos(A/2)=(1+cosA)/2)tan(A/2)=(1-cosA)/(1+cosA)cot(A/2)=(1+cosA)/(1-cosA)和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)+cos(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sin
6、B=2sin(A+B)/2)cos(A-B)/2 cosA+cosB=2cos(A+B)/2)cos(A-B)/2)tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBcotA+cotBsin(A+B)/sinAsinB -cotA+cotBsin(A+B)/sinAsinB某些数列前 n 项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+n2=n(n+1)(2n+
7、1)/613+23+33+43+53+63+n3=(n(n+1)/2)2 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注: 其中 R 表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosB 注 :角 B 是边 a 和边 c 的夹角乘法与因式分解a2-b2=(a+b)(a-b) , a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) ,a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)三角不等式 |a+b|a|+|b| |a-b|a|+|b| |a|b-bab|a-b|a|-|b| -|a|a|a|一元二次
8、方程的解 -b+(b2-4ac)/2a -b-(b2-4ac)/2a根与系数的关系 x1+x2=-b/a x1*x2=c/a 注:韦达定理判别式 b2-4ac=0 注:方程有相等的两实根b2-4ac0 注:方程有两个不相等的个实根b2-4ac0抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c*h正棱锥侧面积 S=1/2c*h 正棱台侧面积 S=1/2(c+c)h圆台侧面积 S=1/2(c+c)l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l弧
9、长公式 l=a*r a 是圆心角的弧度数 r 0 扇形面积公式 s=1/2*l*r锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h斜棱柱体积 V=SL 注:其中,S是直截面面积， L 是侧棱长柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h图形周长 面积 体积公式长方形的周长=(长+宽)2正方形的周长=边长4长方形的面积=长 宽正方形的面积=边长 边长三角形的面积已知三角形底 a，高 h，则 S=ah/2已知三角形三边 a,b,c,半周长 p,则 S= p(p - a)(p - b)(p - c) (海伦公式)(p=(a+b+c)/2)和:(a+b+c)*(a+b-
10、c)*1/4已知三角形两边 a,b,这两边夹角 C，则 S=absinC/2设三角形三边分别为 a、 b、c，内切圆半径为 r则三角形面积=(a+b+c)r/2设三角形三边分别为 a、 b、c，外接圆半径为 r则三角形面积=abc/4r已知三角形三边 a、b 、c,则 S= 1/4c2a2-(c2+a2-b2)/2)2 (“三斜求积“ 南宋秦九韶 )| a b 1 |S=1/2 * | c d 1 | e f 1 | a b 1 | c d 1 | 为三阶行列式,此三角形 ABC 在平面直角坐标系内 A(a,b),B(c,d), C(e,f),这里 ABC| e f 1 |选区取最好按逆时针顺
11、序从右上角开始取，因为这样取得出的结果一般都为正值，如果不按这个规则取，可能会得到负值，但不要紧，只要取绝对值就可以了，不会影响三角形面积的大小!秦九韶三角形中线面积公式:S=(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)/3其中 Ma,Mb,Mc 为三角形的中线长.平行四边形的面积=底 高梯形的面积=(上底+下底)高2直径=半径2 半径= 直径2圆的周长=圆周率 直径=圆周率半径2圆的面积=圆周率 半径半径长方体的表面积=(长宽 +长高 +宽高)2长方体的体积 =长 宽高正方体的表面积=棱长 棱长 6正方体的体积=棱长 棱长 棱长圆柱的侧面积=底面圆的
12、周长 高圆柱的表面积=上下底面面积+ 侧面积圆柱的体积=底面积 高圆锥的体积=底面积 高3长方体(正方体、圆柱体)的体积=底面积 高平面图形名称 符号 周长 C 和面积 S正方形 a-边长 C=4aS=a2长方形 a 和 b-边长 C=2(a+b)S=ab三角形 a,b,c-三边长h-a 边上的高s-周长的一半A,B,C-内角其中 s=(a+b+c)/2 S=ah/2=ab/2?sinC=s(s-a)(s-b)(s-c)1/2=a2sinBsinC/(2sinA)折叠编辑本段有关定理1 过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 在同一平面内，
13、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7 平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行或垂直，这两条直线也互相平行9 同位角相等，两直线平行10 内错角相等，两直线平行11 同旁内角互补，两直线平行12 两直线平行，同位角相等13 两直线平行，内错角相等14 两直线平行，同旁内角互补15 定理 三角形两边的和大于第三边16 推论 三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于 18018 推论 1 直角三角形的两个锐角互余19 推论 2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个
14、内角的和20 推论 3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21 全等三角形的对应边、对应角相等22 边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23 角边角公理(ASA) 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27 定理 1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28 定理 2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上29 角的平分线是到角的两边距
15、离相等的所有点的集合30 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角)31 推论 1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33 推论 3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于 6034 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等( 等角对等边)35 推论 1 三个角都相等的三角形是等边三角形36 推论 2 有一个角等于 60的等腰三角形是等边三角形37 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30那么它所对的直角边等于斜边的一半38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半
16、39 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42 定理 1 关于某条直线对称的两个图形是全等形43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44 定理 3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上45 逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46 勾股定理 直角三角形两直角边 a、b 的平方和、等于斜边 c 的平方，即a2+b2=c247
17、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a、b、 c 有关系 a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形48 定理 四边形的内角和等于 36049 四边形的外角和等于 36050 多边形内角和定理 n 边形的内角的和等于(n-2)18051 推论 任意多边的外角和等于 36052 平行四边形性质定理 1 平行四边形的对角相等53 平行四边形性质定理 2 平行四边形的对边相等54 推论 夹在两条平行线间的平行线段相等55 平行四边形性质定理 3 平行四边形的对角线互相平分56 平行四边形判定定理 1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形57 平行四边形判定定理 2 两组对边分别相等的四边形是平
18、行四边形58 平行四边形判定定理 3 对角线互相平分的四边形是平行四边形59 平行四边形判定定理 4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形60 矩形性质定理 1 矩形的四个角都是直角61 矩形性质定理 2 矩形的对角线相等62 矩形判定定理 1 有三个角是直角的四边形是矩形63 矩形判定定理 2 对角线相等的平行四边形是矩形64 菱形性质定理 1 菱形的四条边都相等65 菱形性质定理 2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角66 菱形面积=对角线乘积的一半，即 s=(ab)267 菱形判定定理 1 四边都相等的四边形是菱形68 菱形判定定理 2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形6
19、9 正方形性质定理 1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等70 正方形性质定理 2 正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角71 定理 1 关于中心对称的两个图形是全等的72 定理 2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分73 逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称74 等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等75 等腰梯形的两条对角线相等76 等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77 对角线相等的梯形是等腰梯形78 平行线等分线段定理 如果一组平行线在一
20、条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等79 推论 1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰80 推论 2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边81 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半82 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 l=(a+b)2 s=lh83 (1)比例的基本性质 如果 a:b=c:d,那么 ad=bc 如果 ad=bc,那么 a:b=c:d84 (2)合比性质 如果 a/b=c/d,那么(ab)/b=(cd)/d85 (3)等比性质 如果 a/b=c/d=m/n(b+d+n0),那么
21、 (a+c+m)/(b+d+n)=a/b86 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例87 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边 (或两边的延长线)，所得的对应线段成比例88 定理 如果一条直线截三角形的两边 (或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90 定理 平行于三角形一边的直线和其他两边 (或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似91 相似三角形判定定理 1 两角对应相等，两三角形相似(asa)92 直角三角形被斜边上的高分
22、成的两个直角三角形和原三角形相似93 判定定理 2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似(sas)94 判定定理 3 三边对应成比例，两三角形相似(sss)95 定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似96 性质定理 1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97 性质定理 2 相似三角形周长的比等于相似比98 性质定理 3 相似三角形面积的比等于相似比的平方99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的
23、余切值等于它的余角的正切值101 圆是定点的距离等于定长的点的集合102 圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103 圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104 同圆或等圆的半径相等105 到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆106 和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线107 到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线108 到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109 定理 不在同一直线上的三点确定一个圆。110 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧111 推
24、论 1 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧112 推论 2 圆的两条平行弦所夹的弧相等113 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形114 定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等115 推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等116 定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半117 推论 1 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对
25、的弧也相等118 推论 2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90的圆周角所 对的弦是直径119 推论 3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形120 定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角121直线 l 和o 相交 dr122 切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线123 切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径124 推论 1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点125 推论 2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心126 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切
26、线的夹角127 圆的外切四边形的两组对边的和相等128 弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角129 推论 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等130 相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等131 推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项132 切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项133 推论 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等134 如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上135两圆外离 dr+r 两圆外切 d=r+r两圆相交 r-
27、rr)两圆内切 d=r-r(rr) 两圆内含 dr)136 定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦137 定理 把圆分成 n(n3):依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正 n 边形经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正 n 边形138 定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆139 正 n 边形的每个内角都等于(n-2)180/n140 定理 正 n 边形的半径和边心距把正 n 边形分成 2n 个全等的直角三角形141 正 n 边形的面积 sn=pnrn/2 p 表示正 n 边形的周长142 正三角形面积 3a/4 a 表示边长14
28、3 如果在一个顶点周围有 k 个正 n 边形的角，由于这些角的和应为360，因此 k(n-2)180/n=360化为(n-2)(k-2)=4144 弧长计算公式 :l=nr/180145 扇形面积公式 :s 扇形 =nr2/360=lr/2146 内公切线长 = d-(R-r) 外公切线长= d-(r+r)147 等腰三角形的两个底角相等148 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合 三线合一149 如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等 等边对等角150 三条边都相等的三角形叫做等边三角形折叠编辑本段函数知识点折叠函数1.函数的概念:设 A、B 是非空的数集
29、，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f:AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数 .记作: y=f(x)，xA.其中，x叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域. 注意:1.定义域:能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: (1)分式的分母不等于零 ;(2)偶次方根的被开方数不小于零;(3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于
30、 1;(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的。那么，它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零，(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义 .。折叠函数性质1.函数的单调性( 局部性质) (1)增函数设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1， x2，当 x1f(x2)，那么就说 f(x)在这个区间上是减函数。区间 D 称为 y=f(x)的单调减区间。注意:函数的单调性是函数的局部性质。图象的特点如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数 y=f(x)在这一
31、区间上具有( 严格的 )单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的。函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法 :1 任取 x1，x2D，且 x1x2;2 作差 f(x1)-f(x2);3 变形(通常是因式分解和配方);4 定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负);5 下结论(指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性)。(B)图象法 (从图象上看升降)(C)复合函数的单调性复合函数 fg(x)的单调性与构成它的函数 u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律:“ 同增异减“ 。注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集。
