1、郝海龙：考研数学复习大全配套光盘 2011 年数学试题答案和评分参考 2011 年 第 1 页 2011 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题 答案 和评分 参考 数 学（一） 一选择题 ( 1 8 小题，每小题 4 分，共 32 分 .) (1) 曲线 2 3 4( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 )y x x x x 的拐点是 （ C） (A) (1,0) (B) (2,0) (C) (3,0) (D) (4,0) (2) 设 数列 na 单调减少， lim 0nn a ，1 ( 1, 2 , )nnkkS a n无界，则幂级数1 ( 1)nnn ax 的收敛域为 （ C） (A
2、) ( 1,1 (B) 1,1) (C) 0,2) (D) 0,2( (3) 设 函数 ()fx具有二阶连续导数，且 ( ) 0, (0) 0f x f ，则函数 ( )ln ( )z f x f y= 在点 (0,0) 处取得极小值的一个 充分条件是 （ A） (A) (0) 1, (0) 0ff (B) (0) 1, (0) 0ff (C) (0) 1, (0) 0ff (D) (0) 1, (0) 0ff (4) 设 40 ln sinI xdx , 40 ln cotJ xdx , 40 ln cosK xdx , 则 ,IJK的大小关系为（ B） (A) I J K (B) I K
3、J (C) J I K (D) K J I (5) 设 A 为 3 阶 矩阵 ，将 A 的第 2 列加到第 1 列得 矩阵 B ，再交换 B 的第 2 行与第 3 行得单位矩阵 .记11 0 01 1 00 0 1P ， 21 0 00 0 10 1 0P ， 则 A （ D） (A) 12PP (B) 112PP (C) 21PP (D) 121PP (6) 设 1 2 3 4( , , , ) A 是 4 阶 矩阵 ， *A 为 A 的伴随 矩阵 .若 (1,0,1,0)T 是方程组 0xA 的一个基础解系， 则 * 0xA 的基础解系可为 （ D） (A) 13, (B) 12, (C)
4、 1 2 3, (D) 234, (7) 设 1()Fx与 2()Fx为 两个 分布 函数，其相应的 概率密度 1()fx与 2()fx是连续函数，则必为 概率密度 的是 （ D） (A) 12( ) ( )f x f x (B) 212 ( ) ( )f x F x (C) 12( ) ( )f x F x (D) 1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( )f x F x f x F x 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘 2011 年数学试题答案和评分参考 2011 年 第 2 页 (8) 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 EX 与 EY 存在，记 max , U X Y ， min
5、, V X Y ， 则 ()EUV （ B） (A)EUEV (B) EX EY (C) EUEY (D) EX EV 二、填空题：（ 9 14 小题，每小题 4 分，共 24 分 .） (9) 曲线0 ta n ( 0 )4xy tdt x 的弧长 s ln(1 2) (10) 微分方程 cosxy y e x 满足条件 (0) 0y 的解为 y sinxex (11) 设函数20 sin( , ) 1xy tF x y dtt ， 则 22 02xyFx 4 . (12) 设 L 是柱面 221xy与平面 z x y 的交线，从 z 轴正向往 z 轴负向看去为逆时针 方向，则曲线积分 22
6、yL xzdx xdy dz . (13) 设 二次曲面 的 方程 2 2 23 2 2 2 4x y z a x y x z y z 经正交变换化为221144yz， 则 a 1 . (14) 设 二维 随机变量 ( , )XY 服从正态分布 22( , ; , ;0)N ， 则 2()EXY 23 . 三、解答题 ( 15 23 小题，共 94 分 . ) (15)（本题满分 10 分） 求极限 1 10ln(1 )lim xexxx . 解： 记 1 1ln(1 ) xexyx . 当 0x 时， ln ln (1 ) lnln 1x xxy e ， 0 0 011l n l n ( 1
7、 ) l n( 1 ) l n ( 1 )l im l n l im l im11xx x xxx x x xye 4 分 0(1 ) ln (1 )lim (1 ) ln (1 )xx x xx x x 20 (1 ) ln (1 )limx x x xx 01 ln (1 ) 1 1lim 22xxx . 9 分 当 0x 时， ln ln (1 ) ln ( )ln 1x xxy e ， 00l n l n (1 ) l n ( ) 1l i m l n l i m 12x xxy e . 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘 2011 年数学试题答案和评分参考 2011 年 第 3 页 综
8、上可知， 1 10ln (1 ) 1lim xexxx e . 10 分 (16)（本题满分 9 分） 设 函数 ( , ( )z f xy yg x ，其中函数 f 具有二阶连续偏导数，函数 ()gx 可 导且在 1x处取得极值 (1) 1g ，求 211xyzxy . 解： 由题意 (1) 0g 2 分 因为 12()z yf yg x fx ， 4 分 21 1 1 1 2 2 2 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) z f y x f g x f g x f y g x x f g x fxy ， 8 分 所以 211xyzxy 1 1 1 1 2(1 , 1 ) (1 , 1
9、 ) (1 , 1 )f f f . 9 分 (17)（本题满分 10 分） 求方程 arctan 0k x x不同实根的个数，其中 k 为参数 . 解： 令 ( ) arcta nf x k x x，则 ()fx是 ( , ) 上的奇函数，且221(0 ) 0 , ( ) 1kxf f x x . 3 分 当 10k 即 1k 时 ， ( ) 0 ( 0)f x x ， ()fx在 ( , ) 内单调减少， 方程 ( ) 0fx 只有一个实根 0x . 5 分 当 10k 即 1k 时，在 (0, 1)k 内， ( ) 0fx ， ()fx单调增加； 在 ( 1, )k 内， ( ) 0fx
10、 ， ()fx单调减少， 所以 ( 1)fk 是 ()fx在 (0, ) 内的最大值 . 由于 (0) 0f ，所以 ( 1) 0fk. 又 a r c t a nl i m ( ) l i m ( 1 )xxkxf x x x ，所以存在 ( 1, )k ，使得 ( ) 0f . 由 ()fx是奇函数及其单调性可知： 当 1k 时，方程 ( ) 0fx 有且仅有三个不同实根 , 0,x x x . 10 分 (18)（本题满分 10 分） （ I） 证明：对任意的正整数 n ，都有 1 1 1ln(1 )1n n n 成立 . 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘 2011 年数学试题答案和评分
11、参考 2011 年 第 4 页 （ II） 设 111 l n ( 1 , 2 , )2na n nn ，证明数列 na 收敛 . 解： （ I） 根据拉格朗日中值定理，存在 ( , 1)nn， 使得 11ln (1 ) ln ( 1 ) lnnnn ，所以 1 1 1 1ln (1 )1n n n . 4 分 （ II） 当 1n 时，由（ I）知1 11ln (1 ) 01nnaa nn ， 6 分 且 1 1 1 11 l n l n ( 1 1 ) l n ( 1 ) l n ( 1 ) l n22na n nnn ln(1 ) ln 0nn ，所以数列 na 单调下降且有 下界，故
12、na 收敛 . 10 分 (19)（本题满分 11 分） 已 知 函 数 ( , )f xy 具 有 二 阶 连 续 偏 导 数 ， 且 (1, ) 0fy ， ( ,1) 0fx ，( , )D f x y dxdy a ，其中 ( , ) | 0 1 , 0 1D x y x y ，计算二重积分 ( , )xyDI xyf x y dxdy . 解： 因为 (1, ) 0fy ， ( ,1) 0fx ，所以 (1, ) 0yfy ， ( ,1) 0xfx . 2 分 从而 1100I ( , )xyxdx yf x y dy 4 分 1000( , ) | ( , )yx y xx y f
13、 x y f x y d y d x1100 ( , )xdy xf x y dx 7 分 111000( , ) ( , )xxx f x y f x y d x d y 1100 ( , )dy f x y dx a . 11 分 (20)（本题满分 11 分） 设 向量组 1 (1,0,1)Ta ， 2 (0,1,1)Ta ， 3 (1,3,5)Ta 不能由向量组 T1 (1,1,1 ） ，T2 (1,2,3 ） ， T3 (3,4,a ） 线性 表示 . （ I） 求 a 的值； （ II） 将 1 2 3, 用 1 2 3, 线性 表示 . 解： （ I） 4 个 3 维向量 1 2
14、 3, , , i 线性相关 ( 1,2,3)i ，若 1 2 3, 线性无关，则 i 可由 1 2 3, 线性表示 ( 1,2,3)i ，与题设矛盾 . 于是 1 2 3, 线性相关 . 3 分从而 1 2 31 1 3| , , | 1 2 4 5 013aa ，于是 5a 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘 2011 年数学试题答案和评分参考 2011 年 第 5 页 此时， 1 不能由向量组 1 2 3, 线性表示 . 5 分 （ II） 令 1 2 3 1 2 3( , , | , , ) A .对 A 施以初等行变换 1 0 1 1 1 3 1 0 0 2 1 50 1 3 1 2
15、4 0 1 0 4 2 1 01 1 5 1 3 5 0 0 1 1 0 2 A ， 从而 1 1 2 324 ， 2 1 22 ， 3 1 2 35 10 2 . 11 分 (21)（本题满分 11 分） 设 A 为 3 阶 实对称 矩阵 ， A 的秩为 2，且 1 1 1 10 0 0 01 1 1 1 A . （ I） 求 A 的所有 特征值 与 特征向量 ； （ II） 求矩阵 A . 解： （ I） 由于 A 的秩为 2，故 0 是 A 的 一个 特征值 . 由题设可得 110011 A ，110011 A ， 所以， 1 是 A 的 一个 特征值 ，且 属于 1 的 特征向量 为
16、1(1,0, 1)Tk ， 1k 为任意非零常数； 1 也是 A 的 一个 特征值 ,且 属于 1 的 特征向量 为 2(1,0,1)Tk . 2k 为任意非零常数； 4 分 设 1 2 3( , , )Tx x x 是 A 的属于 0 的 特征向量 ，由于 A 为实对称 矩 阵，则 123(1, 0, 1) 0xxx， 123(1,0,1) 0xxx，即 131300xxxx . 于是 属于 0 的 特征向量 为 3(0,1,0)Tk ， 3k 为任意非零常数； 6 分 （ II） 令 1 1 00 0 11 1 0P ， 则 11 0 00 1 00 0 0P A P ， 8 分 11 0
17、 00 1 00 0 0A P P112211221 1 0 1 0 0 0 0 0 10 0 1 0 1 0 0 0 0 01 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 . 11 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘 2011 年数学试题答案和评分参考 2011 年 第 6 页 (22)（本题满分 11 分） 设随机变量 X 与 Y 的概率 分布分别为 X 0 1 Y -1 0 1 P 1/3 2/3 P 1/3 1/3 1/3 且 22 1P X Y. （ I） 求二维 随机变量 ( , )XY 的概率 分布； （ II） 求 Z XY 的概率 分布； （ III） 求 X 与 Y 的
18、相关系数 XY . 解： （ I） 由 22 1P X Y，得 22 0P X Y，所以 0 , 1 0 , 1 1 , 0 0P X Y P X Y P X Y .故 ( , )XY 的概率 分布为 X Y -1 0 1 0 0 1/3 0 1 1/3 0 1/3 4 分 （ II） Z XY 的 可能取值为 1,0,1 . 由 ( , )XY 的概率 分布可得 Z 的 概率 分布为 7 分 （ III） 由 X ， Y 及 Z 的 概率 分布得 2 2 2, , 0 , , ( ) 03 9 3E X D X E Y D Y E Z E X Y ， 所以 ( , ) 0,Cov X Y 0
19、XY . 11 分 (23)（本题满分 11 分） 设 12, , , nX X X 为 来自 正态 总体 20( , )N 的简单随机样本 ， 其中 0 已知， 2 0 未 知 .X 和 2S 分别表示样本均值和样本方差 . （ I） 求参数 2 的最大似然估计 2 ； （ II） 计算 2E 和 2D . 解： （ I） 设 12, , , nx x x 为样本观测值，则似然函数 202 11 ()222 2( ) ( 2 ) . n iin xLe ， 2 2 20211l n ( ) l n ( 2 ) ( )22 n iinLx ， Z 1 0 1 P 1/3 1/3 1/3 郝海龙
20、：考研数学复习大全配套光盘 2011 年数学试题答案和评分参考 2011 年 第 7 页 令 2ln 0()dLd ，得 2024 11 ( ) 022niin x ， 从而得 2 的最大似然估计 011 ()nii Xn. 6 分 （ II） 解法 1 由于 22 02122() ()n iiXn n ， 8 分 所以 222Enn ， 4422 22Dnnn . 11 分 解法 2 2 2 2011 ()niiE E Xn ， 8 分 442 2 2 2100 1 0211 1 2( ) ( ) ( )n iiXD D X D X Dn n n n . 11 分 郝海龙：考研数学复习大全配
21、套光盘 2011 年数学试题答案和评分参考 2011 年 第 8 页 数 学（二） 一选择题 （ 1 8 小题，每小题 4 分，共 32 分 ） (1) 已知当 0x 时，函数 ( ) 3 sin sin 3f x x x与 kcx 是等价无穷小，则 (C) (A) 1, 4kc (B) 1, 4kc (C) 3, 4kc (D) 3, 4kc (2) 设函数 ()fx在 0x 处可导，且 (0) 0f ，则 2330 ( ) 2 ( )limx x f x f xx (B) (A) 2 (0)f (B) (0)f (C) (0)f (D) 0 (3) 函数 ( ) l n | ( 1 ) (
22、 2 ) ( 3 ) |f x x x x 的驻点个数为 (C) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (4) 微分方程 2 ( 0 )xxy y e e 的特解形式为 (C) (A) ()xxa e e (B) ()xxax e e (C) ()xxx ae be (D) 2 ()xxx ae be (5) 【 同 数学一（ 3） 题 】 (6) 【 同 数学一（ 4） 题 】 (7) 【 同 数学一（ 5） 题 】 (8) 【 同 数学一（ 6） 题 】 二、填空题：（ 9 14 小题，每小题 4 分，共 24 分 .） (9) 1012lim 2 x xx 2. (10) 【
23、同 数学一（ 10） 题 】 (11) 【 同 数学一（ 9） 题 】 (12) 设函数 , 0 ,( ) 00 , 0 ,xexfxx ，则 ()xf x dx 1. (13) 设平面区域 D 由直线 yx ，圆 222x y y 及 y 轴所围成，则二重积分D xyd712 . (14) 二次型 2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3( , , ) 3 2 2 2f x x x x x x x x x x x x ，则 f 的正惯性指数为 2 . 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘 2011 年数学试题答案和评分参考 2011 年 第 9 页 三、解答题 ( 15 23 小
24、题，共 94 分 . ) (15)（本题满分 10 分） 已知 函数 20 ln (1 )() x t dtFx x .设0lim ( ) lim ( ) 0x xF x F x ，试求 的取值范围 . 解： 因为 2 201l n( 1 ) l n( 1 )l im ( ) l im l imxx x xt dt xFxxx 22112 211l im l im( 1 ) ( 1 )xxxx xx ， 由题意 lim ( ) 0x Fx ，得 1 . 5 分 又因为 2 2010 0 0l n( 1 ) l n( 1 )l im ( ) l im l imxx x xt dt xFxxx 2
25、 31001lim limxxx xx ， 由题意 0lim ( ) 0x Fx ，得 3 . 综上所述， 13. 10 分 (16)（本题满分 11 分） 设函数 ()y yx 由参数方程3311331133x t ty t t -确定，求 ()y yx 的极值和曲线()y yx 的凹凸区间及拐点 . 解： 令 22 1 01dy tdx t ，得 1t . 当 1t 时， 53x ； 当 1t 时， 1x . 3 分 令 2 222 2 2 344( 1 ) 01 ( 1 )td y ttd x t t ， 得 0t ， 即 13x . 6 分 列表如下： 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘
26、 2011 年数学试题答案和评分参考 2011 年 第 10 页 t ( , 1) 1 ( 1,0) 0 (0,1) 1 (1, ) x ( , 1) 1 1( 1, )313 15( , )33 53 5( , )3 y 0 0 y 0 由此可知，函数 ()yx 的极大值为 1( 1) | 1tyy ，极小值为151( ) |33tyy . 曲线 ()y yx 的凹区间为 1( , )3 ，凸区间为 1( , )3 . 由于011( ) |33tyy，所以曲线 ()y yx 的拐点为 11(,33） . 11 分 (17)（本题满分 10 分） 【 同 数学一（ 16） 题 】 (18)（本
27、题满分 10 分） 设 函数 ()yx 具有二阶导数，且曲线 : ( )l y y x 与直线 yx 相切于原点 . 记 为曲线 l在点 (, )xy 处切线的倾角，若 d dydx dx ，求 ()yx 的表达式 . 解： 由于 tany ，即 arctan y ，所以 2 分 21dydx y .于是有21 y yy ， 即 2(1 )y y y 4 分 令 yp ，则 “yp ，代入 式得 2(1 )p p p，分离变量得2(1 )dp dxpp， 两边积分得 212ln 2 ln1 p xCp 由题意 (0) 1y ，即当 0x 时 1p ，代入 式 得1 12C，于是有 22121x
28、exyp e ， 7 分 两边积分得 22222a r c s in1 ( )x xxe eey d x C ， 由 (0) 0y 得2 4C .所以2arcsin 4xey . 10 分 (19)（本题满分 10 分） 【 同 数学一（ 18） 题 】 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘 2011 年数学试题答案和评分参考 2011 年 第 11 页 (20)（本题满分 11 分） 一容器的内侧是由图中曲线绕 y 轴旋转一周而成的曲面，该曲线由22 12 ( )2x y y y 与 22 11 ( )2x y y 连接而成 . （ I） 求 容器的容积； （ II） 若将容器内盛满的水从容器顶
29、部全部抽出，至少需要做多少功？ （长度单位： m，重力加速度为 g 2/ms，水的密度为 3310 /kg m .） 解： (I) 由对称性，所求的容积为 1 2212V x dy 3 分 1 22192 (1 ) 4y dy ，即该容器的容积为 94 立方米 . 5 分 （ II） 1 23 2 3 2211 21 0 ( 1 ) ( 2 ) 1 0 1 ( 1 ) ( 2 )W y y g d y y y g d y 8 分 1 323 2 3 2 3211 2 2 7 1 01 0 ( 2 2 ) ( 4 4 ) 8g y y y d y y y y d y g . 即所求的功为 327
30、 10 /8g 焦耳 . 11 分 (21)（本题满分 11 分） 【 同 数学 一（ 19） 题 】 (22)（本题满分 11 分） 【 同 数学一（ 20） 题 】 (23)（本题满分 11 分） 【 同 数学一（ 21） 题 】 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘 2011 年数学试题答案和评分参考 2011 年 第 12 页 数 学（三） 一选择题 (1 8 小题，每小题 4 分，共 32 分 ) . (1) 【 同 数学二（ 1） 题 】 (2) 【 同 数学二（ 2） 题 】 (3) 设 nu 是数列，则下列命题正确的是 (A) (A) 若1 nn u收敛，则2 1 21 ()nnn
31、 uu 收敛 (B) 若2 1 21 ()nnn uu 收敛，则1 nn u收敛 (C) 若1 nn u收敛，则2 1 21 ()nnn uu 收敛 (D) 若2 1 21 ()nnn uu 收敛，则1 nn u收敛 (4) 【 同 数学一（ 4） 题 】 (5) 【 同 数学一（ 5） 题 】 (6) 设 A 为 43 矩阵， 1 2 3, 是非齐次线性方程组 Ax 的 3 个线性无关的解， 12,kk为 任意常数，则 Ax 的通解为 (C) (A) 231 2 1()2 k (B) 231 2 1()2 k (C) 231 2 1 2 3 1( ) ( )2 kk (D) 231 2 1
32、2 3 1( ) ( )2 kk (7) 【 同 数学一（ 7） 题 】 (8) 设总体 X 服从参数为 ( 0) 的泊松分布， 12, , , ( 2)nX X X n 为 来自 该 总体的简 单随机样本 .则对于统计量1 11niiTXn 和 12 1111niniT X Xnn ，有 (D) (A) 1 2 1 2,ET ET DT DT (B) 1 2 1 2,ET ET DT DT (C) 1 2 1 2,ET ET DT DT (D) 1 2 1 2,ET ET DT DT 二、填空题：（ 9 14 小题，每小题 4 分，共 24 分 .） (9) 设0( ) lim (1 3 )
33、xttf x x t，则 ()fx 3(1 3 ) xxe . (10) 设函数 (1 )xyxyz ，则 (1,1)|dz (1 2 ln 2 )( )dx dy. 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘 2011 年数学试题答案和评分参考 2011 年 第 13 页 (11) 曲线 tan( )4 yx y e 在点 (0,0) 处的切线方程为 2yx . (12) 曲线 2 1yx，直线 2x 及 x 轴所围的平面图形绕 x 轴旋转所成的旋转体的体积为 4 /3 . (13) 设二次型 1 2 3( , , ) Tf x x x x A x的秩为 1， A 的各行元素之和为 3，则 f 在正交
34、变换Qxy下的标准形为 213y . (14) 【 同 数学一（ 14） 题 】 三、解答题 ( 15 23 小题，共 94 分 . ) (15)（本题满分 10 分） 求极限 01 2 sin 1lim ln (1 )xxxxx . 解：2001 2 s in 1 1 2 s in 1l im l iml n ( 1 )xxx x x xx x x 2 分 0cos 11 2 sinlim 2xxxx 4 分 0c o s 1 2 s in 1l im .2 1 2 s inxxxx x 0c o ssin1 2 sinlim 2xxxx 8 分 12 . 10 分 (16)（本题满分 10
35、 分） 已知 函数 (,)fuv 具 有 二 阶 连 续 偏 导 数 ， (1,1) 2f 是 ( , )f uv 的 极 值 ，( , ( , )z f x y f x y .求 2(1,1)zxy . 解： 1 2 1( , ( , ) ) ( , ( , ) ) ( , )z f x y f x y f x y f x y f x yx ， 3 分 21 1 1 2 1 2( , ( , ) ) ( , ( , ) ) ( , ) ( , ) ( , ( , ) )z f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x yxy 221 21 22(
36、 ) ( , ( , ) ) ( , ( , ) ) ( , )f x y f x y f x y f x y f x y f x y 2 7 分 由题意知， 1 (1,1) 0f ， 2 (1,1) 0f ， 9 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘 2011 年数学试题答案和评分参考 2011 年 第 14 页 从而 2(1,1)zxy 1 1 2 1 2( 2 , 2 ) ( 2 , 2 ) (1 , 1 )f f f . 10 分 (17)（本题满分 10 分） 求不定积分 a rc sin lnxxdxx . 解： a r c s in l n 2 ( a r c s in l n
37、)xx d x x x d xx 2 分 2 ( a r c s i n l n ) 21d x d xx x x xx 6 分 ( 1 )2 ( a r c s in l n ) 41dxx x x xx 8 分 2 ( a r c s i n l n ) 2 1 4x x x x x C 10 分 (18)（本题满分 10 分） 证明 方程 44 a r c ta n 3 03xx 恰有两个实根 . 证 ： 设 4( ) 4 a r c t a n 33f x x x ，224 ( 3 ) ( 3 )( ) 111 xxfx xx 2 分 令 ( ) 0fx ，解得驻点 123, 3xx
38、.由单调性判别法知 ()fx在 ( , 3 上单 调减少，在 3, 3 上单调增加，在 3, ) 上单调减少 . 5 分 因为 ( 3) 0f ，且由上述单调性可知 ( 3)f 是 ()fx在 ( , 3 上的最小值， 所以 3x 是函数 ()fx在 ( , 3 上的唯一的零点 . 7 分 又因为 4( 3 ) 2 ( 3 ) 03f ，且 lim ( )x fx ，所以由连续函数的介值定理知 ()fx在 ( 3, ) 内存在零点，且由 ()fx的单调性知零点唯一 . 综上可知， ()fx在 ( , ) 内恰有两个零点，即原方程恰有两个实根 . 10 分 (19)（本题满分 10 分） 设函数
39、 ()fx在区间 0,1 上具有连续导数， (0) 1f ，且满足 ( ) ( )ttDDf x y d xd y f t d xd y ， 其 中 ( , ) | 0 , 0 ( 0 1 )tD x y y t x x t t . 求()fx的表达式 . 解：00( ) ( )tt t xD f x y d x d y d x f x y d y 2 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘 2011 年数学试题答案和评分参考 2011 年 第 15 页 00( ( ) ( ) ) ( ) ( )ttf t f x dx tf t f t dx . 4 分 又 2( ) ( )2tD tf t dx dy f t，由题
