1、4.4 函数的极值,定义41(极值的概念) 设函数f(x)在点x0的一个邻域(x0 x0)内有定义 如果对任意的x(x0 x0)(x0 x0) 总有f(x)f(x0) 则称f(x0)为函数f(x)的极大值 x0称为函数f(x)的极大值点 如果对任意的x(x0 x0)(x0 x0) 总有f(x)f(x0) 则称f(x0)为函数f(x)的极小值 x0称为函数f(x)的极小值点 函数的极大值与极小值统称为函数的极值 使函数取得极值的点称为极值点,(1) 极值是局部性概念,注.,(2)极值只能在区间内部取得,观察与思考：如果f(x)在点x0处有极值 且f (x0)存在 则f (x0)有什么特点？,定理
2、44 (极值的必要条件)如果函数f(x)在点x0处有极值 且f (x0)存在 则f (x0)0,费尔马(Fermat)引理,反之如何？,不一定成立！,观察与思考：曲线的升降与极值之间的关系,2. 极值点是单调性的分界点！,1. 极大值点左增右减；极小值点左减右增.,定理45 (极值的第一充分条件) 设函数f(x)在点x0的某邻域(x0 x0)内连续并且可 导(但f (x0)可以不存在) (1)如果当x(x0 x0)时f (x)0 而当x(x0 x0)时 f (x)0 则函数f(x)在x0处取得极大值f(x0) (2)如果当x(x0 x0)时f (x)0 而当x(x0 x0)时 f (x)0 则
3、函数f(x)在x0处取得极小值f(x0) (3)如果当x(x0 x0)和x(x0 x0)时 f (x)不变号 则函数f(x)在x0处无极值,由极值的第一充分条件，求函数的极值点和极值的步骤为：,解,例1 求f(x)(x1)2(x1)3的单调增减区间和极值,f (x)(x1)(x1)2(5x1),列表判断,0 非极值,0 极小值,解,令f (x) 0 得驻点x1,不可导点为x0,列表判断,0 极大值,定理46 (极值的第二充分条件) 设f (x0)0 f (x0)存在 (1)如果f (x0)0 则f(x0)为f(x)的极小值 (2)如果f (x0)0 则f(x0)为f(x)的极大值,解,例3 求函数f(x)x33x的极值,f (x)3x233(x1)(x1),f (x)6x,令f (x)0得驻点x1 x1,因为f (1)60,所以f(1)2为极大值,因为f (1)60,所以f(1)2为极小值,定理2 (极值的第二充分条件) 设f (x0)0 f (x0)存在 (1)如果f (x0)0 则f(x0)为f(x)的极小值 (2)如果f (x0)0 则f(x0)为f(x)的极大值,注.,
