1、第六章 图与网络分析,6.1 图的基本概念与数学模型6.2 树图和图的最小部分树6.3 最短路问题6.4 中国邮路问题6.5 网络最大流问题6.6 网络模型的实际应用,第六章 图与网络分析,图是一种模型，如公路、铁路交通图，通讯网络图等。,图是对现实的抽象，以点和线段的连 接组合表示。,6.1 图的基本概念和模型,一、概念,（1）图：点V和边E的集合，用以表示对某种现实事物的抽象。记作 G=V,E, V=v1,v2,vn, E=e1,e2,em,点：表示所研究的事物对象； 边：表示事物之间的联系。,v1,v2,v3,v4,v0,e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7,e0,（2）若边e的两个
2、端点重合，则称e为环。,（3）多重边：若某两端点之间多于一条边，则称为多重边。,（4）简单图：无环、无多重边的图称为简单图。,（5）链：点和边的交替序列，其中点可重复，但边不能重复。,（6）路：点和边的交替序列，但点和边均不能重复。,（7）圈：始点和终点重合的链。,（8）回路：始点和终点重合的路。,（9）连通图：若一个图中，任意两点之间至少存在一条链，称这样的图为连通图。,（10）子图，部分图：设图G1=V1,E1, G2=V2,E2, 如果有V1V2，E1E2，则称G1是G2的一个子图；若V1=V2，E1E2，则称G1是G2的一个部分图。,（11）次：某点的关联边的个数称为该点的次，以d(v
3、i)表示。,二、图的模型,例：有甲、乙、丙、丁、戊、己六名运动员报名参加A、B、C、D、E、F六个项目的比赛。如表中所示，打“”的项目是各运动员报名参加比赛的项目。问：六个项目的比赛顺序应如何安排，才能做到使每名运动员不连续地参加两项比赛？,甲 乙 丙 丁 戊 己,项目,人,A B C D E F, ,建立模型：,解：项目作为研究对象，排序。,设 点：表示运动项目。,边：若两个项目之间无同一名运动员参加。,A,B,C,D,E,F,ACDEFB,AFEDCB,ACBFED,AFBCDE,顺序：,6.2 树图和图的最小部分树,（1）树：无圈的连通图称为树图，简称为树。,一、树图的概念,（2）树的特
4、性：, 树是边数最多的无圈连通图。在树中任加一条边，就会形成圈。, 树是边数最少的连通图。在树中任减一条边，则不连通。,（3）图的最小部分树：,定义：若G1是G2的一个部分图，且为树图，则称G1是G2的一个部分树。,G2：,A,B,C,D,5,4,7,3,6,5,5,7,6,G1：,A,C,B,D,定义：树枝总长为最短的部分树称为图的最小部分树。,二、最小部分树的求法,例：要在下图所示的各个位置之间建立起通信网络，试确定使总距离最佳的方案。,树枝：树图中的边称为树枝。,S,A,B,C,D,E,T,2,5,2,4,1,4,3,1,7,5,5,7,最小部分树长Lmin=14,1. 避圈法,1. 避
5、圈法：将图中所有的点分V为V两部分， V最小部分树内点的集合 V非最小部分树内点的集合, 任取一点vi加粗，令viV， 取V中与V相连的边中一条最短的边(vi,vj)， 加粗(vi,vj)，令vjV 重复 ，至所有的点均在V之内。,2. 破圈法：, 任取一圈，去掉其中一条最长的边， 重复，至图中不存在任何的圈为止。,S,A,B,C,D,E,T,2,5,2,4,1,4,3,1,7,5,5,7,最小部分树长Lmin=14,2. 破圈法,6.3 最短路问题,在图示的网络图中，从给定的点S出发，要到达目的地T。问：选择怎样的行走路线，可使总行程最短？,方法：Dijkstra（D氏）标号法按离出发点的距
6、离由近至远逐渐标出最短距离和最佳行进路线。,S,1求某两点间最短距离的D（Dijkstra）氏标号法,2,4,7,S,A,B,C,D,E,T,2,5,2,4,1,4,3,1,7,5,5,7,0,2,4,4,7,8,9,14,13,5,9,4,最短路线：S AB E D T 最短距离：Lmin=13,2求任意两点间最短距离的矩阵算法, 构造任意两点间直接到达的最短距离矩阵D（0）= dij（0）,S A B C D E T S 0 2 5 4 A 2 0 2 7 B 5 2 0 1 5 3 C 4 1 0 4 D 7 5 0 1 5 E 3 4 1 0 7 T 5 7 0,D（0）=, 构造任意
7、两点间直接到达、或者最多经过1个中间点到达的最短距离矩阵D（1）= dij（1）,其中 dij（1）= min dir（0）+ drj（0） ，,S A B C D E T S 0 2 4 4 9 8 A 2 0 2 3 7 5 12 B 4 2 0 1 4 3 10 C 4 3 1 0 5 4 11 D 9 7 4 5 0 1 5 E 8 5 3 4 1 0 6 T 12 10 11 5 7 0,D（1）=,i,r,j,dir（0）,drj（0）,r,dSE（1）= min dSS（0）+dSE（0）, dSA（0）+dAE（0）, dSB（0）+dBE（0）, dSC（0）+dCE（0）,
8、 dSD（0）+ dDE（0） , dSE（0）+ dEE（0）, dST（0）+ dTE（0） =8,例如,其中 dij（2）= min dir（1）+ drj（1）,S A B C D E T S 0 2 4 4 8 7 14 A 2 0 2 3 6 5 11 B 4 2 0 1 4 3 9 C 4 3 1 0 5 4 10 D 8 6 4 5 0 1 5 E 7 5 3 4 1 0 6 T 14 11 9 10 5 6 0,D（2）=,i,r,j,dir（1）,drj（1）,r, 构造任意两点间最多可经过3个中间点到达的最短距离矩阵 D（2）= dij（2）,其中 dij（3）= min
9、 dir（2）+ drj（2） ,S A B C D E T S 0 2 4 4 8 7 13 A 2 0 2 3 6 5 11 B 4 2 0 1 4 3 9 C 4 3 1 0 5 4 10 D 8 6 4 5 0 1 5 E 7 5 3 4 1 0 6 T 13 11 9 10 5 6 0,D（3）=,i,r,j,dir（2）,drj（2）,r, 构造任意两点间最多可经过7个中间点到达的最短距离矩阵 D（3）= dij（3）,说明： 一般，对于D（k）= dij（k），其中 dij（k）= min dir（k-1）+ drj（k-1） ，k=0，1，2，3，最多可经过2k-1个中间点：
10、其数列为0，1，3，7，15，31， 2k-1， ,收敛条件： 当 D（k+1）= D（k）时，计算结束； 设网络中有p个点，即有p-2个中间点， 则 2k-1-1 p-2 2k-1 k-1log2 (p-1) k Klog2(p-1)+1， 计算到 k=lg(p-1)/lg2 +1时，收敛，计算结束。,例：有7个村镇要联合建立一所小学，已知各村镇小学生的人数大致为S30人， A40人，B20人，C15人，D35人，E25人， T50人。问：学校应建在那一个地点，可使学生总行程最少？,S A B C D E T S 0 2 4 4 8 7 13 A 2 0 2 3 6 5 11 B 4 2 0
11、 1 4 3 9 C 4 3 1 0 5 4 10 D 8 6 4 5 0 1 5 E 7 5 3 4 1 0 6 T 13 11 9 10 5 6 0,L=,30 40 20 15 35 25 50,人数,= 1325 1030 880 1035 910 865 1485T,解：,6.4 中国邮路问题,问题：一名邮递员从邮局出发，试选择一条最短的投 递路线？,v1,v2,v3,v4,v5,v6,v8,v7,v9,v10,v11,v12,v13,邮局,4,4,4,5,5,1,2,4,1,2,5,4,4,7,4,2,2,奇点：图中次为奇数的点称为奇点。 偶点：图中次为偶数的点称为偶点。,结论：最
12、短投递路线应具有下述特征： 若图中所有的点均为偶点，则可不重复走遍所有街道； 重复走的路线长度应不超过所在回路总长度的一半。,步骤：,两两连接所有的奇点，使之均成为偶点；2. 检查重复走的路线长度，是否不超过其所在回路总长的一半，若超过，则调整连线，改走另一半。,v1,v2,v3,v4,v5,v6,v8,v7,v9,v10,v11,v12,v13,邮局,4,4,4,5,5,1,2,4,1,2,5,4,4,7,4,2,2,投递距离：L=60+18=78,6.5 网络最大流问题,一、网络最大流中有关概念, 有向图：含有以箭头指示方向的边的网络图。, 弧：有向图上的边称为弧。用（vi,vj）表示。,
13、 弧的容量：弧上通过负载的最大能力，简称容量。以cij表示。, 流：加在网络每条弧上的一组负载量，以fij表示。, 可行流：能够通过网络的负载量，通常应满足两个条件： 容量限制条件：对所有的弧，0 fijcij 中间点平衡条件：对任何一个中间点，流入量=流出量, 发点、收点、中间点：流的起源点称发点，终到点称收点，其余的点称中间点。, 最大流；能够通过网络的最大流量。, 割集：一组弧的集合，割断这些弧，能使流中断。简称割。,8(8),v1,vs,v2,v3,v4,vt,7(5),9(4),9(9),2(0),6(1),5(5),10(8),(0,+),(vs,2),(v2,2),(v1,2),
14、(v3,1),(v4,1),5(4),cij,fij, 割的容量：割集中各弧的容量之和。 最小割：所有割集中容量之和为最小的一个割集。 前向弧+：一条发点到收点链中，由发点指向收点的弧，又称正向弧。 后向弧-：一条发点到收点链中，由收点指向发点的弧，又称逆向弧。 增广链：由发点到收点之间的一条链，如果在前向弧上满足流量小于容量，即fij0，则称这样的链为增广链。,。,二、两个定理 定理：网络的最大流量等于它的最小割集的容量。 定理：当网络中不存在任何增广链时，则网络达到最大流状态。,s,t,6(4),5(3),4(4),8(7),设有如下增广链：, f=1, 该网络没有达到最大流状态。,三、网
15、络最大流的标号算法 (Ford-Fulkerson标号算法),基本思想：寻找增广链，改善流量分布；再重复，直到不 存在任何增广链为止。,步骤：, 给始点标号：（0，+）,从已标号点i出发，看与其相关联的未标号点j上的弧， 对+，若有0fijcij，则可对j点标号，记（i, (j)）， 其中 (j)=min (i) ，cij - fij对-，若有0 fji cij，也可对j点标号，记（ i, (j)）， 其中 (j)=min (i) ，fji （注：若有多个可标号点，可任选其中之一。）,若标号中断，则得到最大流状态，否则，重复，继续标号，至收点得到标号，转。, 当收点得到标号，则沿标号得到的增广
16、链进行流量调整： 对+，fij = fij + (t) 对-，fij = fij - (t) 其余弧上的流量不变。, 重复上述过程。, 最小割集：已标号点集合与未标号点集合相连接的弧中， 流量=容量的弧。,8(8),v1,vs,v2,v3,v4,vt,7(6),9(5),9(9),2(0),6(0),5(5),10(9),5(3),(0,+),(vs,1),(v2,1),(v1,1),最大流量：fmax=14,最小割集：(v3, vt), (v2, v4),6.6 网络模型的实际应用,例1：王经理花费12000元购买了一台微型车，以后年度的维护费用取决于年初时汽车的役龄，如表示。为避免使用旧车
17、带来较高的维护费用，王经理可选择卖掉旧车，购买新车使用的方案，旧车的预计收入如表示。为简化计算，假定任何时刻购买新车都需花费12000元，王经理的目标是使净费用最小（购置费+维护费-卖旧车收入）。,役龄(年),年维护费,预计收入,单位：元,0 1 2 3 4 5,2000 4000 5000 9000 12000 , 7000 6000 2000 1000 0,解：,用网络图模型描述，归结为最短路问题。,7,7,7,7,7,1,2,3,4,5,6,12,12,12,12,21,21,21,31,31,44,1年初,5年末,例2：图示岛屿与河岸有数座桥相联，问至少需要炸毁几座桥，可中断两岸的交通？,A,B,C,D,E,F,A,B,C,F,E,D,2,2,2,1,3,1,1,1,1,例3：有3根相同的轴A1、A2、A3，另有三根相同的齿轮B1、B2、B3。因为精度不高，不能做到任意的互相配合，其中A1能与B1、B2配合，A2能与B2、B3配合，A3能与B1、B3配合。要求确定合适的配合方案，以得到最多的配合数，将此问题归为网络最大流问题。,A1,A2,A3,B1,B2,B3,1,1,1,1,1,1,S,T,1,1,1,1,1,1,
