1、高中数学 选修-,1.1.2 瞬时变化率导数（）,姓名：吴卫东 邵艳 郭红梅 潘翠萍 单位：江苏省泰兴中学,问题情境,问题一 如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？,问题二 观察“点P附近的曲线”，随着图形放大，你看到了怎样的现象？,探究结论,从上面的图形变化过程来看： 1）曲线在点P附近看上去几乎成了直线 2）继续放大，曲线在点P附近将逼近一条确定的直线l，这条直线是过点P 的所有直线中最逼近曲线的一条直线 3）点P附近可以用这条直线代替曲线（即在很小范围内以直代曲）,深入探究：,如图所示，直线l1，l2为经过曲线上一点P的两条直线,问题一：试判断哪一条直线在点P附近更加逼近曲线；,问题
2、二：在点P附近能作出一条比l1 ， l2更加逼近曲线 的直线l3吗？,问题三：在点P附近还能作出比l1，l2 ，l3更加逼近曲线的 直线吗？,P,Q,o,x,y,割线,切线,l,建构数学,yf(x),如图，设Q为曲线C上不同于P的一点，直线PQ称为曲线的割线.,P为已知曲线C上的一点， 如何求出点P处的切线方程？,随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近逼近曲线C，当,直线l，这条直线l也称为曲线在点P处的切线这种方法叫割线逼近切线.,点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为经过点P处最逼近曲线的,y,O,x,P,Q,试求f (x)=x2在点(2,4)处的切线斜率,Q,x,数学运用：,分析
3、：设P(2，4)，Q(xQ，f(xQ),则割线PQ的斜率为,当Q沿曲线逼近点P时，割线PQ逼近点P处的切线，从而割线斜率逼近切线斜率；,当Q点横坐标无限趋近于P点横坐标时， 即xQ无限趋近于2时，kPQ无限趋近于常数4,从而曲线f(x)x2在点(2，4)处的 切线斜率为4,练习：试求f (x)x21在x1处的切线斜率,解：设P(2，4)，Q(xQ，xQ2)，,则割线PQ的斜率为：,当xQ无限趋近于2时， kPQ无限趋近于常数4， 从而曲线f(x)x2 在点(2，4)处的切线 斜率为4,解：设P(2，4)，Q(2x，(2x)2)， 则割线PQ的斜率为：,当x无限趋近于0时， kPQ无限趋近于常数
4、4， 从而曲线f(x)x2 在点(2，4)处的切线 斜率为4,练习：试求f (x)x21在x=1处的切线斜率,当x无限趋近于0时，割线逼近切线，割线斜率逼近切线斜率,找到定点P的坐标设出动点Q的坐标,求出割线斜率,解：由题意，设P(1，2)， Q(1x，(1x)21)，则割线PQ斜率为,当x无限趋近于0时， kPQ无限趋近于常数2， 从而曲线f(x)x21 在点x1处的切线斜率为2,y,x,O,y = f(x),x,x0,X0x,P,Q,f (x0+x) f (x0),切线,割线,P（x0,f(x0),Q(x0+x,f(x0+ x),x0时,点Q位于点P的右侧,y=f(x),x0时,点Q位于点
5、P的左侧,2.求出割线PQ的斜率 ，并化简.,求曲线y=f (x)上一点P(x0,f(x0)处切线斜率的一般步骤：,3. 令x 趋向于0，若上式中的割线斜率“逼近”一个常数，则其即为所求切线斜率,1.设曲线上另一点Q(x0+x,f(x0 + x),M,（即 y),变式训练：,课堂练习：,练习：,1曲线上一点P处的切线是过点P的所有直线中最接近P点附近曲线的直线，则P点处的变化趋势可以由该点处的切线反映 (局部以直代曲) 2根据定义，利用割线逼近切线的方法，可以求出曲线在一点处的切线斜率和方程,即区间长度趋向于0,令横坐标无限接近,函数在区间xP ， xQ (或xQ，xP）上的平均变化率,P点处的瞬时变化率,(导数),小 结：,
