1、- 1 -第九章 重积分一、选择题1.I= 球面内部， 则 I= C 2222(),:1xyzdvxyzA. 的体积 B. dv 1040sindrdC. D. 10420sindr2i2. 是 x=0, y=0, z=0, x+2y+z=1 所围闭区域， 则 B xdyzA. B. yxdzd21010 dx210210C. D. 2y yyzd3. 设区域 由直线 和 所围闭区域， 是 位于第一象限的部分，D,yx1x1D则B （A） 1cosd2dDDxyxyxy（B） 1cos（C） 1cosd2()dDDxyxyxy（D） 04. : ， 则 C 12zyxdxyzzyxz1)ln(
2、2A. 1 B. C. 0 D. 345 ，其中 ，则 D22(,),DxyayaDxydA. B. 20sincoadrdr 30sincodrrC. D. -30(i)a320iad302sincoadr- 2 -6设 ，D 为全平面，则 C,010,()axafxg其 余 ()DfxgydA. B. C. D.2127积分 可写为 Dcos20(,sin)dfrrdA. B. 210yx 210(,)yfxdB. D. (,)f 28.交换二次积分 的积分顺序为（ A）.20xdy(A) (B) 420(,)yf 40(,)ydfx(C) (D) 2,x 2,9.设平面区域 由 围成，若
3、D140,xy31ln(),DIxyd则 的大小顺序为（ C）.32(),Iyd 33sin(),DIdxy23,(A) (B) (C) (D) 132113I12I10 的值 （ B）.2214sinxyxyd(A) 大于零 (B) 小于零 (C) 0 (D) 不能确定11设积分区域 由 围成，则 （ C）.D|,|()xayDxyd(A) (B) (C) 0 (D) A, B, C 都不对11412 的值 （ B）.2214sinxyxyd(A) 大于零 (B) 小于零 (C) 0 (D) 不能确定13.把二次积分 化为极坐标形式的二次积分（B ）.2210xye(A) (B) 22rd
4、2210rde(C) (D) 2210re 2r14. 设积分区域D是由直线y=x,y=0,x=1围成，则有 （ A ）Dxy- 3 -（A） （B） xdy01 ydx01（C） （D）10x yx1015. 设D由 围成，则 （ B ）1,2,yyd（A） （B） （C）1 （D ）2142316根据二重积分的几何意义，下列不等式中正确的是( B )；(A) ： ， ；(B) ： ， ；xD,0d)xyx,0d)1(x1y(C) ： ；(D) ： + Dy(221yDln217 ( C )，其中 ： ；xD 2x4(A) ； (B) ；24201dr 01dr(C) ； (D) 201 2
5、0118. 二重积分 （ C ）10yx（A）1 （B） （C） （D ）224119. 的值等于（ A ）dxyyx132A. ； B. ； C. ； D. 476562320. 二重积分 （ C ）10yx（A）1 （B） （C） （D ）224121. 设D是区域 ，则a=（ B ）8,|, 22dxyayx又 有（A）1 （B）2 （C）4 （D）822. 若D是平面区域 ，则二重积分 （ B ）eyxy1 ,0|,dxyD- 4 -（A） （B） （C） （D ）12e21e23. 设D由 围成，则 （ B ）,yxydxy（A） （B） （C）1 （D ）21423二、填空题1变换
6、积分次序 2210(,)ydfxd 22120 0(,)(,)xxfydfyd2比较大小：其中 D 是以 为顶点的三角形,10）解：采用柱坐标 200533 10)(2ar aadrdzI16.计算 ，其中 D 由 y=x，x=0 ，y=1 所围成的平面区域。Dyxe2解： 22 22111000(3)(3)(1)yy yyededed分 分 分17. 求 ，其中D为直线 , , 所围成的区域。Dx6x5= （2分）= （2分）=dyxdyx510 103dxy10276dx= =3761018设D是由 所围在第一象限内的部分，求二重积分012，yxyx与ydx.2解 D- 9 -221012
7、1201350()xxdyxd分 分分= 15分19、求 ，其中 D 为： 。dxyD2ln eyxe422解： 220l lnerd(3分)=22013de132曲面积分与曲线积分选择1设 是从 O（0，0）到点 M（1，1）的直线段，则与曲线积分 I= 不相等M dseomyx2的积分是：（ ）A) B) dxe210 dye210C) D) t r2设 L 是从点 O(0,0)沿折线 y=1-|x-1| 至点 A(2,0) 的折线段，则曲线积分 I=等于（ ）xdyA)0 B)-1 C)2 D)-23设 L 为下半圆周 ，将曲线积分 I= 化为定积分的正确)0(22yRx dsyxL)2
8、(结果是：（ ）A) B) dttR)sin2(co0 dtt)sin2(co0- 10 -C) D) dttR)cos2in(02 dttR)cos2in(234设 L 是以 A(-1,0) ,B(-3,2) ,C(3,0) 为顶点的三角形域的周界沿 ABCA 方向， 则 等于：（ ）dyxdyx)2()3(A) -8 B) 0 C) 8 D) 205设 AEB 是由点 A(-1,0) 沿上半圆 经点 E(0,1)到点 B(1,0)，则曲线积分 I=21xy等于：（ ）dxyAEB3A) 0 B) C) D) dxyBE32dxyEB32dxyEA32一、填空1 是光滑闭曲面 的外法向量的方
9、向余弦，又 所围的空间闭区域为cos,cos；设函数 P(x,y,z),Q(x,y,z)和 R(x,y,z)在 上具有二阶连续偏导数，则由高斯公式，有 = 。 dsyPxQxRzPzQyR co)(cos)(cos)( 2设 L 是 xoy 平面上沿顺时针方向绕行的简单闭曲线，且，则 L 所围成的平面闭区域 D 的面积等于 。dyxdyx9)34()(3设函数 P(x,y,z,)在空间有界闭区域 上有连续的一阶偏导数，又 是 的光滑边界面的外侧，则由高斯公式，有 。 dyzxP),(4设 是球面 的外侧，则积分 。 22azyxydx5设 L 是 xoy 面上的圆周 的顺时针方向，则 I1=
10、与 I2= 的大1x Ls3dsyL5小关系是 。6设力 的模 , 的方向与 相同，则在力 的作用下，质点沿曲F21|yxFjxiyF线 L: 正向绕行一周，力 所做的功可用曲线积分表示为: 12ba。- 11 -二、计算1 计算曲线积分 ，其中 L 为连结 O(0,0),A(1,0),B(0,1) 的闭曲线 OABO.Ldsyx)(2 计算 ，其中 L 由直线段 AB 与 BC 组成，路径方向从点L yx)22(A(2,-1) 经点 B(2,2)到点 C(0,2).3 求 I= , 其中 为由点 A(a,0)到点 O(0,0) 上dymedxmyeAnox )cos()si( AnO半圆周
11、.a24 验证：当 时， 是某二元函数 U(x,y) 的全微分，并求 U(x,y).0yx2yxd5 计算 ， 是球面 在第一卦限部分的上侧。dz2Rz6 设在 xoy 面内有一分布着质量的曲线弧 L，在点(x,y)处它的线密度为 (x,y)，用对弧长的曲线积分分别表达：（1）这曲线弧对 x 轴、对 y 轴的转动惯量 Ix,Iy； （2）这曲线弧的重心坐标。1 计算下列对弧长的曲线积分：（1） ，其中 L 为圆周 x=acost ,y=asint ；Lndsyx)(2 20t（2） ，其中 L 为圆周 ，直线 y=x 及 x 轴在第一象限内所围e2 22ayx成的扇形的整个边界；（3） ，其中
12、 为折线 ABCD，这里 A,B,C,D 依次为点(0,0,0) , (0,0,2) , (1,0,2) , yzdsx2(1,3,2) . 2 计算下列对坐标的曲线积分：（1） ，其中 L 为圆周 及 x 轴所围成的在第一象限Lxyd )0()(22ayax内的区域的整个边界（按逆时针方向绕行） ；（2） ，其中 L 为圆周 （按逆时针方向绕行） ；Lyxd2)()( 22ayx- 12 -（3） ，其中 是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的一段直线。dzyxydx)1(9利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积：圆 .axyx2210证明下列曲线积分在整个 xoy 面内与路径无关，并
13、计算积分值：)4,3(21 223)36()6dyxydxyx11利用格林公式，计算下列曲线积分：, 其中 L 为正向星形线 dyexdxeyxxy xL )2sin()sinco( 222 .)0(323ax12验证下列 P(x,y)dx+Q(x,y)dy 在整个 xoy 平面内是某一函数 U(x,y)的全微分，并求这样的一个 U(x,y) ： xdyxdyx2cos3cos3ins413计算下列对面积的曲面积分：（1） ，其中 为平面 2x+2y+z=6 在第一卦限中的部分；dszxxy)2(（2） ，其中 为锥面 被柱面 所截得的z)( 2yxzaxyx22有限部分。14求抛物面壳 (
14、)的质量，此壳的面密度的大小为 =z.)(212yxz10z15计算下列对坐标的曲面积分：（1） ，其中是柱面 被平面 z=0 及 z=3 所截得的在ydzxxzdy 12yx第一卦限内的部分的前侧；（2） ，其中是平面 x=0 ,y=0 ,z=0 ,x+y+z=1 所围成的空间区yzdxxzdy域的整个边界曲面的外侧。16利用高斯公式计算曲面积分： , 其中为球面dxyzydzx333的外侧。22azyx三、证明- 13 -已知 f(u)连续，且 L 为逐段光滑的简单封闭曲线，证明：ydxyf 0)(2四、应用1求均匀的锥面（设面密度为 1） 对 ox 轴的转动惯量。2yxahz)0,0(a
15、hz2求矢量场 穿过圆柱体 的全表面的流量和侧表kxyjziyA ,面的流量。3求均匀弧 x=a(t-sint) ,y=a(1-cost) 的重心坐标。)20(t4设 z 轴与重力的方向一致，求质量为 m 的质点从位置( )沿直线移动到 (1,zyx)时重力所作的功。2,yx5设曲线 L 的极坐标方程为 ，其上任一点处的线密度等于该点处矢径)30(sinr的长度，求 L 的质量。6*求半径为 R 的均匀半圆周 L（线密度为 =1）对于位于圆心的单位质量的质点的引力。7*试用曲线积分求平面曲线 L1 ： 绕直线 L2 ： 旋转所成旋转10,23xxy xy34曲面的面积。五、模拟1试解下列各题：
16、（1）设 是由光滑闭曲面 所围成的空间闭区域，其体积记为 V，则沿 外侧的积分= 。 dzyxdzydxyz )()()(（2）L 是 xoy 平面上具有质量的光滑曲线，其线密度为 (x,y)，则 L 关于 ox 轴的转动惯量可用曲线积分表示为 。 （其中 (x,y ) 为连续函数）（3）L 是从 A(1,6)沿 xy=6 至点 B(3,2)的曲线段，则。)(xdyeLyx- 14 -（4）力 构成力场（y0） ，若已知质点在此力场(y0) 内运动时)()(2jxiyxFm场力所做的功与路径无关，则 m= 。 2试解下列各题：（1） 设 L 是圆周 负向一周，则曲线积分)0(22ayx（ ）
17、dyxd)( 33A) B) C) D) 42a4a432a（2）设 L 是 表示的围线的正向，则 之值等于（ ）)1(1|2xy Lyxd2A) 0 B)2 C) - 2 D)4ln2（3）设 L 是从 A(1,0) 到 B(-1,2)的线段，则曲线积分 = （ ）Ldsyx)(A) B) C)2 D)022（4）L 是圆域 D： 的正向周界，则 等于（ ）xy2Ldyxdyx)()(33A) - 2 B) 0 C) D) 2 23已知曲线 L 的极坐标方程为 r= ( )，L 上任一点处的线密度为0，试求该曲线段关于极轴的转动惯量。21)(4验证：存在 u(x,y)使 ，并求 u(x,y)
18、 .),()2()2(2 yxduyxedxyey5设 是连接点 A(0,2)及点 的直线段，计算曲线积分 .AB0,3BABds46设 为球面 的外侧，计算 . 122zyx xyzdyzx3337 计算 ，其中 是上半球面 的上侧。dxdz 22a8 设 P(x,y,z) ,Q(x,y,z) ,R(x,y,z) 均为连续函数， 是一光滑曲面，面积记为 S，M 是在 上的最大值，试证明：22RQPSMRdxyQzPdy|- 15 -答 案二 .选择1.D 2.D 3 .D 4.A 5.C三 .填空1. 0 2 3. 4. 0 5. dxyzP21I6. Lyxd2四 .计算1. 2. 3.
19、4. 5. 123782maxy2arctn63R6. (1) LyLx dsxIdsxyI ),(,)(22(2) LL dsyxdsyx),(,),(7.(1) (2) (3) 9 12na24(aea8.(1) (2) (3) 13 329. 10. 236 11. 0 12. 2a yx3sin2co13.(1) (2) 14. 15.(1) (2) 4742156a)136(528116. 512a五 .证明提示：令 ，则 20)(1),(yxdtfyxF )(2ydxyfF六 .应用1. 2. 3. 22)(4hahaIx 0ayx32,- 16 -4. 5. 6. 7. )(12zmg)83ln(261jRKF23)12(5七 .模拟1.(1) 3V (2) (3) 0 (4) -1 Ldsyx),(22.(1) A (2) A (3) B (4) D3. 4. 5. 843 Cyxeyxuy22),( 3276. 7. 51232a
