1、1,课程内容,绪论 第1章 离散时间信号 第2章 离散时间系统 第3章 离散时间信号的傅里叶变换 第4章 快速傅里叶变换 第5章 离散时间系统的相位、结构与逆系统 第6章 无限冲激响应数字滤波器设计 第7章 有限冲激响应数字滤波器设计,2,数字信号,3,1.1 典型离散信号 1.2 离散信号的运算 1.3 信号的分类 1.4 噪声 1.5 信号空间的基本概念 1.6 确定性信号的相关函数,第1章 离散时间信号,4,1.单位抽样信号（Kronecker 函数）,1.1 典型离散信号,单位冲激信号（Drac 函数）,5,2.脉冲串序列,1.1 典型离散信号,冲激串序列,6,将 用 来替换,离散序列
2、,连续信号抽样的数学模型（离散信号）,7,则,3. 单位阶跃序列,8,4. 正弦序列,( ： Hz; ： rad/s; ： 抽样频率, Hz ),圆（周）频率,9,例:,则,令,则:,则周期,正弦序列的周期,10,6. 指数序列, 欧拉公式,5. 复正弦序列,11,1. 移位：,整个序列移动,1.2 离散信号的运算,的基本运算包括：移位、相加、相乘及变换,12,: n时刻的值,: 过去时刻的值,: 将来时刻的值,的单位延迟,是,x（n）中各时间值的含义,13,: n时刻的值,: 过去时刻的值,: 将来时刻的值,的单位延迟,是,序列 在某一时刻k的值可以用 的延迟表示,的抽取性质,14,2. 两
3、个信号的相加与相乘：,3. 信号时间尺度的变化,两个序列有相同的长度和相同的时间范围,，M为正整数,信号的抽取：,，L为正整数,信号的插值：,时间反转：,15,4. 信号的分解,分解的基向量,分解系数,信号的离散表示,若分解系数两两正交，则该分解为x的正交展开或正交分解。,16,5. 信号的变换信号分解的逆过程,分解的基向量,分解系数,信号的离散表示,给定x及分解的基向量的情况下，求解分解系数。或者理解为将信号由一个域映射到另一个域的运算。 常用的变换有傅里叶变换、离散余弦变换、希尔伯特变换、小波变换等。,17,1. 连续，离散根据时间变量的取值,2. 周期，非周期,3. 确定性信号，随机信号
4、,1.3 信号的分类,4. 能量信号，功率信号,信号能量的定义式则为能量信号,均匀分布的随机变量,18,信号功率的定义式则为功率信号,周期信号的功率,周期信号、准周期信号和随机信号，由于其时间无限， 故这些信号都不是能量信号，通常是功率信号。存在 于有限时间区间内的确定性信号有可能是能量信号。,19,相关是研究两个信号之间，或一个信号与其移位后的相关性，是信号分析、检测与处理的重要工具。,1.6 确定性信号的相关函数,这两种相关系数可用来描述两个信号之间的相似程度，又称为归一化的相关系数。,20,之间的互相关函数,之间的互相关函数,自相关函数：,21,自相关函数：,实序列,复序列,性质：,22
5、,功率信号相关函数的定义：,自相关,互相关,对于能量信号：,自相关,对于功率信号：,23,1. 若 是周期的，周期是 ，则,2. 若 是实信号，则,3. 取最大值， 为信号功率,若 是复信号，则,功率信号自相关函数的性质：,24,同频率余弦,例1.6.2:,25,例：相关函数的应用信号周期性的检测,，其中u(n)为白噪声，s(n)周期为M,主要集中在m=0处有值,功率信号的自相关函数在 取最大值，为 。,26,2.1 离散时间系统的基本概念 2.2 离散时间系统的输入输出关系 2.3 Z变换的定义 2.4 Z变换的收敛域 2.5 Z变换的性质 2.6 离散时间系统的转移函数 2.7 离散时间系
6、统的频率响应 2.8 离散时间系统的极零分析 2.9 滤波的基本概念 2.10 IIR系统的信号流图与结构 2.11 与本章内容有关的MATLAB文件,第2章 离散时间系统,27,连续系统的描述：,微分方程、卷积、转移函数（Laplace变换）、频率响应（Fourier 变换）,2.1 离散时间系统,离散系统的描述：,差分方程、卷积、转移函数（Z 变换）、频率响应（DTFT, DFT）,28,2.1 离散时间系统,当,时，输出 称为单位抽样响应，记为,描述了离散系统的固有特征，是重要的物理参数。,29,例:,当前时刻,差分方程,前一时刻,一阶自回归差分方程的信号流图,单位抽样响应为无限长的系统
7、：IIR系统(Infinite Impulse Response),即,30,例:,三点加权平均器,三点平均器,三点加权平均器信号流图,n为其它值,单位抽样响应为有限长的系统：FIR系统(finite Impulse Response),31,1. 线性 Linear,含意：该系统满足迭加原理,离散系统的几个重要定义,32,2. 移不变性,同时具有线性和移不变性的离散时间系统称为线性移不变（Linear-Shift Invariant System，LSI）离散时间系统，本书中简称LSI系统。,含意： 移不变性质保证对给定的输入，系统的输出和输入施加的时间无关。,33,例2.1.5(1),判断
8、系统是否线性、移不变？,系统是线性的,则,所以系统对 的输出是,对 的输出是,而,由于,所以,系统不具备移不变性,34,3. 因果性 Causality,因果系统,非因果系统,含意：一个实际的物理系统，其在任意时刻的输出只决定于当前时刻的输入、过去时刻的输入，而和将来时刻的输入无关。,因果性的判别方法：,35,4. 稳定性 Stability,若：有：,含意：输入有界，输出也有界,定义,不是稳定的,36,线性移不变离散时间系统的一般形式：,2.2 离散时间系统的输入输出关系,37,将 作如下形式的分解：,输入 输出,38,称LSI系统的线性卷积,离散时间系统的输入输出关系,计算步骤： 1. 将
9、 换成 ，得 ；2. 将 翻转，得 ；3. 将 移动 ，得 ； 4. 将 和 对应相乘、相加。,系统稳定的充要条件：,即：,39,系统稳定的充要条件：,系统稳定,即：,充分性：,必要性：,因系统稳定，则y(0)有界,40,Laplace变换：,2.3 Z变换的定义,离散信号x(n)的 z 变换定义为,如何由时域：信号x(t)的拉氏变换得到离散信号的 z 变换？,复频域,频域(Fourier 变换 ),双边 z 变换指n从-到，单边 z 变换(X+ (z) 指n从0到,41,令：,得到：,42,离散时间序列的傅里叶变换， DTFT,当,43,2.4 Z变换的收敛域,收敛域ROC除 外，还取决于
10、的取值,是 的模，所以 ROC 具有 “圆”，或“环”的形状。,44,例2.4.1：,使Z变换的分母为0的点，称为Z变换的极点。,45,例2.4.2：,46,1.,ROC：,3.,ROC:,有限长离散时间信号 Z变换的收敛域,即,即,2.,ROC：,即,47,ROC:,右边无限长序列,ROC：,左边无限长序列,ROC:,双边无限长序列,ROC:,ROC：,48,例2.4.5：,思考：什么信号的z变换的收敛域是整个z平面？,单位抽样信号的z变换的收敛域是整个z平面,49,1. 线性:,2.3 Z变换的性质,例,50,表示单位延迟,2. 时移性质:（1） 双边Z变换,（2） 单边Z变换,51,（3
11、） 为因果序列，则,3. 指数加权性质:,4. 线性加权性质:,52,5. 时域卷积性质:,= ,53,一些典型信号的Z变换,54,1.,2.,3.,2.6 离散系统的转移函数,55,4.,系统为FIR系统,则h(n)为无限长，系统为IIR系统,56,5.,以上关系是离散时间系统中的基本关系，它们从不同的角度描述了系统的性质，它们彼此之间可以互相转换。,1.,2.,3.,4.,57,令,则,2.7 离散时间系统的频率响应,系统的频率响应,系统的输出包含和输入同频率的正弦，但受到一复函数的调制。该复函数即系统的频率响应。频率响应是系统单位抽样响应的傅里叶变换，在系统的分析和综合中起到了重要的作用
12、。频率响应进一步可分成幅频响应 和相频响应 。,系统的特征函数,58,周期性,实部与虚部,模与角度，幅频响应与相频响应,离散时间系统频率响应性质,偶函数,奇函数,59,使分子多项式 = 0 的 的 Zeros (零点),使分母多项式 = 0 的 的Poles(极点),2.8 离散时间系统的极零分析,60,1. 稳定性: 判别条件1：,稳定性: 判别条件2 ：所有极点都在单位圆内。,极零分析的应用,证明：,61,2. 由极零图估计系统的频率响应：,62,例2.8.1 由极零分析大致画出系统的频率响应：,63,2.9 滤波的基本概念,目的：去除噪声，或不需要的成分； 原理：信号通过线性系统输入输出
13、的关系。,滤波器的截至频率,线性滤波,64,实现本系统需要一个加法器， 个乘法器， 个延迟单元。,2.10 IIR系统的结构及信号流图,能否改造，从而节约延迟单元？,可以！,65,则：,及,66,IIR系统的直接实现形式,假设NM,实现本系统需要两个加法器， 个乘法器， 个延迟单元。,67,级联实现,假设NM，N为偶数,当N为奇数时，有（N+1）/2个子系统。,68,并联实现,69,3.1 连续时间信号的傅立叶变换 3.2 离散时间信号的傅立叶变换 3.3 连续时间信号的抽样 3.4 离散时间周期信号的傅立叶级数 3.5 离散时间傅立叶变换DFT 3.6 用DFT计算线性卷积 3.7 与DFT
14、有关的几个问题,第3章离散时间信号的傅立叶变换,70,1. 傅立叶级数,3.1 连续信号的傅立叶变换,71,FS FT 对应连续周期信号 对应连续非周期信号离散 连续谐波幅度 频谱密度,2. 连续非周期信号的傅立叶变换：信号能量有限,FT,3. 傅立叶级数与傅立叶变换的区别与联系,72,由,得,73,周期信号：可以实现傅里叶级数分解，属功率信号； 非周期信号：可以实现傅里叶变换，属于能量信号。,周期信号能否实现傅里叶变换？,在经典数学的意义上是不可实现的，但在引入了奇异函数后可以实现。,74,因此，时域连续的周期信号的傅里叶变换在频率域是离散的、非周期的。,因此，时域连续的非周期信号的傅里叶变
15、换在频率域是连续的、非周期的。,当 为周期信号时，有：,当 为非周期信号时，有：,75,2. DTFT： 可以看作是将 在频域展开为傅立叶级数，傅立叶系数即是 。,3.2 离散时间信号的傅里叶变换(DTFT),定义,1. 是 的连续周期函数，周期为 。,3. 是 在单位圆上取值时的 变换：,76,DTFT的反变换,由 可知 的幅度谱、相位谱及能量谱，从而实现离散信号的频域分析。,77,线性则,移位则,3. 奇偶、虚实性质,DTFT的性质,78,如果 是实信号，即,如果 是实偶信号，即 ，则 是 的实函数，频谱为实数，相频响应恒为0。,79,4. 时域卷积定理,则：,5. 频域卷积定理,则：,8
16、0,6. 时域相关定理,互相关：,自相关：,81,7. Parsevals 定理：信号时域的总能量等于频域的总能量,：能量谱,82,8. WienerKhinchin 定理,对功率信号x(n)，其自相关函数定义为：,定义： 为功率信号的功率谱。 功率信号的自相关函数和其功率谱是一对傅立叶变换。 信号的总功率则为：,83,例3.2.3:,3.2.4：一些典型信号的DTFT,84,3.2.4：一些典型信号的DTFT,85,3.3 抽样定理,信号抽样的数学模型：,86,3.3 抽样定理,信号抽样的数学模型：,87,3.3 抽样定理,信号抽样的数学模型：,88,周期延拓，无穷迭加,迭加后可能产生的影响
17、,89,或,要求：,若保证,相等,则,可保留,全部信息,抽样定理,90,如何保证 ?,1. 做频谱分析，了解 的行为；,2. 使用抗混叠滤波器，限制 的范围。,：奈奎斯特频率,：折叠频率,如果抽样频率不满足要求，将出现频谱的混叠，将无法恢复原信号。,91,工程上： 使用 D/A 转换器；,在满足抽样定理的情况下， 的一个周期即等于 ，因此，可截取之。,理论上： 导出如下：,信号的重建,92,其余为零,插值公式,93,如何对 作频谱分析？,因为 是离散的，故频谱是周期的；,因为 是周期的，故频谱是离散的；,即： 的频谱应是离散的、且是周期的。,但： 是功率信号，不能直接作DTFT；,3.4 离散
18、时间周期信号的傅立叶级数（DFS）,周期序列,94,记,DFS,95,即： 是周期的，周期是 ，间隔是 。,是周期的，周期是 ，间隔是 。,各取一个周期，记：,DFT,96,DFT与DTFT及Z变换之关系,97,DFT的性质,1. 线性:,2. 正交性,98,3. 循环移位,99,为实序列：,4. 奇、偶、虚、实对称性质,为复序列：,100,5. Parsevals 定理,6.循环卷积,线性卷积：,都是 点序列,当和DFT联系起来时，注意到 都是以 为周期的周期序列。移位时有移出也有移入 。,循环卷积定义为：,101,3.6 用 DFT 计算线性卷积,非周期信号,能否用DFT来实现线性卷积呢？
19、,102,103,一、分辨率 分辨率问题是信号处理中的基本问题，包括频率分辨率和时间分辨率。,3.7 与DFT有关的几个问题,频率分辨率定义为：将信号中两个靠的很近的谱峰区分开的能力。 频率分辨率：一是取决于信号的长度，二是取决于频谱分析的算法。 时间和频率是描述信号的两个主要物理量，它们通过傅里叶变换相联系。,104,设 长度为 ，则 的分辨率,主瓣宽度反比于时间长度,105,对 DTFT: 设抽样间隔为 ， 则,主瓣宽度反比于时间长度,106,用计算机分析和处理信号时，信号总是有限长，其长度即是矩形窗的宽度，要想分辨出 处的两个频谱，数据长度必须满足：,107,对DFT:,此为 相邻两点的
20、频率间隔，也是最大分辨“细胞”。若要分辨出 处的两个谱峰， 必须大于 。,108,例：,试确定将三个谱峰分开所需要的数据的长度。,在本例中，最小的,由,有,即要想分辨出这三个谱峰，数据的长度至少要大于1000，从DFT的角度看 若令,则,109,作 业,P149 3.19,110,第4章 快速傅立叶变换,4.1 概述 4.2 时间抽取（DIT）基 2FFT 算法 4.3 频率抽取（DIF）基 2 FFT算法,111,4.1 概述,112,解决耗时的乘法问题是将数字信号处理理论用于实际的关键问题。特别是30年前，计算机的速度相当慢。因此，很多学者对解决DFT的快速计算问题产生了极大的兴趣。DSP
21、的正式开端！,Cooley J W, Tukey J W. An algorithm for the machine computation of complex Fourier series. Mathematics of Computation, 1965, pp297301,FFT 的思路：,如何充分利用这些关系？,113,4.2 时间抽取基 2 算法,问题是如何分最有效？可以对时间变量分 （DIT)，也可对频率变量分(DIF）,FFT的核心思想是：,令：,114,所需运算量： 复数乘法次数 复数加法次数,注意：因子的位置；输入序列的顺序码位倒置。,4,115,因子的位置,0 1 2 .
22、 M-1,0 000 000 0 4 100 001 1 2 010 010 2 6 110 011 3 1 001 100 4 5 101 101 5 3 011 110 6 7 111 111 7,码位倒置,116,4.3 频率抽取基 2 算法,令：,117,118,4,各是 N/2 点的DFT，继续分解，直到两点DFT,输入正序，输出倒序。注意 因子的位置,119,第5章离散时间系统的相位、结构与逆系统,5.1 离散时间系统的相频响应 5.2 FIR 系统的线性相位特性 5.3 具有线性相位系统的FIR系统的零点分布 5.4 全通系统与最小相位系统 5.5 谱分解 5.6 FIR 系统的
23、结构,120,5.1 离散时间系统的相频响应,相频响应,如果： ，称其为线性相位。,对输入 ，有,假定：,所以：,输出是输入的简单移位，移位的大小正比于 ，因此不会发生失真。,幅频响应,121,5.2 FIR 系统的线性相位,对 FIR 系统，如果保证： 则该系统具有线性相位。,上述对称有四种情况：,第一类 FIR 系统：,偶对称,奇对称,第二类 FIR 系统：,122,令：,相位增益,只要保证滤波器的系数偶对称，该滤波器必然具有线性相位。,123,2. 为偶数,令：,则：,第二类 FIR 系统,3. 为奇数,124,4. 为偶数,125,所以， 的零点也是 的零点，反之亦然,5.3 具有线性
24、相位系统的零点分布,令：,则：,线性相位系统二者相等,126,5.4 全通系统和最小相位系统,如果一个因果系统的幅频响应对所有的频率都等于1 (或一个常数)， 即,则称系统 为全通系统。,最简单的全通系统举例,全通系统,一阶全通系统：,镜像对称,127,一个因果、稳定的离散系统，其极点必须在单位圆内，但对零点没有限制，如果：,1. 所有的零点都在单位圆内：最小相位系统 2. 所有的零点都在单位圆外： 最大相位系统； 3. 单位圆内、外都有零点： 混合相位系统。,最小相位系统,在具有相同幅频响应的因果的稳定的滤波器集合中，最小相位滤波器具有最小的相位偏移；,最小相位系统的性质：,128,2. 在
25、所有具有相同幅频响应的离散系统中, 最小相位系统的 具有最小的延迟；所以，最小相位系统的单位抽样响应又称最小延迟序列。,最小相位系统的性质：,例：以下系统具有相同的幅频响应，试判断，哪一个是最小相位系统？最大相位系统？混合相位系统？,最小相位系统,最大相位系统,混合相位系统,129,第6章 无限冲激响应数字滤波器设计,6.1 滤波器的基本概念 6.2 模拟低通滤波器的设计 6.3 模拟高通、带通及带阻滤波器的设计 6.4 用冲激响应不变法设计IIR数字低通滤波器 6.5 双线性Z变换法设计IIR数字低通滤波器 6.6 数字高通、带通及带阻滤波器的设计,130,滤波原理,6.1 滤波器的基本概念
26、,131,滤波器的技术要求,低通：,单位 (dB),若幅度在 下降到 0.707， 则,若幅度在 下降到 0.01：,归一化为1,132,高通：,带通：,带阻：,133,1. 给定所设计的滤波器的技术指标：,LP, HP,BP, BS,2. 设计出一个 ，使其逼近给定的技术要求。,数字滤波器设计的一般步骤:,134,给定数字滤波器的技术指标,得到数字低通、高通、带通、带阻滤波器,得到模拟低通、高通、带通、带阻滤波器,转换成模拟低通滤波器的技术指标,设计模拟低通滤波器G (S),转换成模拟滤波器的技术指标,数字IIR滤波器设计的具体步骤：,135,6.2 模拟低通滤波器的设计,一、概述,将要求的
27、衰减和模拟滤波器的幅平方特性联系起来。,136,将 按不同的原则简化，可得到不同形式的滤波器，即不同的 表达式：,1. 巴特沃思(Butterworth)滤波器,2. 切比雪夫I型(Chebyshev-I)滤波器,137,1. 将实际频率归一化，得归一化幅平方特性,2. 求 和,由：,有：,二、Butterworth滤波器的设计,138,对Butterworth滤波器，通常 ，所以,3. 确定,139,6,则：,140,4.巴特沃思滤波器幅频响应的特点,141,例：给定技术指标，设计模拟低通Butterworth滤波器,142,6.4 用冲激响应不变法设计 IIR DF,给定数字滤波器的技术指
28、标,转换成模拟滤波器的技术指标,转换成模拟低通滤波器的技术指标,设计模拟低通滤波器,得到模拟高通、带通、带阻滤波器,得到数字高通、带通、带阻滤波器,143,6.5 用双线性Z变换法设计 IIR DF,放弃上一节的线性转换关系，找新的关系：,令：,双线性z变换,非线性关系，但是一对一的转换,144,Step1.,Step2. 频率转换：,Step3.,Step4.,数字低通滤波器的设计步骤：,145,数字高通滤波器设计步骤,6.6 数字高通、 带通及带阻滤波器的设计,146,对带通（BP）、带阻（BS）数字滤波器的设计，只需改变图中 步骤2、4：,带通,带阻,例6.6.2： 设计IIR BP D
29、F（巴特沃思滤波器），通带频率范围： 300Hz 400Hz ；阻带频率范围：200Hz、500Hz，,147,可以求出：,148,第7章 有限冲激响应数字滤波器设计,7.1 FIR DF 设计的窗函数法 7.2 窗函数,149,IIR数字滤波器：,有极点，也有零点，因此可以借用经典的连续滤波器的设计方法，且取得非常好的效果，如好的衰减特性，准确的边缘频率。由于FIR数字滤波器,只有零点而没有极点，所以没办法借用连续滤波器的设计方法。其思路是：直接从频域出发，即以某种准则逼近理想的频率特性，且保证滤波器具有线性相位。,150,7.1 FIR数字滤波器设计的窗函数法,1. 由理想的频率响应 得到
30、理想 ；,2. 由 得到因果、 有限长的单位抽样响应 ；,3. 对 加窗得到较好的频率响应。,理想频率响应,一、思路与方法：,151,设理想低通滤波器的幅频为1，相频为零：,则：,无限长，非因果，偶对称,截短，移位,即：,是因果的，且是线性相位的,于是：,152,上式的的表达式及设计 的思路可推广到高通、带阻及带通滤波器，也可推广到其它特殊类型的滤波器。实际上，给定一个 ，只要能积分得到 ，即可由截短、移位的方法得到因果的、且具有线性相位的FIR滤波器 。,高通：,相当于用一个截止频率在 处的低通滤波器 （实际上是全通滤波器）减去一个截止频率 在 处的低通滤波器。,153,相当于用一个截止频率在 处的低通滤波器 减去一个截止频率在 处的低通滤波器。,带通：,带阻：,154,例： 理想差分器及其设计,令：,理想差分器的频率特性：,理想微分器的频率特性：,理想差分器的相频特性,实际相频特性,155,例： 设计 Hilbert 变换器 （90度相移器）,使用矩形窗,使用汉明窗,M=14,
