1、离心率的五种求法 椭圆的离心率 ，双曲线的离心率 ，抛物线的离心率 10e1e1e一、直接求出 、 ，求解ac已知圆锥曲线的标准方程或 、 易求时，可利用率心率公式 来解 2012 年 5 月 6 日星期日决。cac例 1：已知双曲线 （ ）的一条准线与抛物线 的准线重合，则该双曲线的离心12yax0axy62率为（ ）A. B. C. D. 233263解：抛物线 的准线是 ，即双曲线的右准线 ，则 ，xy62212cax 0232c解得 2c， ， ，故选 D3a3ace变式练习 1：若椭圆经过原点，且焦点为 、 ，则其离心率为（ ）0,1F,32A. B. C. D. 42 41解：由
2、、 知 ， ，又椭圆过原点，0,1F,32cc ， ， ， ，所以离心率 .故选 C.ca2a121ace变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D 363解：由题设 ， ，则 ， ，因此选 C2ac2ace变式练习 3：点 P（-3，1）在椭圆 （ ）的左准线上，过点 且方向为12byx0P的光线，经直线 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）5,2ayA B C D 33221解：由题意知，入射光线为 ，关于 的反射光线（对称关系）为 ，351xyy 052yx则 解得 ， ，则 ，故选 A0532ca3acace二、构造 、
3、 的齐次式，解出根据题设条件，借助 、 、 之间的关系，构造 、 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于 的abcac e一元方程，从而解得离心率 。e例 2：已知 、 是双曲线 （ ）的两焦点，以线段 为边作正三角形1F212yx0,b21F，若边 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）1MA. B. C. D. 34313解：如图，设 的中点为 ，则 的横坐标为 ，由焦半径公式1FP2c， aexPp1即 ，得 ，解得cc202ac（ 舍去），故选 D3ae1变式练习 1：设双曲线 （ ）的半焦距为 ，直线 过 ， 两点.已知原点12byaxba0cL0,ab,到直线的距离为 ，则双曲
4、线的离心率为( )c43A. B. C. D. 2 232解：由已知，直线 的方程为 ，由点到直线的距离公式，得 ，L0abyx cba42又 , ,两边平方，得 ，整理得 ，22bac234c422316ca0164e得 或 ，又 ， ， ， ，故选2e2ba01222bce 22A变式练习 2：双曲线虚轴的一个端点为 ，两个焦点为 、 ， ，则双曲线的离心率M1F2021M为（ ）A B C D 326363解：如图所示，不妨设 ， ， ，则b,00,1cF,2，又 ，221cMF2在 中， 由余弦定理，得 ,21 211221cosMF即 ， ， 22241bcc 212cb ， ， ，
5、 ， ，故选 B22ab12a23a3e26e三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解例 3：设椭圆的两个焦点分别为 、 ，过 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 ，若 为等腰直角1F2 P21F三角形，则椭圆的离心率是_。解： 1221 cPcace四、根据圆锥曲线的统一定义求解例4：设椭圆 （ ）的右焦点为 ，右准线为 ，若过2byax0,b1F1l且垂直于 轴的弦的长等于点 到 的距离，则椭圆的离心率是 .1F1Fl解：如图所示， 是过 且垂直于 轴的弦， 于 ， 为 到准线 的距离，根据椭ABx1lADA1F1l圆的第二定义， 211De变式练习：在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为 ，焦点
6、到相应准线的距离为 ，则该椭圆的21离心率为（ ）A B C D 22214解： 12DFe五、构建关于 的不等式，求 的取值范围e例 5：设 ，则二次曲线 的离心率的取值范围为（ ）4,0 1tancot22yxA. B. C. D. 21,1,2另：由 ， ，得 ， ,tancot2yx4,0tan2cot2b ,cott22b 22 t1tacoce ， , ， ，故选 D4,01cot22e例6：如图，已知梯形 中， ，点 分有向线段 所成的比为 ，双曲线过 、ABCD2EACC、 三点，且以 、 为焦点当 时，求双曲线离心率 的取值DE43e范围。解：以 的垂直平分线为 轴，直线 为
7、 轴，建立如图所示的直角坐标系yABx，则 轴.因为双曲线经过点 、 ，且以 、 为焦点，由双曲线xoyCCDB的对称性知 、 关于 轴对称依题意，记 ，D0,c， ，其中 为双曲线的半焦距， 是梯形的高hc,20,yxEABc21h由定比分点坐标公式得 ， ，设双曲线的方程为 ，则10cx10y 12byax离心率 ，由点 、 在双曲线上，所以，将点 的坐标代入双曲线方程得 aceCEC42hc将点 的坐标代入双曲线方程得 E 112422bhac再将 、得 ， ace2bhe2e11242将式代入式，整理得 ， ，由题设 得：242e 231e43，解得 ，所以双曲线的离心率的取值范围为4
8、31322e10710,7配套练习1. 设双曲线 （ ）的离心率为 ，且它的一条准线与抛物线 的准线重12byax0,ba3xy42合，则此双曲线的方程为（ ）A. B. C. D. 241yx196482yx132yx1632x2已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍，则椭圆的离心率等于（ ）A B C D3323已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则双曲线的离心率为（ ）12byax xy34A B C D 534524在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为 ，焦点到相应准线的距离为 1，则该椭圆的离心率为 A B C D 222145在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为 ，焦点到相应准线
9、的距离为 ，则该双曲线的离心21率为（ ）A B C D 22226如图， 和 分别是双曲线 （ ）的两个焦点， 和 是以 为圆心，以1F2 12byax0,baABO为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且 是等边三角形，则双曲线的离心率为（ 1OABF2）A B C D 3525137. 设 、 分别是椭圆 （ ）的左、右焦点， 是其右准线上纵坐标为1F212byax0aP（ 为半焦距）的点，且 ，则椭圆的离心率是（ ）c3PF21A B C D 211528设 、 分别是双曲线 的左、右焦点，若双曲线上存在点 ，使 ，且1F2 12byax A0219F，则双曲线离心率为（ ）213AA
10、B C D 521021559已知双曲线 （ ）的右焦点为 ，若过点 且倾斜角为 的直线与双曲线2byax,baF06的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）A B C D ,1,1,2,210椭圆 （ ）的焦点为 、 ，两条准线与 轴的交点分别为 、 ，若2byax0a1F2xMN，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）1FMNA B C D2,02,01,21,2答案：1.由 3,ca21可得 3,6,3.abc故选 D2.已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍， ，椭圆的离心率 32cea，选 D。3.双曲线焦点在 x 轴,由渐近线方程可得2445,33bcea可 得,故选 A4
11、.不妨设椭圆方程为21ya（ab0） ，则有221ac且，据此求出 e 25.不妨设双曲线方程为2x（a0，b0） ，则有22b且，据此解得 e ，选 C6.解析：如图， 1F和 2分别是双曲线 )0,(12arx的两个焦点， A和 B是以 O为圆心，以1O为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且 ABF2是等边三角形，连接 AF1，AF 2F1=30，|AF1|=c，|AF 2|= 3c， (31)ac，双曲线的离心率为 31，选 D。7.由已知 P（ ,） ，所以 22)(2c化简得 202aceca8.设 F1，F 2 分别是双曲线 21xyab的左、右焦点。若双曲线上存在点 A，使F 1AF2=90，且|AF1|=3|AF2|，设 |AF2|=1，|AF 1|=3，双曲线中 122|aAF，12|0cAF， 离心率 0e，选 B。9.双曲线2(,)xyab的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 60o的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率 ba， ba 3，离心率 e2=22cab 4， e2，选 C10.椭圆21(0)xyab的焦点为 1F， 2，两条准线与 x轴的交点分别为 MN， ，若2|MNc， 12|Fc， 12MN ，则 ac，该椭圆离心率 e 2，选 D
