1、 理论力学8888第 8 章 刚体平面运动概述和运动分解一、是非题(正确的在括号内打 “”、错误的打“”)1平面图形的角速度与图形绕基点转动的角速度始终相等。 ( )2刚体平面运动可视为随同基点的平动和绕基点转动的合成运动。 ( )3平面图形上如已知某瞬时两点的速度为零,则此平面图形的瞬时角速度和瞬时角加速度一定为零。 ( )4在某一瞬时平面图形上各点的速度大小都相等,方向都相同,则此平面图形一定作平动,因此各点的加速度也相等。 ( )5车轮沿直线轨道滚而不滑,某瞬时车轮与轨道的接触点为车轮的速度瞬心,其速度为零,故速度瞬心的加速度亦为零。 ( )6当 时,平面图形上两点的加速度在此两点连线上
2、的投影相等。 ( )07平面图形在其平面内运动,某瞬时其上有两点的加速度矢相同,其上各点速度在该瞬时一定相等。 ( )二、填空题1刚体在运动过程中,其上任一点到某一固定平面的距离保持不变,这种运动称为刚体的 平面运动。刚体的平面运动可简化为平面图形在其自身平面内的运动。2平面图形的运动可分解为随基点的平动和绕基点的转动。平动为牵连运动,它与基点的选择有关;转动为相对运动,它与基点的选择无关。3通常把平面运动的角速度和角加速度直接称为刚体的角速度和角加速度,而无须指明它们是对哪个基点而言。4平面图形上各点的加速度的方向都指向同一点,则此瞬时平面图形的角加速度等于零。5相对某固定平面作平面运动的刚
3、体,则刚体上与此固定平面垂直的直线都作平动。三、选择题1正方平面图形在其自身平面内作平面运动。已知四点 A、B、C、D 的速度大小相等,方向如图 8.23(a)、(b)图所示,问下列结论哪个正确。( D )(A) (a)、(b)图的运动都是可能的 (B) (a)、(b)图的运动都是不可能的(C) 只有(a)图的运动是可能的 (D) 只有 (b)图的运动是可能的第 8 章 刚体平面运动的概述和运动分解8989 CvA D B C v v (a) A D B C v vv (b) 图 8.232如图 8.24 所示圆盘在水平面上无滑动地滚动,角速度 为常数,轮心点 A 的加速度为( A ),轮边点
4、 B 的加速度为( B ),轮与地面接触点 C 的加速度为( B )。(A) (B) (C) (D) 02r2r24r A B C 图 8.243如图 8.25 所示,哪个动点在做加速运动?( B ) v M a (A) (B) v M a (C) a M v 图 8.254如图 8.26 所示平面图形上两点 A、B 的加速度大小相等,方向相同,但不共线。试问此瞬时平面图形的角速度和角加速度哪一个为零?( D )(A) , 0(B) , (C) , (D) , 5杆 做平面运动,图示瞬时两点 , 速度 , 的大小,方向均为已知, 、ABABAvBC两点分别是 , 的矢端,如图 8.27 所示。
5、则杆 上各点的速度矢的端点是否都在DvB直线 上?( C )(A) 全部都在直线 上D理论力学9090(B) 只有部分在直线 上CD(C) 全部都不在直线 上(D) 无法确定Aa BA B Av BvA B C D 图 8.26 图 8.276四连杆机构中已知基点 A 的加速度 ,杆 AB 角速度 和角加速度 ,欲求点 B 的加Aa速度,画出加速度矢量图如图 8.28 所示。将基点法求加速度的公式投影于 x,y 轴,则有( C )。(A) - ,ncos0BAasin0BAB(B) - , a(C) - ,n i(D) - ,csBA sBABa O1 x A BanA B O y 图 8.2
6、87如图 8.29 所示机构中做平面运动的构件在图示位置的速度瞬心是( C )。(A) 点 (B) 点 (C) 点 (D) 无穷远点AB A B O 图 8.298一刚体做瞬时平动,此瞬时该刚体上各点( B )。(A) 速度和加速度均相同 (B) 速度相同而加速度不相同(C) 速度和加速度都不相同 (D) 速度不同和加速度可能相同四、计算题8-1 如图 8.30 所示的两齿条以 和 同方向运动。在两齿条间夹一齿轮,其半径为1v2r,求齿轮的角速度及其中心 O 的速度。第 8 章 刚体平面运动的概述和运动分解9191解:齿轮作平面运动,以 为基点,分析 点的速度。由 作 点的速度BAABv合成图
7、如图所示。由图可知21vvBA齿轮的角速度为rO再以 为基点,分析 点的速度。由 作 点的速度合成图如图所示。由图可BOBv知齿轮中心 O 的速度212vrvBO8-2 曲柄 OA = 17cm,绕定轴 O 转动的角速度 ,已知 AB = 12cm,BD = adsOA/44cm,BC = 15cm,滑块 C、 D 分别沿着铅垂与水平滑道运动,如图 8.31 所示瞬时 OA 铅垂,求滑块 C 与 D 的速度。 A 1v O B 2v v Bv B A B A B C O D v v 图 8.30 图 8.31解:由 和 的速度方向,可知杆 作瞬时平动。从而可知 方向水平向左。AvDBDBv点的
8、速度方向垂直向下。 作瞬时平动,可知滑块 D 的速度为C)/(17scmOAvA杆 BC 作平面运动,上速度投影定理,有)90cos(sCB根据图示的结构,经过数学计算,可知 , ,代入上式,678.4157352.0sin可得)/(.15sincosi scmvvABC8-3 曲柄 OA 绕定轴 O 转动的角速度 ,OA = 28cm,AB = 75cm,BC = 2radO15cm,r = 10cm,轮子沿水平面滚动而不滑动。求图 8.32 所示瞬时轮子上点 C 的速度。解:图示结构中杆 AB 和轮子作平面运动。 、 和 点的速度方向如图所示。首先ABC由 点速度计算 点的速度。杆 AB
9、作平面运动,由速度投影定理,有AB理论力学9292cossBAv根据 ,有 ,解得 , 。代入上OABin120sioO86.1oo86.4)60(9式,解得scmvAAB /7.86.1cos425.cscso轮子沿水平面滚动而不滑动,故 P 点为其速度瞬心,轮子上点 C 的速度为mCrPvB /7.1067.4828-4 在瓦特行星传动机构中,平衡杆 O1A 绕 O1 轴转动,并借连杆 AB 带动曲柄 OB,而曲柄 OB 活动地装置在 O 轴上,如图 8.33 所示。在 O 轴上装有齿轮 I,齿轮 II 的轴安装在连杆 AB 的另一端。已知: , , ,杆 O1A 的123cr15c150
10、cmAB角速度 。求当 、 时,OB 和齿轮 I 的角速度。16radsO/609 1O O1 A O r1 r2 I I B v v C P C A r O C B o60 v v v P 8.32 图 8.33 解:图示结构中连杆 AB 作平面运动。由 和 的速度方向可知连杆 AB 的速度瞬心AvB为点 。由于齿轮 II 和连杆 A 固接,可知齿轮 II 上 点的速度为 ,如图所示。连杆P CvAB 的角速度为sradPOvB /5.130761连杆 AB 端点 B 和齿轮 II 上 C 点的速度分别为 )/(25. cmA18)1( svBOB 和齿轮 I 的角速度分别为)/(75.36
11、02sradOv/18CI8-5 图 8.34 所示曲柄 OA 以角速度 = 6rad/s 转动,带动平板 ABC 和摇杆 BD,已知:OA = 100mm,AC = 150mm,BC = 450mm,BD = 400mm,ACB = 。设某瞬时90第 8 章 刚体平面运动的概述和运动分解9393OAAC,OA BD,求此时点 A、B 、C 的速度以及平板 ABC 和摇杆 BD 的角速度。解:平板 ABC 作平动,由 和 方向可知 点为vP为平板 ABC 的速度瞬心。A 点速度 为)/(601smOv平板 ABC 的角速度为radPABC /345B 点速度 为v)/(201smAC 点速度
12、为)/(1024532smPCvBC 摇杆 BD 的角速度为 sradDvB/.08-6 轮子 O 以匀角速度 = 2rad/s 转动,在图 8.35 所示瞬时,OA 铅垂,BC 水平。0求此瞬时杆 AB 与杆 BC 的角速度和角加速度。 30m A B C O 0 130m 30m M vv 130m 30m A B C O 0 30m M na na A 图 8.35解:先分析速度。杆 AB 作平面运动,由 和 的方向可知杆 AB 的速度瞬心为点vBO。故杆 AB 的角速度为sradOAAB/20转向为逆时钟方向。点 B 的速度为mv/1杆 BC 的角速度为 sradCB/67.302转向
13、为顺时钟方向。再分析加速度。杆 AB 作平面运动,以点 A 为基点,分析点 B 的加速度。由 Bna作 B 的加速度合成图。列投影方程AnBAa图 8.34ABCODPvvC理论力学9494方向:nBasincoBAnBAa其中: , ,22/3.10scmCvaBn 222 /6.417034scm, 。代入上式,可得87.3si2 9578.01o22/6033647sinc scmaaBAB 杆 AB 的角加速度为22/8.5710sradBA转向为顺时钟转向。方向:nBAa nBAnBnasisico其中: ,代入上式,有220/1034mOnA2/5.78sinscmA杆 BC 的角
14、加速度为2/6.19305.78sradBCa转向为逆时钟方向。8-7 半径为 r 的圆柱形滚子沿半径为 R 的圆弧槽纯滚动。在图 8.36 所示瞬时,滚子中心 C 的速度为 ,切向加速度为 。求这时接触点 A 和同一直径上最高点 B 的加速度。CvCa解:圆柱形滚子沿半径为 R 的圆弧槽纯滚动,是平面运动。以点 C 为基点,分别分析点 A 和 B 的加速度。由于 C 点的运动轨迹是圆周,故 C 点的加速度有切向加速度为 和Ca法向加速度 。由 作 A 点的加速度合成图。列投影方程,nCanACnAyx aa有0rxBr CavC AR O B CvaCnnaAaA nC图 8.36 第 8
15、章 刚体平面运动的概述和运动分解9595rRvrRvrva CCCnACAy )()(222 由 作 A 点的加速度合成图。列投影方程,有BnByxa CCx ar2rRvvRrv CnCy )(2)(2 8-8 图 8.37 所示机构中,曲柄 OA 以等角速度 绕 O 轴转动,且 OA = O1B = r,在图0示位置时AOO = 90 , BAO = BO 1O = 45 ,求此时点 B 加 速 度 和 O1B 杆 的 角 加 速度 。解 : 在 图 示 机 构 运 动 的 过 程 中 , 连 杆 AB 作平面运动。为了计算点 B 加 速 度 和 O1B 杆 的角 加 速 度 ,必须先进行
16、速度分析。以 A 为 基 点 分 析 B 点 的 速 度 , 由 作 B 点 的Av速 度 合 成 图 。 由 图 可 知02rvvB再以 A 为 基 点 分 析 B 点 的 加 速 度 , 由 作 B 点 的 加 速 度 合 成 图 。AnBABnaa列 投 影 方 程 :方 向 :aABo45cs其 中 : , , , 代 入 上 式 , 可 得 B 点 的 切2012rOvaBn20rnA2021rvaBn向 加 速 度201rBB 点 的 加 速 度202)(raaBnBO1B 杆 的 角 加 速 度 为2011OB理论力学9696 B O1 A O o v Av Av B O1 A
17、O o na nAa 图 8.378-9 在图 8.38 所示机构中,曲柄 ,绕 轴以等角速度 转动, ,rO0rAB6。求图示位置滑块 的速度和加速度。rBC3C8-10 平面机构的曲柄 长为 ,以匀角速度 绕 轴转动。在图 8.39 所示位置时,OAl20O,并且 。求此时套筒 相对于杆 的速度。BOADBC解:(1)首先选套筒 为动点,杆B为动系,由 作套筒 的速度reav合成图。由图可知3260sin0olvea上面所求套筒 的绝对速度 也即杆Bav的运动速度,方向水平向左。C(2)然后再分析套筒 的速度。由于D杆 作平面运动, 点和套筒 的速度ADA分别由 和 表示。由速度投影定理,
18、v有o30csDA60AC 6090OBvvv nAaAC 6090OBanAnBa图 8.38AC60ODBavrevv图 8.39第 8 章 刚体平面运动的概述和运动分解9797而 ,代入上式,有02lOAv 340cos0lvAD(3)套筒 相对于杆 的速度为DBC0015.2llvar方向水平向左。8-11 图 8.40 所示曲柄连杆机构带动摇杆 O1C 绕 O1 轴摆动。在连杆 ABD 上装有两个滑块,滑块 B 在水平槽内滑动,而滑块 D 则在摇杆 O1C 的槽内滑动。已知曲柄长 OA = 50mm,绕 O 轴转动的匀角速度 ,在图示位置时,曲柄与水平线间成 角,10rads/ 90
19、,摇杆与水平线间成 角,O 1D = 70mm。求摇杆的角速度与角加速度。60A6解:(1)由 A、B 两点的速度 和 方向,可知连杆 ABD 作瞬时平动。选套筒 为AvB D动点,摇杆 O1C 为动系,由 作套筒 的速度合成图。由图可知reaD)/(325030cos smO1invar摇杆 O1C 的角速度为)/(86.7032511 sradDOeC(2)以 A 为 基 点 分 析 B 点 的 加 速 度 , 由 作 B 点 的 加 速 度 合 成 图 如 图 所 示 。AnBa由 图 可 知 :)/(5.7360siin2o2o smaA以 A 为 基 点 分 析 D 点 的 加 速
20、度 , 由 作 D 点 的 加 速 度 合 成 图 如 图 所 示 。 再AnDa以 套筒 为动点,摇杆 O1C 为动系,由 作套筒 的加速度合成图。kre其中 和 均为套筒 的加速度,即有Da 图 8.40ABCO60DO1vvaver neaerkaBCO 60DO1nAaAAanADAaA理论力学9898 krenDAnaa列 方向的投影方程有kakeaoo30cs60cs其 中 : , ,222/510mOAn 2/5.173smADBa, 代 入 上 式 , 可 得/3921smvarCk2oo /.546930cs6cs sakDAnAe 摇杆 O1C 的角加速度为 )/(1.78
21、211 sradCOae8-12 图 8.41 所示机构中滑块 A 的速度为常值, , 。试求当 AC 0mAv04B.= CB, 时,杆 CD 的速度与加速度。30 Av A B C D v ev r a P AB Aa D A B C ra B k 1CA 1nA B nA a 图 8.41解:(1)由 A、B 两点的速度 和 方向,可知杆 AB 的速度瞬心为点 。杆 AB 转AvB P动的角速度 。选套筒 为动点,杆 AB 为动系,由 作套sradPv/12.0Creav筒 的速度合成图。由图可知杆 CD 的速度 为Dav)/(1530cos23cssmPvABera (2)以 A 为
22、基 点 分 析 B 点 的 加 速 度 , 由 作 B 点 的 加 速 度 合 成 图 如 图 所n示 。由 图 可 知)/(34.06ta60tan2o2o sABBA故 杆 AB 的角加速度为)/(32srd( 3) 再 以 A 为 基 点 分 析 杆 AB 上 与 套 筒 重 合 的 点 的 加 速 度 , 由 作C1 ACnC11a点 的 加 速 度 合 成 图 如 图 所 示 。 以 套筒 为动点,杆 AB 为动系,由 作套1C krea第 8 章 刚体平面运动的概述和运动分解9999筒 的加速度合成图如图所示。式中 。将 代 入 得C1CeaACn11akrAn列 方向的投影方程有
23、kakCCaa1o30cs其 中 : , , 代 入 上 式 , 可 得 杆 CD 的2/3.01 mACB 2/35smvrABk加速度为)/(30cos21sakC8-13 如图 8.42 所示的机构中,曲柄 ,摇杆 ,连杆 ,O10cO120cmAB曲柄 以等角加速度 转动。试求当曲柄 和摇杆 为铅直位置,并且曲柄OA25rads/AB的角速度 时,点 和点 的加速度。10/B解:(1)杆 AB 和 BC 均作平面运动。由 A、B、C 三点的速度 、 和 方向,AvBC可知杆 AB 和 BC 均作瞬时平动。可知 B 点的速度 大小为v)/(201scmOvA(2)以 A 为 基 点 分
24、析 B 点 的 加 速 度 , 由 作 B 点 的 加 速 度 合 成AnABnaa图 如 图 所 示 。 列 投 影 方 程方 向 :nacosAB方 向 :BinB其 中 : , , ,22/0scmOAan212/40mOvn 2/10scmOAa, 代 入 上 式 , 可 得61si)/(7.62980.cos 2scanABA图 8.42AB COvv vO1 O1naB COO1AnaAaaA 理论力学100100)/(5.1706.120sin2scmaBAB (3)以 B 为 基 点 分 析 C 点 的 加 速 度 , 由 作 C 点 的 加 速 度 合 成 图 如BnBCaa
25、图 所 示 。 列 投 影 方 程方 向 : 可 得 C 点 的 加 速 度)/(5.1702scmaBC8-14 平面机构中,杆 以不变的速度 沿水平方向运动,套筒 与杆 的端点铰接,AvBA并套在绕 轴转动的杆 上,滑块 可沿杆 滑动。已知 和 两平行线间的垂直OOOE距离为 ,求图 8.43 所示位置( , , )时杆 的角速度和角加bo6o3DC速度、滑块 的速度和加速度。E O bB Dv ev a rv EvD A B C v E DB ea DanEDa rnk ne A B C E O DB bB 图 8.43解:(1)选套筒 为动点,杆 为动系,由 作套筒 的速度合成BCre
26、avB图如图所示。由图可知滑块 的相对速度 和牵连速度 分别为rvo3cs02eav1inrv杆 OC 的角速度为34eOCvBb杆 OC 上 D 点的速度为 12Devv杆 DE 作平面运动,由 作 点的速度合成图。由图可知EE,ocs30v o1tan304EDv杆 转动的角速度为DE4DEvb第 8 章 刚体平面运动的概述和运动分解101101(2)再 以 套筒 为动点,杆 为动系,由 作套筒 的加速度BOCkrenaaC合成图如图所示,其中 。0a列 方向的投影方程有eaek其 中 : , 代 入 上 式 , 可 得234kOCrvb234ekvab故 杆 OC 上 D 点的速度为 2
27、18De杆 OC 的角加速度为23eOCavBb(3)再以 D 为 基 点 分 析 E 点 的 加 速 度 , 由 作 E 点 的 加 速 度 合nnEDEDa成 图 如 图 所 示 。 列 方 向 的 投 影 方 程 , 有aocs30na其 中 : , , 代 入 上 式 , 可 得2138Devb216nEDEvb748-15 如图 8.44 所示,电动机带动飞轮以匀角速顺时针转动,角速度 ,并2rads/通过连杆 带动可沿水平导轨运动的电锯条。已知 ,求当 位于铅垂位置AB 450mABOA时,锯条的加速度 和连杆的角速度。Ba解:连杆 作平面运动。由 A、B 两点的速度 和 方向,可
28、知杆 AB 作瞬时平动。ABAvB选 为基点,由 作 B 点的加速度合成图。由图可知na)/(7.1958tant 22smO图 8.44 nAaB AaAnAOO B 10Avv理论力学102102)/(1.407cos22smOAanBA连杆的角速度为)/(8.952sradBA8-16 在牛头刨床的滑道摇杆机构中,曲柄 以匀角速度 做逆时针转动如图 8.450所示。试求当曲柄 和摇杆 处于水平位置时,滑块 的速度和摇杆 的角速度,OA1 C1OB设轴 和 到滑块 之导轨的距离分别是 和 , , , 。1Cb2OAR1r43/Cb解:连杆 作平面运动。由 B、C 两点的速度B和 方向,可知
29、杆 BC 的速度瞬心为 P 点。选套筒BvC为动点,杆 为动系,由 作套筒 的Areav速度合成图如图所示。由图可知,0Rvae03Rvr故连杆 的角速度为bPAeBC2/32B、C 两点的速度 和 大小分别为v,0Rv03RCB摇杆 的角速度为1OrOv1转向为逆时钟转向。8-17 如图 8.46 所示半径为 的卷筒沿水平面滚动而不滑动,卷筒上固连有半径为 的R r同轴鼓轮,缠在鼓轮上的绳子由下边水平伸出,绕过定滑轮并于下端悬有重物 ,设在M已知瞬时重物具有向下的速度 和加速度 ,试求该瞬时卷筒铅直径两端点 和 的加速vaCB度的大小。解:(1)卷筒沿水平面滚动而不滑动,可知 点为其速度瞬心
30、。卷筒转动的角速度为CrRvD(2)选 为基点,分析点 、点 和点 的加速度。由 、OBDOnODaa和 分别作点 、 和 的加速度合ByxaBOnaCnOCyxaBC成图如图所示。由 的加速度合成图,列 投影方程有DD其中: , , ,代入上式,可得ROrOrRa由 点的加速度合成图,分别列投影方程有COO1ABCbbavrevvPC0第 8 章 刚体平面运动的概述和运动分解103103方向: Cxa0COxa方向: y 22)(rRvny故 点的加速度为 ,再由 的加速度合成图,分别列投影方程C22)(rvaaCxCB有方向:Bx rRaBOBx 方向:ya 22)(vany故 点的加速度
31、为B 4224)(rrBxB 8-18 如图 8.47 所示曲柄连杆机构中,曲柄 OA 绕 O 轴转动,角速度为 ,角加速度0为 ,在某瞬时曲柄与水平间成 角,而连杆 AB 与曲柄 OA 垂直。滑块 B 在圆形槽内060滑动,此时半径 O1B 与连杆 AB 间成 角。如 OA = a, , ,求在该323ABa12O瞬时,滑块 B 的切向加速度和法向加速度。解:(1)连杆 AB 作平面运动。以 A 为基点,分析 B 点的速度。由 作 BBAv点的速度合成图,由图可知: o0/cs62BAvatn3(2)以 A 为基点,分析 B 点的加速度。由 作 B 点的加nnnBABAa速度合成图。列投影方
32、程图 8.46RBCOrMDvCBxaBODnanOnOayxy理论力学104104方向的投影方程,有nBAaoocs30cs6n nBBABaa其中: , , ,解得2214nBvO0AO 22003BAav23BaaA B o60 O O1 30 v Av Av B Ba nA nAaABa A B o60 O O1 30 图 8.478-19 OA 杆以匀速度 绕 O 轴转动,圆轮可沿水平直线做无滑动的滚动。已知0OA=R=10cm, AB=20cm,试求如图 8.48 所示位置圆轮的角速度和圆心的加速度。解:(1)AB 杆作平面运动。以 A 为基点,分析 B 点的速度。由 作 B 点B
33、Av的速度合成图,由图可知:o003tan0BAvOR2/cs圆轮的角速度的大小为 03BvR转向为顺时钟转向。(2)再以 A 为基点,分析 B 点的加速度。由 作 B 点的加速度合成图。nBABAaaR BA0AvO AvBAvnAaBanBAR BA0O图 8.48第 8 章 刚体平面运动的概述和运动分解105105列 方向的投影方程,有nBAaoocs30csnnBABAaa而 , ,故有20nAOR 22 20()nARvo 20cs301(943)nBABa方向与假设的方向相反,即水平向左。8-20 曲柄 OA 以恒定的角速度 绕轴 O 转动,并借助连杆 AB 驱动半径为 r 的02
34、rds/轮子在半径为 R 的圆弧槽中做无滑动的滚动。设 OA = AB = R = 2r = 1m,求如图 8.49 所示瞬时点 B 和 C 的速度和加速度。 O C R O1 r B 0 P A v v O C O1 B 0P A na nAa n Ba x y 图 8.49解:(1)连杆 AB 和轮子均作平面运动。由 A、B 两点的速度 和 方向,可知连AvB杆 AB 作瞬时平动。由于轮子在半径为 R 的圆弧槽中做无滑动的滚动,故接触点 P 为其速度瞬心。轮子中心 B 点的速度为02(/)BAvOms轮子的角速度的大小为 4/Brad轮子边缘 C 点的速度为 2.8(/)CBPvPs(2)再以 A 为基点,分析 B 点的加速度。由 作 B 点的加速度nnBABAa合成图。列 方向的投影方程,有nBanBAa而 ,故有0nA0理论力学106106说明轮子转动的角加速度为 。而 ,故 B 的加速度为0B228/nBvamsRr,方向垂直向上。28/nBams(3)再以 B 为基点,分析 C 点的加速度。由 作 C 点的加nnCxcyBCBaa速度合成图。列 方向的投影方程,有Cx nCxBCa而 ,故有 。228/nBarms28/Cxms列 方向的投影方程,有Cy nCyBC而 ,故有 。故轮子边缘 C 点的加速度为0B 2/yas221.3(/)xcyams