1、经典例题透析类型一：求函数的平均变化率例 1、求 在 到 之间的平均变化率，并求 ， 时平均变化率的值.21yx0x01x2思路点拨: 求函数的平均变化率，要紧扣定义式 进行操作.0()(ffy解析：当变量从 变到 时，函数的平均变化率为0xx2200()()1ff x042x当 ， 时，平均变化率的值为： .01x215总结升华：解答本题的关键是熟练掌握平均变化率的概念，只要求出平均变化率的表达式，其他就迎刃而解.举一反三：【变式 1】求函数 y=5x2+6 在区间2 ，2+ 内的平均变化率。x【答案】 ，225()6(5)05yxx所以平均变化率为 。0【变式 2】已知函数 ，分别计算 在
2、下列区间上的平均变化率： 2()fx()fx（1）1，3；（2）1，2；（3）1，1.1；（4）1，1.001. 【答案】（1）4；（2）3；（3）2.1；（4）2.001. 【变式 3】自由落体运动的运动方程为 ，计算 t 从 3s 到 3.1s，3.01s，3.001s 各段内的平均速21sgt度（位移 s 的单位为 m） 。【答案】要求平均速度，就是求 的值，为此需求出 、 。tst设在3，3.1 内的平均速度为 v1，则，13.0.(s)t。22(3.0.35(m)sgg所以 。1.5.0( /s)vt同理 。2.3.( /)sgt。30.53.0(m /s)1sgvt【变式 4】过曲
3、线 上两点 和 作曲线的割线，求出当 时()yfx1,P(,1)Qxy0.1x割线的斜率.【答案】3.31当 时0.1x 33()(1)(1)10PQyfxfxk类型二：利用定义求导数例 2、用导数的定义，求函数 在 x=1 处的导数。()yfx解析： 1(1)(yfxfx(1)x(1) ()yxx 。011)lim2xf总结升华：利用导数的定义求导数的步骤：第一步求函数的增量 ；第二步求平均变化率 ；第三步取极限得导数。yyx举一反三：【变式 1】已知函数 1x（1）求函数在 x=4 处的导数.（2）求曲线 上一点 处的切线方程。yx7(4,)P【答案】（1） 0 0114(2)()(4)l
4、imlimx xxfff01(42)4limx x04()42limx x，015li()62xx（2）由导数的几何意义知，曲线在点 处的切线斜率为 ，7(4,)P(4)f所求切线的斜率为 。516所求切线方程为 ，整理得 5x+16y+8=0。7()4yx【变式 2】利用导数的定义求下列函数的导数：（1） ；()fxc（2） ；（3） ；2()fx（4） 。1【答案】（1） ，()(0yfxfxc ， 。00limlixxy（2） ，()(ffxx ，1x 。00lilixy（3） ，22()()()ffxx ，2yx 。00limli()xxx（4） ，1)yff()()xx ，1()yx
5、x 。2001limli()xxx例 3、求曲线 y=x3+2x 在 x=1 处的切线方程.思路点拨：从函数在一点处的导数定义可求得函数 y=x3+2x 在 x=1 处的导数值，再由导数的几何意义，得所求切线的斜率，将 x=1 代入函数可得切点坐标，从而建立切线方程 .解析：设 .3()2fx0(1)(limxfff330(1)2()(12)limxx20()35lix20li()5x由 f(1)=3，故切点为（1，3） ，切线方程为 y3=5(x1)，即 y=5x2.总结升华: 求函数 图像上点 处的切线方程的求解步骤：()yfxP0(,)xy 求出导函数在 处的导数 （即过点 的切线的斜率
6、），0fP 用点斜式写出切线方程，再化简整理。举一反三：【变式】在曲线 y=x2 上过哪一点的切线：（1）平行于直线 y=4x5；（2）垂直于直线 2x6y+5=0；（3）与 x 轴成 135的倾斜角。【答案】 ，20 0()()()limlimx xff xf设所求切点坐标为 P（x 0，y 0） ，则切线斜率为 k=2x0（1）因为切线与直线 y=4x5 平行，所以 2x0=4，x 0=2，y 0=4，即 P（2，4） 。（2）因为切线与直线 2x6y+5=0 垂直，所以 ，得 ， ，0123032x094y即 。39(,)（3）因为切线与 x 轴成 135的倾斜角，所以其斜率为1。即 2
7、x0=1，得 ， ，01x0y即 。1(,)24P例 4已知函数 可导，若 ， ，求()fx(1)3f()f21()3limxf解析： （ ）22113limli()xxffx()f21()li()xff（令 t=x2，x1，t1）211()lili()xxff1limtf2()36f举一反三：【变式】已知函数 可导，若 ， ，求()fx(3)2f()f32()limxfx【答案】 3326limlixx()f32lix()f 2)8f类型三：利用公式及运算法则求导数例 5求下列函数的导数：（1） ； （2） 4yx53yx（3） ； （4）y=2x 33x 2+5x4 2loglx解析：（1
8、） .44154()yxx（2） .332555523(（3） ， .22logllogyxx1(log)ln2yx（4） 3 2()5()465总结升华：熟练掌握导数基本公式，仔细观察和分析各函数的结构规律，选择基本函数求导公式进行求导；不具备求导法则条件的，一般要遵循先化简，再求导的原则，适当进行恒等变形，步步为营，使解决问题水到渠成.举一反三：【变式】求下列函数的导数：（1） ； yx（2） 2sin(1cos)4x（3）y=6x 34x 2+9x6【答案】（1） .33122()(yxx（2） sin1cos)42in(cos1)4xsincosi2xx .yx（3） 3226()9(
9、)689xx例 6求下列各函数的导函数（1） ；（2）y=x 2sinx; 2()1)(fx（）y= ； （）y=ex xsinco解析：（1）法一：去掉括号后求导. 32()3fxx6法二：利用两个函数乘积的求导法则 22()1)(3(1)3fxxx=2x(2x3)+(x 2+1)2=6x26x+2（2）y=（x 2）sinxx 2（sinx）=2xsinxx 2cosx 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j（） = 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j2(e1)(e1) xy )(e（4） 2(cos)(in)(cosinxx = 2)sin()cos1()sin1
10、(xxx= 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j2)si(cos举一反三：【变式 1】函数 在 处的导数等于( )2(1)yxxA1 B2 C3 D4【答案】D法一： 2()()1yxx213x .|4xy法二： 22()(1)x321x 3yx .1|4x【变式 2】下列函数的导数（1） ； （2）2()3)y31xy【答案】（1）法一： 13223xx253x 610y法二： )13)(2() 2xxx= +3)42610x（2） 2323y51 xx【变式 3】求下列函数的导数.（1） ； （2） ；（3） .231()yx1()yx52sinxxy【答案】（1） ， .32
11、23（2） ，121()xyx .312（3） ，32sinyxx52 2 ()i(sin)x.52323sicoxx类型四：复合函数的求导例 7求下列函数导数.（1） ； （2） ；41(3)yxln(2)yx（3） ； （4） .21ecos1思路点拨:求复合函数的导数首先必须弄清函数是怎样复合而成的，然后再按复合函数的求导法则求导.解析：（1） ， .4yu13x4()xx.5521(3)ux（2） ，lnyu (ln)2xxu1（3） ， .euy2x (e)21uxuxy12（4） ， ，cos (cos)2xuxyx.2ini1总结升华： 复合函数的求导，一定要抓住“中间变量”这一
12、关键环节，然后应用法则，由外向里一层层求导，注意不要漏层。熟练以后，可以摆脱引入中间变量的字母，只要心中记住就行，这样可以使书写简单； 求复合函数的导数的方法步骤：（1）分清复合函数的复合关系，选好中间变量；（2）运用复合函数求导法则求复合函数的导数，注意分清每次是哪个变量对哪个变量求导数；（3）根据基本函数的导数公式及导数的运算法则求出各函数的导数，并把中间变量换成自变量的函数.举一反三：【变式 1】求下列函数的导数：(1) ； （2） 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j82)1(xy3y（3）y=ln（x ） ； （4） ()sin)fe【答案】(1)令 , ,21u8uy
13、.)21(34)1() 772 xxuxyxx （2）令 ,3yu.3131)(1)() 2231232331 xxxuxx（3） = 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j22()1yx 22()1xx（4） ()cosincosinfee(i)xxxsicse(2n)x2sinxe类型五：求曲线的切线方程例 8求曲线 y=x3+2x 在 x=1 处的切线方程.解析： ，2yx1|5xx=1 时，y=3，切点为（1，3） ，切线斜率为 5切线方程为 y3=5(x1)，即 y=5x2.总结升华: 求函数 图像上点 处的切线方程的求解步骤：()yfxP0(,)xy 求出函数 的导函数
14、f 求出导函数在 处的导数 （即过点 的切线的斜率），0x0()xP 用点斜式写出切线方程，再化简整理。举一反三：【变式 1】求曲线 在点 处的切线的斜率，并写出切线方程.1yx(,2)解析： 2()切线的斜率 .1|4xky切线方程为 ，即 .()240xy【变式 2】已知 ， 是曲线 上的两点，则与直线 平行的曲线 的切线方(1,)P,4Q2PQ2yx程是_.【答案】 的导数为 .2yx2yx设切点 ，则 .0(,)M0|x 的斜率 ，又切线平行于 ，PQ412PQkPQ ， ，切点 ，0|xy0x1(,)24M切线方程为 ，即 .440y【变式 3】已知曲线 .3:Cyx（1）求曲线 上
15、横坐标为 1 的点处的切线的方程；（2）第（1）小题中的切线与曲线 是否还有其他的公共点？【答案】（1）将 代入曲线 的方程得 ，切点 .xC1y(,1)P ， .23y1|3xy过点 的切线方程为 ，即 .P()x320y（2）由 可得 ，解得 或 .32yx2(1)01x从而求得公共点为 ，或 .,(,8)P切线与曲线 的公共点除了切点外，还有另外的点.C例 9已知直线 为曲线 在点（1，0）处的切线， 为该曲线的另一条切线，且 .1l2yx2l 12l（1）求直线 的方程；2（2）求由直线 、 和 轴所围成的三角形的面积.1lx解析：（1） ，y1|23xy直线 的方程为 .1l设直线
16、过曲线 上的点 ，22yx2(,)Bb则 的方程为 ，即 .l )1)bx（ （ ） 2(1)ybx因为 ，则有 ， .1213所以直线 的方程为 .l29yx（2）解方程组 得3,1x,65.2y所以直线 和 的交点坐标为 .1l21(,)、 与 轴交点的坐标分别为（1，0） 、 ，1l2x(,0)3所以所求三角形的面积为 .251|2S举一反三：【变式 1】如果曲线 的某一切线与直线 平行，求切点坐标与切线方程 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j103xy 34xy【答案】 231yx设切点坐标为 0(,)My切线在点 的斜率为 0022(31)xx切线与直线 平行， 斜率为
17、 44y ，1320x10x或80y20y切点为（1，-8）或（-1，-12） 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j切线方程为 或)(4)(4即 或 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j2xy8【变式 2】曲线 在点（1，1）处的切线与 轴、直线 所围成的三角形的面积为_.3 2x【答案】由题意，切线的斜率为 ，21|3xy切线方程为 ，()与 轴交点为 ，直线 的交点为（2，4） ，x2,03x .18|4S【变式 3】曲线 在（0，1）处的切线与 的距离为 ，求 的方程.2ecosxyl5l【答案】由题意知， 2()3e(cos)x2 2ecs)inx x2oex曲线在（0，1）处的切线的斜率 0|2xky该切线方程为 121yx设 的方程为 ，lm则 ，|5d解得 ，或 .4m6当 时， 的方程为 ；l24yx当 时， 的方程为6综上可知， 的方程为 或 .lyx6yx
