1、1,7.4 最短路径与关键路径,带权图 最短路径与Dijkstra标号法 PERT图与关键路径,2,最短路径,带权图G=, 其中w:ER. eE, w(e)称作e的权. e=(vi,vj), 记w(e)=wij . 若vi,vj不 相邻, 记wij =. 设L是G中的一条路径, L的所有边的权之和称作L的 权, 记作w(L). u和v之间的最短路径: u和v之间权最小的通路.,例1 L1=v0v1v3v5, w(L1)=10,L2=v0v1v4v5, w(L2)=12,L3=v0v2v4v5, w(L3)=11.,3,标号法(E.W.Dijkstra, 1959),设带权图G=, 其中eE,
2、w(e)0. 设V=v1,v2,vn, 求v1到其余各顶点的最短路径p标号(永久性标号) : 第r步获得的v1到vi最短路径的 权 t标号(临时性标号) : 第r步获得的v1经过p标号顶点 到达vi的路径的最小权, 是v1到vi的最短路径的权的上 界 第r步通过集Pr=v | v在第r步已获得永久性标号 第r步未通过集Tr=V-Pr,4,标号法(续),5,标号法(续),6,PERT图(计划评审技术图),设有向图G=, vV v的后继元集 +(v)=x|xVE v的先驱元集 -(v)=x|xVEPERT图:满足下述条件的n阶有向带权图D=, (1) D是简单图, (2) D中无回路, (3) 有
3、一个入度为0的顶点, 称作始点; 有一个出度为0的顶点, 称作终点. 通常边的权表示时间, 始点记作v1, 终点记作vn,7,关键路径,关键路径: PETR图中从始点到终点的最长路径 vi的最早完成时间TE(vi): 从始点v1沿最长路径到vi 所需的时间TE(v1)=0TE(vi)=maxTE(vj)+wji|vj -(vi), i=2,3,n vi的最晚完成时间TL(vi): 在保证终点vn的最早完成 时间不增加的条件下, 从始点v1最迟到达vi的时间TL(vn)=TE(vn)TL(vi)=minTL(vj)-wij|vj +(vi), i=n-1,n-2,1,8,关键路径(续),vi的缓
4、冲时间TS(vi)=TL(vi)-TE(vi), i=1,2,n vi在关键路径上TS(vi)=0,9,例2 求PERT图中各顶点的最早完成时间, 最晚完成 时间, 缓冲时间及关键路径. 解 最早完成时间TE(v1)=0TE(v2)=max0+1=1TE(v3)=max0+2,1+0=2TE(v4)=max0+3,2+2=4TE(v5)=max1+3,4+4=8TE(v6)=max2+4,8+1=9TE(v7)=max1+4,2+4=6TE(v8)=max9+1,6+6=12,10,例2(续) 最晚完成时间TL(v8)=12TL(v7)=min12-6=6TL(v6)=min12-1=11TL(v5)=min11-1=10TL(v4)=min10-4=6TL(v3)=min6-2,11-4,6-4=2TL(v2)=min2-0,10-3,6-4=2TL(v1)=min2-1,2-2,6-3=0,11,例2(续) 缓冲时间TS(v1)=0-0=0TS(v2)=2-1=1TS(v3)=2-2=0TS(v4)=6-4=2TS(v5=10-8=2TS(v6)=11-9=2TS(v7)=6-6=0TS(v8)=12-12=0 关键路径: v1v3v7v8,微信公众平台开发 枒痋爿,
