1、2018 年湖北省高三 4 月调考理科数学第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ，集合 ，则 ( )=|log21 =|=2+1 =A B C D1,2 (1,2 12,2 (12,22.欧拉公式 为虚数单位)是由著名数学家欧拉发明的，她将指数函数定义域扩大到复数，=cos+isin(建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，若将 表示的复数记为 ，则 的值为( )2 (1+2)A B C D2+ -2- 2+ 23.
2、记不等式组 的解集为 ，若 ,则实数 的最小值是( )2+20,1,2 ,(+1) A0 B1 C2 D4 4.已知 ,则 的值等于( )(0,2),cos(6,)=13 sinA B C. D2236 22+36 2616 -26165.函数 的图像大致为( )()=2+lnA B C. D6.已知双曲线 的一条渐近线方程为 分别是双曲线 的左、右焦点，点:222=1(0) +2=0,1,2 在双曲线 上，且 ,则 ( ) |1|=5 |2|=A1 B3 C.1 或 9 D3 或 77.执行如图所示的程序框图，若输出 的值为 6，且判断框内填入的条件是 ,则 的取值范围是( ) A B C.
3、 D35,45) (35,45 710,45) (710,458.党的十九打报告指出，建设教育强国是中华民族伟大复兴的基础工程，必须把教育事业放在优先位置，深化教育资源的均衡发展.现有 4 名男生和 2 名女生主动申请毕业后到两所偏远山区小学任教.将这 6 名毕业生全部进行安排，每所学校至少安排 2 名毕业生，则每所学校男女毕业至少安排一名的概率为( )A B C. D425 25 1425 459.已知 ，则( )=2.12.2,=2.22.1,=log2.22.1A B C. D0) 0, 16.点 是直线 上的动点， 是圆 的两条切线， 是切点，则三(,)2+4=0 ,:2+(1)2=1
4、 ,角形 面积的最小值为 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列 ，其中 ，且满足 , 1=3,1=1 =12(311).=12(311),2(1)求证：数列 为等比数列；(2)求数列 的前 项和 .2+1 18. 如图，在平行四边形 中， ，四边形 是矩形， ，平面ABCDAB=1,AD=2, BAD=120 EBDF BE=a平面 .EBDF ABCD(1)若 ，求证： ；a=1 (2)(2)若二面角 的正弦值为 ，求 的值.A-EF-C215 19.随着网络的飞速发展，人们的生活发生了很大变化，其中无现金支付是一个显著
5、特征，某评估机构对无现金支付的人群进行网络问卷调查，并从参与调查的数万名受访者中随机选取了 300 人，把这 300 人分为三类，即使用支付宝用户、使用微信用户、使用银行卡用户，各类用户的人数如图所示，同时把这 300人按年龄分为青年人组与中年人组，制成如图所示的列联表：支付宝用户 非支付宝用户 合计中老年 90青年 120合计 300(1) 完成列联表,并判断是否有 99%的把握认为使用支付宝用户与年龄有关系?(2)把频率作为概率，从所有无现金支付用户中(人数很多)随机抽取 3 人，用 表示所选 3 人中使用支付宝X用户的人数，求 的分布列与数学期望.X附:(20) 0.100 0.050
6、0.025 0.010 0.005 0.0010 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828，其中 .2= ()2(+)(+)(+)(+) =+20.已知椭圆 的离心率为 分别为椭圆的左、右焦点，点 在椭圆上，当:22+22=1(0) 32,1、 2 时， 内切圆的半径为 .1 2 12 2- 3(1)求椭圆 的方程；(2)已知直线 与椭圆 相较于 两点，且 ，当直线 的斜率之和为 2 时，问：点 到:=+ , (0,1) , 直线 的距离是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由. 21. 已知函数 .()=+ln(1)当 时，讨论函数 的单调性；=
7、1 ()(2)求函数 的极值.()请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，曲线 ,曲线 为参数)，以坐标原点 O为极点，以 x轴 1:22+2=1 2: =cos,=1+sin(正半轴为极轴，建立极坐标系.(1)求曲线 的极坐标方程；1,2(2)已知射线 与曲线 分别交于点 （异于原点 ） ，当 时，求 的取:=(0) 1,2 , 00,0 +3log3(4+1)2018 年湖北省高三 4 月调考理科数学参考答案一、选择题1-5:BACCC 6-10:CCCBD 11、12：AC二、填空题13. 112 1
8、4. 15. 16.4+23 2,83) 85三、解答题17.解：(1) ,=12(311)(12)(131)=2(131)又 ，所以 是首项为 4，公比为 2 的等比数列11=3(1)=4 (2)由(1)知， =2+1又 =12(311)+(12)(131)=1+1又 ，所以 为常数数列，) 1+1=3+（ 1） =2 +=2联立得： ,=2+12+1= 2(2+1)(2+1+1)=12+1 12+1+1所以 =(121+1 122+1)+( 122+1 123+1)+(12+1 12+1+1)= 121+1 12+1+1=13 12+1+118.解：(1)连接 ，在 中，由 ，由余弦定理易
9、得 ，又 =1,=2, =60 =3，则 ；同理由余弦定理易得： ，由四边形 是矩形，则 ，2+2=2 =7 又平面 平面 ，所以 平面 ，所以 ，同理 ，由勾股定理易求 得 ， ,显然 ,故 ；=5,=2 =7 2=2+2 由 ，所以 面 ，所以 ，所以 面 ，所以 , ,= ； (2)以 点为原点， 所在的直线分别为 轴， 轴，过点 与平面 垂直的直线 轴建立空间直角坐标 , 系，则 (0,0,0),(1,0,0),(0,3,0),(1,3,),(1,0,),=(1,0,),=(2,3,0),=(1,0,)设平面 的法向量为 ，则 ,即 , 1=(,)=0=0 +=02+3=0取 ，则 ，
10、即 ,=3 =23,=3 1=(3,23,3)同理可求得平面 的法向量为 2=(3,23,3)设二面角的平面角为 ，则 sin=215则 ，即 ，解之得 或 ，又 ,|cos|=25 |9+12929+12+92|=25 =1 37 0所以 或=13719.(1)列联表补充如下支付宝用户 非支付宝用户 合计中老年 60 90 150青年 120 30 150合计 180 120 300,2=300(603012090)2150150180120=506.635故有 99%的把握认为支付宝用户与年龄有关系.(2)把频率作为概率，从所有无现金支付用户（人数最多）中抽取 3 人，可以近似看作 3 次
11、独立重复实验，所以 的取值依次为 0,1,2,3，且 服从二项分布 (3,35)(=0)=03(135)3=8125;(=1)=1335(135)2=36125(=2)=23(35)2(135)1=54125;(=3)=33(35)3=27125所以 的分布列为 0 1 2 3 8125 36125 54125 27125=08125+136125+254125+327125=9520.(1)依题意： ,则 ，即|1|+|2|12|2 = |1|+|2|12|=423 22=423又 ,联立解得： ，故 ，所以椭圆的方程为=32 =2,=3 =1 24+2=1(2)设 ,(1,1)、 (2,2
12、)联立直线和椭圆的方程得： ,(42+1)2+8+4(21)=0当 时有：=16(42+12)0 1+2=842+1由 得： ,即 ,+=2111+212=2 1+11 +2+12 =2整理得： ,所以 ,(22)12+(1)(1+2)=0 (22)4(21)42+1+(1) 842+1=0化简整理得： ，代入 得： ,=+1 16(42+12)0 42(1)2+10解之得： 或 ,0 173 =1+ 1626+25当 时 ；当 时， ,=0 =1 0=1+ 16+256若 ，则 ；若 ，则 ，当 时，173 (1,81313)综上所述： ，故点 到直线 的距离没有最大值.(0,81313)
13、21.解：(1)函数 的定义域为 ，其导数为 .当 时，() (0,+) ()=(1)2 1=(1)()2 =1()=(1)(1)2设 ，则 ，显然 时 递增；()= ()=1 (0,1) ()0,()时， 递减，故 ，于是 ，(1,+) ()0,()(2)由(1)知， ()=()(1)2 =()(1)2 ,(0函数 在 递增，在 递减，所以()= (0,1) (1,+) ()(1)=1又当 时， ,0 1,00,() (1,+) ()0,()所以 ，无极大值；()极小值 =(1)=当 时，0又 在 递增，所以 在 上有唯一零点 ,且 ,() (,1) ()(,1) 111=易证： 时， ，所
14、以 , 2ln又 在 递减，所以 在 上有唯一零点 ，且 ，故：() (1,+) ()(1, ln12) 2 21=当 时， 递减；当 ， 递增；(0, 1) ()0,()当 时， 递减；当 ， 递增；(0, 2) ()0,()所以， ， ,()极大值 =(1)=()极小值 =(1)=11+ln11=1+ln.()极小值 =(2)=22+ln22=1+ln22.解：(1)因为 ，所以曲线 的普通方程为： ，由 ，得曲线2:=cos=1+sin 2 2+(1)2=1 =cos=sin的极坐标方程 ，2 =2sin对于曲线 , ,则曲线 的极坐标方程为1:22+2=1 =cos=sin 1 2= 21+2(2)由(1)得 , ，|2=2= 21+2|2=2=42|2+|2= 21+2+42= 21+2+4(sin2+1)4因为 ，则04,11+232 |2+|2(2,103)23.(1)解： ()=|2+|+|2|+2|(2+)(2)|+2=|+|+2所以 ,即|+|+2=3 +=1(2)由 ，则原式等价为： ，即 ,+=1 log3(4+1)2 4+19而 ,4+1=(4+1)(+)=5+4+5+24=9故原不等式成立
