1、二 次 函 数 复 习,乌市第58中 郭云舒,2014最新人教版九年级上册数学,一、二次函数概念,形如y=ax2+bx+c (a,b,c是常数，a0) 的函数叫做二次函数,其中二次项为ax2，一次项为bx，常数项c,二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项c,练习：1、y=-x，y=2x-2/x，y=100-5 x, y=3 x-2x+5,其中是二次函数的有_个。,2.当m_时,函数y=(m+1) - 2+1 是二次函数？,二.二次函数图象,y=ax2,y=a(x+m)2,y=a(x+m)2+k,y=ax2+bx+c,y=ax2+k,顶点式,一般式,配方,平移,直线x=0,直线x=-m,直线
2、x=-m,(0,0),(-m,0),(-m,k),a0当x=0,y最小=0,a0当x=-m,y最小=0,a0当x=-m,y最小=k,a0，x-m,y随x增大而减小 x-m,y随x增大而增大,a0，x-b/2a,y随x增大而减小 x-b/2a,y随x增大而增大,2.二次函数图象的画法,顶点坐标,与X轴的交点坐标,与Y轴的交点坐标及它关于对称轴的对称点,（ ， ）,(x1,0) (x2,0),(0, c),( , c),（ ， ）,x1,x2,O,x,y,c,( , c),对称轴直线x=,(1) y=2(x+2)2是由 向 平移 个单位得到,(2) y=-2x2-2是由 向 平移 个单位得到,(3
3、) y=-2(x-2)2+3是由 向 平移 个单位 ，再向 平移 个单位得到,(4) y=2x2+4x-5是由 向 平移 个单位，再向 平移 个单位得到,(5) y=2x2向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到 函数解析式是 。,y=2(x+2)2-3,y=2x2,左,2,y=-2x2,下,2,y=-2x2,右,2,上,3,y=2x2,左,1,下,7,（6）已知二次函数y=x2-4x-5 ， 求下列问题,y=-2(x+1)2-8,开口方向,对称轴,顶点坐标,最值,怎样平移,x在什么范围，y随x增大而增大,与坐标轴的交点坐标,与x轴的交点坐标为A,B,与y轴的交点为C,则SABC= .,在抛物
4、线上是否存在点P,使得SABP是ABC面积的2倍,若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由,当x为何值时，y0,（7）已知二次函数y=x2+bx+c的顶点坐标（1，-2），求b，c的值,（8）已知二次函数y=x2+4x+c的顶点坐标在x轴上，求c的值,（9）已知二次函数y=x2+4x+c的顶点坐标在直线y=2x+1上，求c的值,2、已知抛物线顶点坐标（m, k），通常设抛物线解析式为_,3、已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为_,1、已知抛物线上的三点，通常设解析式为_,y=ax2+bx+c(a0),y=a(x+m)2+k(a0),y=a(x-x1)(
5、x-x2) (a0),如何求抛物线解析式常用的三种方法,一般式,顶点式,交点式或两根式,4.公式法,1.已知一个二次函数的图象经过点 （0，0），（1，3），（2，8）。,如何求下列条件下的二次函数的解析式:,3.已知二次函数的图象的对称轴是直线x=3, 并且经过点(6,0),和(2,12),2.已知二次函数的图象的顶点坐标为 （2，3），且图象过点（3，2）。,4.矩形的周长为60，长为x，面积为y，则y关于x的函数关系式 。,如何判别a、b、c、b2-4ac，2a+b，a+b+c的符号,（1）a的符号：,由抛物线的开口方向确定,开口向上,a0,开口向下,a0,（2）C的符号：,由抛物线与y
6、轴的交点位置确定.,交点在x轴上方,c0,交点在x轴下方,c0,经过坐标原点,c=0,（3）b的符号：,由对称轴的位置确定,对称轴在y轴左侧,a、b同号,对称轴在y轴右侧,a、b异号,对称轴是y轴,b=0,（4）b2-4ac的符号：,由抛物线与x轴的交点个数确定,与x轴有两个交点,b2-4ac0,与x轴有一个交点,b2-4ac=0,与x轴无交点,b2-4ac0,（1）已知y=ax2+bx+c的图象如图所示,a_0, b_0, c_0, abc_0b2-4ac_0a+b+c_0, a-b+c_04a-2b+c_0,0,-1,1,-2,x,（2）在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y
7、=ax2+c的图象大致为（ ）,B,x,y,O,-1,1,（3）已知y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列说法正确的是（ ）,A abc0 B a0,b2-4ac0 C 当x=1时，函数有最大值为-1 D 当x=1时，函数有最小值为-1,利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解,1、根据下列表格的对应值：判断方程ax2+bx+c=0（a0,a、b、c为常数）一个解的范围是 （ ）、3x3.23 、3.23x3.24 、3.24x3.25 、3.25x3.26,1、函数y=ax2-ax+3x+1的图象与x轴有且只有一个交点，那么a的值和交点坐标分别为 。,9或1,2、写出一个开口向下，对称轴
8、是直线x=3，且与y轴交于（0，-2）的抛物线解析式。,练一练,3、把抛物线y=-3x2绕着它的顶点旋转1800后所得的图象解析式是 。,y=3x2,4、已知二次函数y=a（x-h）2+k的图象过原点，最小值是-8，且形状与抛物线y=0.5x2-3x-5的形状相同，其解析式为 。,y=0.5（x-16）2-8,5、若x为任意实数，则二次函数y=x2+2x+3的函数值y的取值范围是 。,y2,6、抛物线y=2x2-4x-1是由抛物线y=2x2-bx+c向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的，则b= ，c= 。,7、已知抛物线y=2x2+bx+8的顶点在x轴上，则b= 。,8,3,8,8、已知
9、y=x2-（12-k）x+12，当x1时，y随x的增大而增大，当x1时，y随x的增大而减小，则k的值为 。,10,问题2这位同学身高1.7 m,若在这次跳投中，球在头顶上方0.25 m处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？,1. 如图，有一次,我班某同学在距篮下4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈。已知篮圈中心到地面的距离为3.05m.,3.05 m,2.5m,3.5m,问题1 建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式；,4 m,综合应用 (中考必考题）,2.你知道吗？平时我们在跳绳时，绳甩到最高处的形状可近似的看
10、为抛物线，如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4米，距地面均为1米，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1米、2.5米处，绳子甩到最高处时，刚好通过他们的头顶，已知学生丙的身高是1.5米，请你算一算学生丁的身高。,1m,2.5m,4m,1m,甲,乙,丙,丁,(0,1),(4,1),(1,1.5),3.在矩形荒地ABCD中，AB=a，BC=b,（ab 0），今在四边上分别选取E、F、G、H四点，且AE=AH=CF=CG=x，建一个花园，如何设计，可使花园面积最大？,D,C,A,B,G,H,F,E,a,b,b,4.（2014新疆生产建设兵团改编） 如图，在一面靠墙的空地上用长为24米
11、的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。 (1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ (3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。,解：,(1) AB为x米、篱笆长为24米 花圃宽为（244x）米,(3) 墙的可用长度为8米,(2)当x 时，S最大值 36（平方米）, Sx（244x）4x224 x （0x6）, 0244x 8 4x6,当x4m时，S最大值32 平方米,5.某企业投资100万元引进一条产品加工生产线，若不计维修、保养费用，预计投产后每年可创利33万。该生产线投产后，
12、从第1年到第x年的维修、保养费用累计为y(万元)，且y=ax2+bx,若第1年的维修、保养 费用为2万元，到第2年为6万元。（1）求y的解析式；（2）投产后，这个企业在第几年就能收回投资？,解:（1）由题意，x=1时，y=2；x=2时，y=2+4=6,分别代入y=ax2+bx,得a+b=2,4a+2b=6, 解得:a=1,b=1, y=x2+x.（2）设g33x-100-x2-x,则g=-x2+32x-100=-(x-16)2+156. 由于当1x16时，g随x的增大而增大，故当x=4时，即第4年可收回投资。,6.某商场将进价40元一个的某种商品按50元一个售出时，能卖出500个，已知这种商品
13、每个涨价一元，销量减少10个，为赚得最大利润，售价定为多少？最大利润是多少？,分析：利润=（每件商品所获利润） （销售件数）,设每个涨价x元， 那么,（3）销售量可以表示为,（1）销售价可以表示为,（50+x）元（x 0，且为整数）,(500-10x) 个,（2）一个商品所获利润可以表示为,（50+x-40）元,（4）共获利润可以表示为,(50+x-40)(500-10x)元,7. 如图，已知直线 y= -x+3与X轴、y轴分别交于点B、C，抛物线y= -x2+bx+c经过点B、C，点A是抛物线与x轴的另一个交点。,（1）求抛物线的解析式；,解：令y=0，则 x+3=0，x=3，,B（3，0）
14、，,令x=0， 则y=3，,C（0，3），, y= -x2+2x+3,（3，0）,（0，3）,7.如图，已知直线 y= -x+3与X轴、y轴分别交于点B、C，抛物线y= -x2+bx+c经过点B、C，点A是抛物线与x轴的另一个交点。,（1）求抛物线的解析式；,（2）若抛物线的顶点为D，求四边形ABDC的面积；,（1，4）,（1，0）,（-1，0）,解：S四边形ABDC=SAOC+S梯形OEDC+S EBD,=9,= AO OC + （OC+ED） OE+ EB ED,7.如图，已知直线 y= -x+3与X轴、y轴分别交于点B、C，抛物线y= -x2+bx+c经过点B、C，点A是抛物线与x轴的另
15、一个交点。,（4）第（3）题改为在直线y= -x+3上是否存在点P，使SPAC= S PAB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。答案一样吗？,（3）若点P在直线 BC上且 SPAC= S PAB，求P的坐标；,P,（3，0）,（0，3）,x,y,o,A,B,C,Q,新课标教学网（）-海量教学资源欢迎下载！,（14）（2014 乌鲁木齐）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx-2x与x轴正半轴交于点A，顶点为B.,新课标教学网（）-海量教学资源欢迎下载！,（1）求点B的坐标（用含m的代数式表示）. （2）已知点C（0，-2），直线AC与BO交于点D，与该抛物线对称轴交于点E，且OCD
16、BED，求m的值. （3）在由（2）确定的抛物线上有一点N（n，-5/3),N在对称轴左侧，点F,G在对称轴上，F在G的上方，且FG=1，当四边形ONGF的周长最小时： 求点F的坐标； 设点P在抛物线上，在y轴上是否存在点H，使以N,F,H,P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由.,新课标教学网（）-海量教学资源欢迎下载！,（14分）（2013乌鲁木齐）如图在平面直角坐标系中，边长为的正方形ABCD的顶点A、B在x轴上，连接OD、BD、BOD的外心I在中线BF上，BF与AD交于点E（1）求证：OADEAB； （2）求过点O、E、B的抛物线所表示的二次函
17、数解析式； （3）在（2）中的抛物线上是否存在点P，其关于直线BF的对称点在x轴上？若有，求出点P的坐标； （4）连接OE，若点M是直线BF上的一动点，且BMD与OED相似，求点M的坐标,解：（1）证明：如答图1所示，连接ID，IO，I为BOD的外心，IO=ID，又F为OD的中点，IFODDEF+FDE=AEB+ABE=90，又DEF=AEB，FED=EBA而DA=BA，且OAD=EAB=90，OADEAB（2）解：由（1）知IFOD，又BF为中线，BO=BD=AB=2，OA=BOAB=2由（1）知OADEAB，AE=OA=2，E（2，2），B（2，0）设过点O、B、E的抛物线解析式为y=ax
18、2+bx，则有，解得，抛物线的解析式为：y=x2+x,（3）解：直线BD与x轴关于直线BF对称， 抛物线与直线BD的交点，即为所求之点P 由（2）可知，B（2，0），D（2，），可得直线BD的解析式为y=x+2 点P既在直线y=x+2上，也在抛物线y=x2+x上， x+2=x2+x，解此方程得：x=2或x=， 当x=2时，y=x+2=0；当x=时，y=x+2=2， 点P的坐标为（2，0）（与点B重合），或（，2）,（4）解：DBO=45，BD=BO，BFOD， EBA=22.5，由（1）知ODA=22.5，故DOA=67.5，OA=EA， EOA=45，DOE=22.5，即OED是顶角为135
19、的等腰三角形 若BMD与OED相似，则BMD必须是等腰三角形 如答图2所示，在直线BF上能使BMD为等腰三角形的点M有4个，分别记为M1，M2，M3，M4，其中符合题意的是点M1，M3 DM1=DB=2，OA=2，M1（，） 由（1）知B（2，0），E（2，2），故直线BE的解析式为y=（1）x2+ I是BOD的外心，它是OB的垂直平分线x=1与OD的垂直平分线BE的交点， I（1，1），即M3（1，1） 故符合题意的M点的坐标为（，），（1，1）,新课标教学网（）-海量教学资源欢迎下载！,（12分）（2014 杭州）复习课中，教师给出关于x的函数. 教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写道黑板上. 学生思考后，黑板上出现了一些结论，教师作为活动医院，又补充一些结论，并从中选择如下四条： 存在函数，其图像经过（1,0）点； 函数图像与坐标轴总有三个不同的交点； 当时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小； 若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数。 教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由.最后简单写出解决问题时所用的数学方法。,再见！,
