1、2018年相阳教育“黉门云”高考等值试卷模拟卷理科数学(全国 I卷)一、选择题：本大题共 12个小题,每小题 5分,共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设复数满足 ,则复平面内表示的点位于( ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D【解析】分析：利用复数的除法求出后得到它对应的点进而可判断其所处象限.详解：由题设 ，该复数表示的点为 ，它在第四象限，故选 D.点睛：本题考查复数的计算及复数的几何意义，属于基础题.2. 设全集为 ，集合 ， ,则 =( ）A. （-3，0） B. (-3,-1) C. D. (-3,3)【答案】
2、C【解析】分析：先解一元二次不等式得到 ，再求出 ，最后求出两者的交集.详解： ， ，所以 ，故 ，故选 C.点睛：本题为一元二次不等式与集合的交、并、补运算的综合，属于基础题.3. 下列命题中，假命题是( )A. B. C. 的充要条件是 D. 是 的充分不必要条件【答案】C【解析】分析：根据指数函数的性质可知 A 正确，再通过举例说明 B 正确.而根据不等式的性质又可以知道 D 正确的，最后再根据 是否为零判断出 C 是错误的. 详解：对于 A，根据指数函数 的性质可知， 总成立的，故 A 正确；对于 B，取 ，则 ，故 B 正确；对于 C，若 ，则 无意义，故 C 错误，为假命题；对于
3、D，根据不等式的性质可以当 时，必有 ，故 D 正确；综上，选 C. 点睛：本题有 4 个命题，涉及到全称命题和存在性命题的真假判断，又涉及到充分必要条件判断，属基础题.4. 设 是等比数列， 为其前 项和，若 ，则 =（ ）A. B. 4 C. D. 8【答案】A【解析】分析： 与公比有关，我们可利用等比数列的通项公式把 表示为基本量的关系式，再把变化为 ，从而可求出公比.详解：设公比为 ，则，.两式相比有 ，故 或 （舎） ，所以 ，故选 A. 点睛：解决数列的问题一般有两个角度，一是可把数列问题归结基本量的关系式，二是合理利用等比数列的性质.5. 某四面体的三视图由如图所示的三个直角三角
4、形构成，则该四面体六条棱长最长的为( ).A. 7 B. C. 6 D. 【答案】B【解析】分析：根据三视图还原四面体（如图） ，该四面体的四个面都是直角三角形，最长的棱长为 ，利用勾股定理可以计算其长度. . . . . . . . . .详解：四面体如图所示，其中 平面 且 中， .由 平面 ， 平面 得到 ，同理 ，所以棱长最大为 且点睛：通过三视图还原几何体是高考中的常见内容，注意根据三视图还原点线面的位置关系，这类问题属于基础题.6. 已知 , 满足约束条件 ，若 的最小值为 1，则=（ ）A. 2 B. 1 C. D. 【答案】C【解析】先根据约束条件画出可行域，由 ，将最大值转化
5、为 y 轴上的截距，当直线 经过点 B 时， z 最小，由 得： ，代入直线 y=a(x3)得，a=故选 B.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.7. 设 ,在区间 上随机产生 10000个随机数，构成 5000 个数对 ，记满足的数对 的个数为 ,则 估计值约为( )A. 3333 B. 3000 C. 2000 D. 1667【答案】A【解析】分析：设事件 为“ 上随机产生数对 ，满足
6、 ”，则总的基本事件为 ，对应的测度为正方形的面积 1，而随机事件 对应的测度为为曲边梯形 的面积，它可利用定积分来计算.详解：满足 是在曲线 、 所围成的区域内（含边界） ，又该区域的面积为 ，故 的估计值为 ， ，故选 A.点睛：对于曲边梯形的面积，我们可以用定积分来计算.8. 己知 为双曲线 右支上一点， 为双曲线右焦点，若 ( 为坐标原点)为等边三角形，则双曲线的离心率为( ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：根据 为等边三角形得到 的坐标（可用来表示），代入双曲线方程可以得到 的方程，从中可解出离心率.详解：因为 为等边三角形，所以 ，故 ，化简得 ，解得 ，故 .点睛
7、：圆锥曲线中求离心率的值或取值范围，关键在于合理构建关于 的方程或不等式.其中不等式可以通过坐标的范围、几何量的范围或点在圆锥曲线的内部等来构建.9. 如果执行下边的程序框图，输入正整数 ,实数 . 分别为 2,7,4,5，1,3，6，8,则输出 分别为( )A. 8 和 1 B. 5 和 4 C. 4 和 5 D. 1 和 8【答案】A【解析】分析：题设中的流程图有两处判断，第一个判断是如果 比 大，那么 就是 ，否则再与 比较，如果比 小， 就是 ，所以 、 分别是 中的最大值和最小值 .详解：流程图的功能是找出 中的最大值 和最小值 ，故 ，选 A. 点睛：对于流程图，我们可以通过计算变
8、量的若干起始值和若干临界值来判断它的功能.比如，第一次执行两个判断后， ；第二次判断两个判断后， ；.依次计算就可以发现该流程的功能是求最大值和最小值.10. 若 ,则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：三个对数的底数和真数的比值都是 ，因此三者可化为 的形式，该函数为上的单调增函数，从而得到三个对数的大小关系.详解： ， ， ，令 ，则 在 上是单调增函数.又 ，所以即 .故选 D.点睛：对数的大小比较，要观察不同对数的底数和真数的关系，还要关注对数本身的底数与真数的关系，从而找到合适的函数并利用函数的单调性比较对数值的大小.11. 设抛物线 的焦点为 , 为 上纵坐标不相
9、等的两点，满足 ，则线段 的垂直平分线被 轴截得的截距为( )A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】B【解析】分析：设 ，则由焦点弦公式可以得到 ，从而中点 的纵坐标是定值，而直线 的斜率也可以用点的坐标表示，它的中垂线也可以用点的坐标表示，求出该直线与 轴交点的纵坐标即可得定值.详解：设 ，则 即 ， 又 的中点坐标为 即为 ，又 ，故 的中垂线方程为： 令 ，则有 ，故 的垂直平分线被 轴截得的截距为 ，故选 B.点睛：圆锥曲线中的对称问题应抓住中点和垂直，点差法后就可以用交点的坐标来表示直线的斜率、直线的方程以及中垂线的方程，从而解决与对称有关的问题.12. 己知函数 有一个零点
10、，则 （ ）A. -2 B. -1 C. 0 D. 2【答案】B【解析】分析： 函数 满足 ，故其在 上的零点如果不是 1，那么 要么没有零点，要么零点是成对出现的，最后根据零点的个数为 1 得到函数的零点为 ，从而求出实数的值.详解： ，故 ，若 有零点 ，那么 ，所以 也是 的零点，因为 只有一个零点，从而 即 ，故 ，选 B.点睛：函数的形式比较复杂，通过导数讨论函数的图像性质不可行，但函数的解析式满足 ，从而根据这个性质结合函数有一个零点判断出零点只能为 1，否则必有多于 1 个的零点.二、填空题（每题 5分，满分 20分，将答案填在答题纸上）13. 若向量 满足: ,则 _【答案】【
11、解析】分析：根据向量垂直得到它们的数量积为零，从而 ，再根据已知条件得到 详解：由题设有 ，故 又 ，故 ，故填 点睛：数量积有两个方面的应用：（1）可以计算长度；（2）衡量角的大小前者主要是模长的计算，后者常是向量夹角的余弦的计算特别地，当两个向量垂直时，它们的数量积为零14. 的展开式中， 的系数为_【答案】90【解析】分析：把 看成 6 个 的乘积，利用 的二项展开式中的 的推导方法来求解的系数详解：把 看成 6 个相同因式 的乘积，6 个因式中有两个因式提供 ，余下的 4 个因式有两个提供 ，其余的因式提供常数，故系数为 填 点睛：一般地， ，其中 表示 个因式 中有 个因式提供， 表
12、示余下的个因式 中有提供，余下的 个因式 提供 ，这样的思想方法来自二项展开式的推导过程15. 九章算术是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，是当时世界上最简练有效的应用数学， 九章算术在数学上有其独到的成就，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系。下面问题源自其中:“今有金籌(chui),长五尺，斩本一尺，重四斤，斩来一尺，重二斤，问金籌重几何?”意思是:“有长 5尺的一根金籌，一头粗一头细，在粗的一端截下 1尺，重 4斤; 在细的一端截下一尺，重 2 斤: 问金籌重多少斤?” ，将以上问题一般化，可表述为: 有长 尺的一根金籌 ，一头粗一头细，(质量均匀变化)，在两端各截下 1尺
13、，截下的部分分别重 斤和 斤: 问金籌原来的重量为多少斤? 答案为_(用 的代数式表示)【答案】【解析】分析：因为金籌的质量是均匀变化的，所以每尺的质量应该是一个等差数列，题设中给出了等差数列的首末两项，则可求各尺质量之和详解：由题设，金籌的每一尺的重量依次成等差数列，该数列的首末两项分别为 ，该数列共有 项，故其总重量为 填 点睛：数学文化题是高考的热点，解这类问题时要将实际问题抽象成数学模型，注意在建模时对关键信息的理解（如质量均匀等） 16. 设四棱锥的底面是一个正方形，5 个顶点都在一个半径为 1的球面上，则四棱锥的体积的最大值为_【答案】【解析】分析：因为球的内接四棱锥的底面是正方形
14、，故球心在过底面中心且垂直于底面的直线上对于同一底面，当顶点在这条直线上且在球面上时，四棱锥的高是最大的又要使得内接四棱锥体积最大，球心还必须在四棱锥的内部，否则可以通过平移底面得到更大体积的四棱锥最后通过以角为参数构建体积的函数表达式，利用导数求最值即可详解：如图，要使得体积最大，则 在四棱锥的内部（否则我们可以把底面平移球心的另一侧的位置，球心到这两个的面的距离相等，但高增加了，从而体积增大）且球心及其顶点在过底面中心且垂直于底面的直线上.设 ，则 （ 为底面的中心） ，所以 ，又 ，故 .令 ，则 ，.当 时， ；当 时， ，所以 在 为增函数，在 为减函数，故 .填 .点睛：内接几何体
15、的体积的最值，往往涉及到取最值时几何体中不同几何量的关系，这种关系的获得须通过动态变化来考虑（如本题中球心的位置和顶点的位置）.不同几何量的关系确定后，我们还需要选择合理的自变量来构建体积的函数关系式，需要注意的是如果函数关系式有根号，那么我们需要调整自变量（如本题的角等）使得目标函数更简洁.三、解答题（本大题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在 中，已知(l) 求 ;(2) 设 是 边中点，求 .【答案】 （1） ；（2）【解析】分析：（1）题设中给出了两角一边，故可以用正弦定理求 ；（2）因为 且 都已知，故 可由数量积求得.解析：（1） 且 ， . ， . 在 中，由正弦定理得： ， .（2） 为 边中点， ， 即 .（或利用 求解）点睛：三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径） ，一般地，知道其中的三个量（除三个角外） ，可以求得其余的四个量.（1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）.18. 如图，在四棱锥 中， ,侧面 为等边三角形 .(l) 证明: 平面 ;(2) 求 与平面 所成的角的正弦值.【答案】 （1）见解析；（2）【解析】试题分析：（）由问题，可根据线面垂直判定定理的条件要求，从题目条件去寻相关的信息，
