1、2018 届湖北省荆州中学高三 5 月模拟数学理试题一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。(1) 已知集合 ,421|,034|2 NxxBxA ，则 AB（A） （B ） 1（C） （D） 1,2(2) 欧拉公式 cosinixe( 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”。根据欧拉公式可知， i32018表示的复数位于复平面中的（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限(3) 要得到函数 sin
2、2fx的图象，只需将函数 cos2gx的图象（A）向左平移 1个周期 （B）向右平移 1个周期（C）向左平移 4个周期 （D）向右平移 4个周期(4) 某地区空气质量监测表明，一天的空气质量为优良的概率是 75.0， 连续两天为优良的概率是 6.0，已知某天的空气质量为优良，则随后一 天空气质量为优良的概率是（A） 8.0 （B） 75. （C） 6.0 （D） 4.(5) 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体各面中直角三角形的个数是（A）2 （B）3 （C）4 （D）5(6) 等比数列 na的前 项和为 nS，下列结论一定成立的是（A）若 05，则 2
3、017（B）若 6a，则 8（C ）若 5，则 2017S（D）若 6，则 8(7) 我们可以用随机模拟的方法估计 的值，如下程序框图表示其基本步骤（函数 RAND 是产生随机数的函数，它能随机产生 )1,0(内的任何一个实数），若输出的结果为 527，则由此可估计 的近似值（A）126 （B） 3.132 （C）3.151 （D） 3.162 (8) 函数2(1)cos)=|xf的部分图像为 xy1O(9) 已知三棱锥 ABCD的所有顶点都在球 O的球面上，2BCA， 2，若三棱锥体积的最大值为 2，则球 O的表面积为（A） 8 （B） 9 （C ） 53 （D） 91(10) 已知双曲线2
4、:1xyEab（ 0,ab）的左、右焦点分别为 12,F， 126， P是 E右支上的一点， 1PF与 轴交于点 A， 2PF 的内切圆在边 2A上的切点为 Q若 3A，则 的离心率是（A） 3（B ） 5（C） 3（D）(11) 向量 ， |e，对 Rt， |eta，则（A） a（B） )(a（C） )(（D） )()(ea(12) 函数 1ln)1(xxf 有三个零点，则实数 的取值范围是（A） 2,0（B） ),2(e（C） ),(e（D） ),2(二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。(13) 31x展开式中的常数项为 (14) 甲和乙玩一个猜数游戏，规则如下：已知五张纸牌上
5、分别写有 12n（ *,5nN）五个数字，现甲、乙两人分别从中各自随机抽取一张，然后根据自己手中的数推测谁手上的数更大 甲看了看自己手中的数，想了想说：我不知道谁手中的数更大；乙听了甲的判断后，思索了一下说：我也不知道谁手中的数更大假设甲、乙所作出的推理都是正确的，那么乙手中的数是 . (15) 不等式组 0421yx的解集记作 D，实数 ,xy满足如下两个条件： aD,),(； ayx,),(.则实数 a的取值范围为 .(16) “斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数具体数列为： 1,235,8 ，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两
6、个相邻数字之和已知数列 na为“斐波那契”数列， nS为数列 na的前 项和，若 Ma20，则2018S_ （用 M表示）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(17) （12 分）（B）（C）（D）（xy1O xy1O xy1O（A）（ ABC的内角 ,的对边分别为 ,abc，且 2osAca（）求 ；（）若 42c， 72os10A，求 BC的面积(18) （12 分）如图，多面体 ABCDEF中，面 AB为正方形， 2AB， 3E， 5D，二面角E的余弦值为 5，且 /D（）证明：平面 平面 C；（）求平面 AF与平面 E所成锐二面角的余弦值(19) （12 分）某厂生产不
7、同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量 yg与尺寸 x（mm）之间近似满足关系式 bycx（b、c 为大于 0 的常数） 按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间 ,97e内时为优等品现随机抽取 6 件合格产品，测得数据如下：尺寸 x（mm） 38 48 58 68 78 88质量 y (g) 16.8 18.8 20.7 22.4 24 25.5质量与尺寸的比 x0.442 0.392 0.357 0.329 0.308 0.290（）现从抽取的 6 件合格产品中再任选 3 件，记 为取到优等品的件数，试求随机变量 的分布列和期望；（）根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值
8、如下表：（18 题图）61lniiixy61lniix61lniiy621lniix75.3 24.6 18.3 101.4（ ）根据所给统计量，求 y 关于 x 的回归方程；（ ）已知优等品的收益 z（单位：千元）与 ,y的关系为 20.3zyx，则当优等品的尺寸 x 为何值时，收益 z的预报值最大？（精确到 0.1）附：对于样本 (,)ivu1,2)n ，其回归直线 ubva的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 1122()niiii ni ii vubv， a， 2.718e.(20) （12 分）已知椭圆2:1(0)xyEab的上顶点为 B，点 (0,2)Db， P是 E上且不在 y
9、轴上的点，直线DP与 交于另一点 Q.若 E的离心率为 2， P的最大面积等于 3.（）求 E的方程；（）若直线 ,B分别与 x轴交于点 ,MN，试判断 ON是否为定值.(21) （12 分）已知函数 )1ln()(xaxf， 1(xeg曲线 )(xfy与 )(g在原点处的切线相同.（）求函数 单调区间；（）当 0时， kf，求实数 k的取值范围 请考生在第 2、 3题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。(22) （10 分）选修 4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy中，以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系. 曲线 1C的极坐标方程为4sin， M为曲线 1C上
10、异于极点的动点，点 P在射线 OM上，且 ,25POM成等比数列（）求点 P的轨迹 2的直角坐标方程；（）已知 (0,3)A, B是曲线 2上的一点且横坐标为 2，直线 AB与 1C交于 ,DE两点，试求 ADE的值(23) （10 分）选修 45：不等式选讲已知 2()()fxaR， (12gxx（）若 4 ，求不等式 )f的解集；（）若 0,3x时， (fxg的解集为空集，求 a的取值范围 理科数学参考答案1、选择题 DBDAC CDDDA CD2、填空题 13、 4 14、 87 15、 1,2 16、 1M3、解答题17.（1） B （2） ABC的面积为 218.（1） AD， 3E
11、， 5，由勾股定理得： ADE -1 分又正方形 中 D，且 EC 面 C -3 分A面 B，平面 A平面 -4 分（2）解：由（）知 E是二面角 的平面角 -5 分作 OD于 ，则 cos1OEDC， 2O 且由平面 ABCD平面 E，平面 ABCD平面 EC， O面 EDC得：OE面 -6 分取 中点 G，连结 O，则 G -7 分如图，建立空间直角坐标系，则 (2,10)A、 (,)B、 (0,1)D、 (,02)E E， F的一个方向向量 B-8 分设面 的一个法向量 (,)nxyz，则 20nAxyDB， 取 x，得： (,3)-9 分又面 EC一个法向量为： (1,0)m-10 分
12、 27cos,n -11 分设面 AEF与面 DC所成二面角为 ，由 为锐角得： 217cos,nm19.（1）解：由已知，优等品的质量与尺寸的比在区间 ,97e内，即 0.32,.8yx则随机抽取的 6 件合格产品中，有 3 件为优等品，3 件为非优等品 -1 分现从抽取的 6 件合格产品中再任选 3 件，则取到优等品的件数 ,10361()2CP， 12369()0CP，1369()0， 36()2-3 分的分布列为 13P120920920120193()02E-5 分（2）解：对 bycx（ ,0）两边取自然对数得 lnlnycbx，令 ln,liiivuy，得 ubva，且 ， -6
13、 分（ ）根据所给统计量及最小二乘估计公式有，1 2275.34618.0.710542niivb- -7 分18.34.612auv， 得 ln1ac，故 e -8 分所求 y 关于 x 的回归方程为 2yex -9 分（ ）由（ ）可知，1，则 0.32zx由优等品质量与尺寸的比 2,7,99yexe，即 4,81x 令 7,9tx，22()0.30.3().0.3ezttt当 8.57,9.et时， z取最大值 - -12 分即优等品的尺寸 23x（mm） ，收益 的预报值最大 .20 （1）由题意，可得 PBD的最大面积为 1322ba，即 2ab. 又 2cea .2 分22b .3
14、 分联立，解得 2， 1b，故 E的方程2xy. .4 分（2）设直线 DP的方程为 2kx， 1(,)Py， 2(,)Qx. .5 分联立方程组 2,1ykx消去 y，得 22()k， .6 分整理，得 2(1)860kxk， .7 分由韦达定理，得 2126,xk， .8 分又直线 BP的方程为 1y，所以 1,0xMy， .9 分直线 Q的方程为 2x，所以 2,N， .10 分所以 12OMNy .11 分12122 226(3)3()949(1)3xxkkkk，即 N为定值 .12 分21.（1） a，减区间 )0,1(，增区间 ),( 5 分（2） k 12 分22（1）解：（1）
15、设 (,)P， 1(,)M，则由 ,25O成等比数列，可得 20OP，1 分即 1=0， 12 分又 (,)M满足 4sin，即 204sin，3 分 sin5，4 分化为直角坐标方程为 5y5 分（2）依题意可得 (2,)B，故 1ABk，即直线 AB倾斜角为 4，6 分直线 A的参数方程为,23,xty7 分代入圆的直角坐标方程 22()4x，得 230t，8 分故 12t， 1230t，9 分 ADE10 分23选修 45：不等式选讲(1)当 4a时， ()fxg化为 2412xx，1所以 ()fx解集为 |16或 35 分(2) 由题意可知，即为 0,3x时， ()fxg恒成立 6 分
16、当 02x时， 2a，得 2min1；8 分当 3时， 1x，得 in+4ax，综上， 4a10 分(24)（A） （B ） 1,2（C） 2（D） 1,2(25) 欧拉公式 cosinixex( 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”。根据欧拉公式可知， i32018表示的复数位于复平面中的（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限(26) 要得到函数 sin2fx的图象，只需将函数 cos2gx的图象（A）向左平移 1个周期 （B）向右平移 1个周期（C）
17、向左平移 4个周期 （D）向右平移 4个周期(27) 某地区空气质量监测表明，一天的空气质量为优良的概率是 75.0， 连续两天为优良的概率是 6.0，已知某天的空气质量为优良，则随后一 天空气质量为优良的概率是（A） 8.0 （B） 75. （C） 6.0 （D） 4.(28) 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体各面中直角三角形的个数是（A）2 （B）3 （C）4 （D）5(29) 等比数列 na的前 项和为 nS，下列结论一定成立的是（A）若 05，则 2017（B）若 6a，则 8（C ）若 5，则 2017S（D）若 6，则 8(30) 我们可
18、以用随机模拟的方法估计 的值，如下程序框图表示其基本步骤（函数 RAND 是产生随机数的函数，它能随机产生 )1,0(内的任何一个实数），若输出的结果为 527，则由此可估计 的近似值（A）126 （B） 3.132 （C）3.151 （D） 3.162 (31) 函数2(1)cos)=|xf的部分图像为(32) 已知三棱锥 ABCD的所有顶点都在球 O的球面上， 2BCA， 2A，若三棱锥体积的最大值为 2，则球 的表面积为（A） 8 （B） 9 （C ） 253 （D） 91(33) 已知双曲线2:1xyEab（ 0,ab）的左、右焦点分别为 12,F， 126， P是 E右支上的一点，
19、1PF与 轴交于点 A， 2PF 的内切圆在边 2A上的切点为 Q若 3A，则 的离心率是（A） 3（B ） 5（C） 3（D）(34) 向量 ， |e，对 Rt， |eta，则（A） a（B） )(a（C） )(（D） )()(ea(35) 函数 1ln)1(xxf 有三个零点，则实数 的取值范围是（A） 2,0（B） ),2(e（C） ),(e（D） ),2(二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。(36) 31x展开式中的常数项为 (37) 甲和乙玩一个猜数游戏，规则如下：已知五张纸牌上分别写有 12n（ *,5nN）五个数字，现甲、乙两人分别从中各自随机抽取一张，然后根据自己手中的数推测谁手上的数更大 甲看了看自己手中的数，想了想说：我不知道谁手中的数更大；乙听了甲的判断后，思索了一下说：我也不知道谁手中的数更大假设甲、乙所作出的推理都是正确的，那么乙手中的数是 . (38) 不等式组 0421yx的解集记作 D，实数 ,xy满足如下两个条件： aD,),(； ayx,),(.则实数 a的取值范围为 .(39) “斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现数列中的一系列数字常被人们称之为神奇
