1、开始k0S0S20kk2SS2 kYN输出 S结束第 6 题图盐城市 2018 届高三年级第三次模拟考试数 学 试 题(总分 160 分，考试时间 120 分钟)注意事项：1本试卷考试时间为 120 分钟，试卷满分 160 分，考试形式闭卷2本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分3答题前，务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上参考公式：锥体体积公式： ，其中 为底面积, 为高.13VShh圆锥侧面积公式： ，其中 为底面半径, 为母线长.rll样本数据 的方差 ，其中 .12,nx221()niisx1nix一 、 填 空 题 （ 本 大
2、 题 共 14 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 计 70 分 . 不 需 写 出 解 答 过 程 ， 请 把 答 案 写 在 答 题 纸的 指 定 位 置 上 ） 1已知 ， ，若 ，则实数 的取值范围为 (,Am(,BAm2设复数 （ 为虚数单位）为纯虚数，则实数 的值为 1aiza3设数据 的方差为 1，则数据 的方差为 2345, 12345,4一个袋子中装有 2 个红球和 2 个白球（除颜色外其余均相同） ，现从中随机摸出 2 个球，则摸出的 2 个球中至少有 1 个是红球的概率为 5 “ ”是“ ”成立的 ,6xkZ1sin2x条件（选填“充分不必要” 、 “必要不充分” 、 “
3、充要” 、 “既不充分又不必要” ） 6运行如图所示的算法流程图，则输出 S 的值为 7若双曲线 的两条渐近线与抛21(0,)xyab物线 交于 三点，且直线 经过抛物4,OPQP线的焦点，则该双曲线的离心率为 8函数 的定义域为 ()ln3)fxx9若一圆锥的底面半径为 1，其侧面积是底面积的 3 倍，则该圆锥的体积为 10已知函数 为偶函数，且其图象的两条si(cos()0,)f x相邻对称轴间的距离为 ，则 的值为 2)8f11设数列 的前 项和为 ，若 ，nanS*2()naN则数列 的通项公式为 a12如图，在 中，已知 ， ，18AB183AB16，点 分别为边 的 7 等8423
4、4567,8分点，则当 时， 的最大值9()ijiij为 13定义：点 到直线 的有向距离0,Mxy:0laxbyc 为已知点 , ，直线 过点 ，若圆 上存02axbc(10)A(Bm(3,0)P22(18)xy在一点 ，使得 三点到直线 的有向距离之和为 0，则直线 的斜率的取值范围为 C, l 14设 的面积为 2，若 所对的边分别为 ，则 的最小值AB,C,abc223bc为 二、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15(本小题满分 14 分)在直四棱柱 中，已知底面 是菱形， 分别是棱 的1ABCD
5、ABCD,MN1,AD1C中点（1）求证： 平面 ；MN（2）求证：平面 平面 1A BCDD1A1 B1C1MN第 15 题图第 12 题图AB1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B816(本小题满分 14 分)在 中，角 的对边分别为 ， 为边 上的中线ABC, ,abcADBC（1）若 ， ， ，求边 的长；4a2b1AD（2）若 ，求角 的大小cB17(本小题满分 14 分)如图，是一个扇形花园，已知该扇形的半径长为 400 米， ，且半径 平分2AOBC现拟在 上选取一点 ，修建三条路 , , 供游人行走观赏，设AOBCPPP（1）将三条路 , , 的总长表示为 的函数 ，并写出
6、此函数的定义域；AB()l（2）试确定 的值，使得 最小()l18(本小题满分 16 分)如图，已知 分别是椭圆 的左、右焦点，点 是椭圆12,F2:1(0)xyCab(2,3)P上一点，且 轴CP（1）求椭圆 的方程；（2）设圆 22:()(0)Mxmyr设圆 与线段 交于两点 ，若 ，且 ，求 的F,AB2MPFABr值；设 ，过点 作圆 的两条切线分别交椭圆 于 两点（异于点 ） 试问：PC,GHP是否存在这样的正数 ，使得 两点恰好关于坐标原点 对称？若存在，求出 的r,GHOr值；若不存在，请说明理由19(本小题满分 16 分)若对任意实数 都有函数 的图象与直线 相切，则称函数,k
7、b()yfxkbykxb为“恒切函数” 设函数 ， )fxgaep,aR（1）讨论函数 的单调性；()gx（2）已知函数 为“恒切函数” 求实数 的取值范围；p当 取最大值时，若函数 也为“恒切函数” ，求证： ()xhgem3016m（参考数据： ）320e20(本小题满分 16 分)在数列 中，已知 ，满足 是等差数列（其中na12,a11222,nnnaa） ，且当 为奇数时，公差为 ；当 为偶数时，公差为 2,Ndd（1）当 ， 时，求 的值；d8（2）当 时，求证：数列 是等比数列；02*|()nnN（3）当 时，记满足 的所有 构成的一个单调递增数列为 ，试求数列manb的通项公式
8、nbA O BCP第 17 题图OPF1 F2yx第 18 题图盐城市 2018 届高三年级第三次模拟考试数学附加题部分（本部分满分 40 分，考试时间 30 分钟）21选做题 （在 A、B、C、 D 四小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，计 20 分请把答案写在答题纸的指定区域内）A.（选修 4-1：几何证明选讲）如图，已知半圆 的半径为 5， 为半圆 的直径， 是 延长线上一点，过点 作半OABOPBAP圆 的切线 ，切点为 ， 于 若 ，求 的长PCDB.（选修 4-2：矩阵与变换）已知矩阵 的属于特征值 1 的一个特征向量为 ，求矩阵 的另一个特征值和 0abM1M对应的一个特征
9、向量C （选修 4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系中，直线 的参数方程为 （ 为参数） 以坐标原点 为极点，l21xtyO轴的正半轴为极轴建立极坐标系（单位长度相同） ，设曲线 的极坐标方程为 ，求直x C2线 被曲线 截得的弦长lCD(选修 4-5：不等式选讲）已知正数 满足 ，求 的最小值,xyz23yz22xyz必做题 （第 22、23 题，每小题 10 分，计 20 分请把答案写在答题纸的指定区域内）22 （本小题满分 10 分）某公司的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目 的测试，如果通过两个或三个项,ABC目的测试即可被录用若甲、乙、丙三人通过 每个项目测试的概率都是 1
10、2（1）求甲恰好通过两个项目测试的概率；（2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为 ，求 的概率分布和数学期望X23 （本小题满分 10 分）（1）已知 ，比较 与 的大小，试将其推广至一般性结*0,()iiabN21ba21()ba论并证明；（2）求证： 3*01235()2nnnn NCCA BP CD O第 21（A）图盐城市 2018 届高三年级第三次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分.1 2 34 4 5充分不必要 621 m167 58 9 10 11 12 13 14(,3212n13273(,41二、解答题：本大题共 90 小题.15
11、 （1）证明：连接 ，在四棱柱 中，因为 ， ，1AC1BDAC1/AB1/C所以 ，所以 为平行四边形，所以 2 分1/11/又 分别是棱 的中点，所以 ，所以 4,MN1, /MN/MN分又 平面 ， 平面 ，DN所以 平面 6 分AC（2）证明：因为四棱柱 是直四棱柱，1BACD所以 平面 ，而 平面 ，11 1B所以 8 分N又因为棱柱的底面 是菱形，所以底面 也是菱形，1所以 ，而 ，所以 10 分11ACD1/MN又 ， 平面 ，且 ，,B1ACD11D所以 平面 121分而 平面 ，所以平面 平面 14 分N1B16解：（1）在 中，因为 ，所以由余弦定理，ADC1,2,2A得
12、3 分227cos 8故在 中，由余弦定理，得 ，B2227cos4268cabC所以 6 分6c（2）因为 为边 上的中线，所以 ，所以ADBC1()2ADBC1()2c，得 10 分221cosbcosbA则 ，得 ，所以 14 分bca 2a90B17解：（1）在 中，由正弦定理，得 ，APOsinsisinPOAP即 ，从而 ， 4 分40sinii()42i()4A0i()4所以 ，()l 0sn22i()si()PABP故所求函数为 ， 640(s)()inl3,8分（2）记 ，2si2si3() ,(0,)co8n()4f因为 2coi)sin(cosin)(si)f， 10 分
13、22sin(4c)由 ，得 ，又 ，所以 12 分()0f 1i(3(0,)812列表如下： (,)213(,)8()f 0 递减 极小 递增所以，当 时， 取得最小值12lA B CDD1A1 B1 C1M N答：当 时， 最小 14 分12()l18解：（1）因点 是椭圆 上一点，且 轴，所以椭圆的半焦距 ，,3PC1PFx2c由 ，得 ，所以 ， 2 分2cyab2ba243a化简得 ，解得 ，所以 ，40b所以椭圆 的方程为 4 分C216xy（2）因 ，所以 ，即 ，2MABPF2MAPFB2PAF所以线段 与线段 的中点重合（记为点 ） ，由（1）知 ， 6 分2 Q3(0,)因圆
14、 与线段 交于两点 ，所以 ，,B21ABMPFkk所以 ，解得 ， 8 分3012m98m所以 ，故 . 10 分229315(0)()8MQ2157()8r 由 两点恰好关于原点对称，设 ，则 ，不妨设 ，,GH0(,Gxy0,Hxy0x因 ， ，所以两条切线的斜率均存在，(23)P设过点 与圆 相切的直线斜率为 ，则切线方程为 ，k3(2)k即 ，由该直线与圆 M 相切，得 ，即 ，120kxy 1r29r分所以两条切线的斜率互为相反数，即 ，PGHk所以 ，化简得 ，即 ，代入 ，0032yx06xy0yx2016y化简得 ，解得 （舍） ， ，所以 ， 144168233分所以 ，
15、，所以 ，(3,)G(23,)H2PGk所以 . 2671()r故存在满足条件的 ，且 16 分r719解：（1） ， 2 分()1xgae当 时， 恒成立，函数 在 上单调递减；0a0()gxR当 时，由 得 ，由 得 ，由 得 ，lna0lnxa()0gxlna得函数 在 上单调递，在 上单调递增 4 分()gx,l)(l,)（2）若函数 为“恒切函数” ，则函数 的图像与直线 相切，f yfkbykb设切点为 ，则 且 ，即 ，0,y0(fxk00xx0()fx.0()f因为函数 为“恒切函数” ，所以存在 ，使得 ， ，()gx00()g0即 ， 得 ， ，设 ， 6 分01xaep0
16、xae1xpe()1)xme则 ， ，得 ， ，得 ，()xm()()m故 在 上单调递增，在 上单调递减，从而 ，,(,ax()(0)故实数 的取值范围为 8 分p,1当 取最大值时， ， ， ， ，p0x01xae()1xhe，因为函数 也为“恒切函数” ，()2)xxhe()h故存在 ，使得 ， ，00(h0由 得 ， ，设 ， 10 分 2xxe02x()2xn则 ， 得 ， 得 ，()1nx)nln()lx故 在 上单调递减，在 上单调递增，,l,1在单调递增区间 上， ，故 ，由 ，得 ；12 分(,00()h0m2在单调递减区间 上， ，l2)2()e，又 的图像在 上不间断，3
17、12()(05ne()nx(,ln2)故在区间 上存在唯一的 ，使得 ，故 ，,)x02xe0xe此时由 ，得0(hx000(1)(1)me，12)42014x函数 在 上递增， ， ，故 (rx3(,)(2)r3()16r3016m综上 12所述， 16 分16m20解：（1）由 ， ，所以 ， 为等差数列且公差为 ，所以d2a234,a，421a又 为等差数列且公差为 ，所以 258,a 1843a分（2）当 时， 是等差数列且公差为 ，nk22211,kkk d所以 ，同理可得 ， 4 分212kd21k两式相加，得 ；121ka当 时，同理可得 ， 6 分2kkad所以 又因为 ，所以
18、 ，2|nnd 0211|2()nnan所以数列 是以 2 为公比的等比数列 82*|()nnaN分（3）因为 ，所以 ，由（2）知 ，242d2121kkad所以 ，12131kk kkad 依次下推，得 ，1 32 ka 所以 ， 10 分21()3kkd当 时， ，2kn21 2321()()k kknadnd 由 ，得 ，所以 ，2ma33kb所以 （ 为奇数） ； 12 分nb由（2）知 ，2222kkkkadd 依次下推，得 ，42所以 ， 14 分2(1)3kk当 时， ，2kn2 242()()3k kknadnd 由 ，得 ，所以 2ma43423kb所以 （ 为偶数） nb
19、综上所述， 16 分2(3nb为 偶 数 ）为 奇 数 ）方法二：由题意知， ， 1023 121 2nnnbb分当 为奇数时， 的公差为 ， 的公差为 ，n1222,nnnaad11222,nnnaad所以 ， ，1()(nbbd11()nnb则由 ，得 ，即 211)nn21nnb同理，当 为偶数时，也有 故恒有 12 分2 2*()N当 为奇数时，由 ， ，相减，得 ，321nn 21n 2nn所以 53()()()nnbb14 分132243n当 为偶数时，同理可得 n23nb综上所述， 16 分2(3nb为 偶 数 ）为 奇 数 ）附加题答案21 （A）解：连 ，因 为半圆 的切线，
20、,CBPO所以 又 ，P所以 ，所以 ，12ACB即 5 分2因 为半圆 的直径，所以 ，ABO22A因半圆 的半径为 5，所以 ，所以 ，105,45BC由射影定理，得 ，解得 ，所以 10 分2CAD 2DA（B）解：由题意得 ，解得 ，所以 2 ab1ab10M分A BPCD O矩阵 的特征多项式为 ，M2 1()()10f由 ，得 ，所以矩阵 的另一个特征值为 2 6 分()0f2,M此时 ，对应方程组为 ，所以 ， 1f 10xyy所以另一个特征值 2 对应的一个特征向量为 10 分0（C）解：直线的普通方程为 ；由 ，1xy2得曲线 的普通方程为 ， 5 分24所以 ，所以直线 被
21、曲线 截得的弦长为 101dlC22()14分（D）解：根据柯西不等式，有 ，2222(3)(13)()xyzxyz因 ，所以 ， 5 分23xyz247当且仅当 时等号成立，解得 ，1,yz即当 时， 取最小值 10 分,7xyz22xz22解：（1）甲恰好通过两个项目测试的概率为 4 分2313()8C（2）因为每人可被录用的概率为 ，所以 ，231()31(0)(28PX， ， 13()()28PXC213()PX)故 的概率分布表为：0 1 2 388分所以， 的数学期望 10X1313()022EX分23解：（1） ，2 221 111()()baba因为 ， ，所以 ，则 ，0ia
22、i 2210,b221112abab所以 ，即 2 2112221()( ()bab2121()()所以 ，当且仅当 ，即 时等号成立 221a12)b12a22ab分推广：已知 , ( )，则 0ii,Nin12nb 212()nba 4 分证明：当 时命题显然成立；1n当 时，由上述过程可知命题成立；2假设 时命题成立，()k即已知 , ( )时，0iaib,Nik有 成立，221k 212kba 则 时， ，n212112()()kk baa 由 ，可知 ，21ba)ba 212121()()k kbba 故 ，2211k 221ka 故 时命题也成立n综合，由数学归纳法原理可知，命题对一切 恒成立 6 分nN（注：推广命题中未包含 的不扣分）n（2）证明：由（1）中所得的推广命题知 01235nnnCC， 8 分2220135()nnnC 2012(1)nn 记 ，S则 ，10()()nnnn两式相加，得 ，0122(2)()()nnCC，故 ，012(2)(2)nnnnCC (1)2nS又 ，241135()将代入，得 ，22 30135()()()12nnnnC所以， ，证毕 10 分301235()nnnCC
