1、2017-2018 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数 学 试 题 2018.5方差公式： ，其22221()()()nsxxxn 中 12(x一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上1 若复数 满足 是虚数单位 ，则 的虚部为 z(1+i)=2)z2 设集合 ， 其中 ，若 ，则实数 4A， (Ba， 0ABa3 在平面直角坐标系 中，点 到抛物线 的准线的xOy4)P， 28yx距离为 4 一次考试后，从高三（1）班抽取 5 人进行成绩统计，其茎叶图如右图所示，则这五人成绩的方差为 5 右图是一个算法流程图，
2、若输入值 ，则输出值 的02x， S取值范围是 6 欧阳修在卖油翁中写到：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿” ，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径 4 厘米，中间有边长为 1 厘米的注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1本试卷共 4 页，包含填空题（第 1 题第 14 题） 、解答题（第 15 题 第 20 题）两部分本试卷满分 160 分，考试时间为 120 分钟2答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的指定位置3答题时，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的指定位置，在其他
3、位置作答一律无效4如有作图需要，可用 2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚5请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔7 88 2 4 49 2（第 4 题图）（第 5 题图）S2xx2S1输出 S结束开始输入 xx1Y N（第 6 题图）正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计） ，则油恰好落入孔中的概率是 7 已知函数 在 时取得最大值，则 ()sin)(02)fxx8 已知公差为 的等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 dnanS10541ad9 在棱长为 2 的正四面体 中， ， 分别为 ， 的中点，点 是线段PABCMNPABCD上一点，
4、且 ，则三棱锥 的体积为 PNDND10 设 的内角 ， ， 的对边分别是 ，且满足abc， ，则 3cos5aBbctanB11 在平面直角坐标系 中，已知圆 ，点 ，若圆 上存在xOy2:(1)Cxy(20)A， C点 ，满足 ，则点 的纵坐标的取值范围是 M210AM12 如图，扇形 的圆心角为 90，半径为 1，点 是圆弧 上的动点，作点 关BPBP于弦 的对称点 ，则 的取值范围为 QP13 已知函数 若存在实数 ，1(|3|)0)2lnxf， ， ， abc满足 ，则 的最大值()()fabfc()()afbfcf是 14 已知 为正实数，且 ，则 的最小值为 ， 234()1a二
5、、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15 （本小题满分 14 分）如图，在四棱锥 中， ，PABCD90，点 为棱 的中点CBE（1）若 ，求证： ；（2）求证： /平面 QPOBA（第 12 题图）A BCDPE（第 15 题图） 16 （本小题满分 14 分）在 中，三个内角 ， ， 的对边分别为 ，设 的面积为 ，ABCABCabc， ， ABCS且 .2243()Sacb（1）求 的大小；（2）设向量 ， ，求 的取值范围(sin3os)，m(32cos)，nmn 17 （本小题满分 14 分）下图（I）是
6、一斜拉桥的航拍图，为了分析大桥的承重情况，研究小组将其抽象成图（II）所示的数学模型索塔 ， 与桥面 均垂直，通过测量知两索塔的高度ABCDA均为 60m，桥面 上一点 到索塔 ， 距离之比为 ，且 对两塔顶的P21:4P视角为 135（1）求两索塔之间桥面 的长度；（2）研究表明索塔对桥面上某处的“承重强度”与多种因素有关，可简单抽象为：某索塔对桥面上某处的“承重强度”与索塔的高度成正比（比例系数为正数 ） ，且与该a处到索塔的距离的平方成反比（比例系数为正数 ） 问两索塔对桥面何处的“承重强b度”之和最小？并求出最小值 18 （本小题满分 16 分）如图，椭圆 的离心率为 ，焦点到相应准线
7、的距离为 1，点21(0)xyab2， ， 分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点 的直线 交椭圆于点 ，ABCClD交 轴于点 ，直线 与直线 交于点 x1(0)Mx， ACBD2()Nxy，（1）求椭圆的标准方程；（2）若 ，求直线 的方程；2Dl（第 17 题图（） ） （第 17 题图（） ） P DCBAN DMCBAyxO（第 18 题图）（3）求证： 为定值 12x19 （本小题满分 16 分）已知函数 R32()1fxabx， ，（1）若 ，20b 当 时，求函数 的极值（用 表示） ；()fxa 若 有三个相异零点，问是否存在实数 使得这三个零点成等差数列？若存()fx在，
8、试求出 的值；若不存在，请说明理由；a（2）函数 图象上点 处的切线 与 的图象相交于另一点 ，在点 处的()fA1l()fxB切线为 ，直线 的斜率分别为 ，且 ，求 满足的关系式l12l， 2k， 1=4kab， 20 （本小题满分 16 分）已知等差数列 的首项为 1，公差为 ，数列 的前 项和为 ，且对任意的nadnbnS， 恒成立*nN692Sb（1）如果数列 是等差数列，证明数列 也是等差数列；n n（2）如果数列 为等比数列，求 的值；12nbd（3）如果 ，数列 的首项为 1， ，证明数列 中存在3dnc1(2)nncbna无穷多项可表示为数列 中的两项之和 2017-2018
9、 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）参考答案一、填空题：1 2 3 4 5420.801，6 7 8 9 1042411 12 13 142， 1， 2e12二、解答题15 证明：（1）取 的中点 ，连结 ，BDOCP，因为 ，所以 为等腰三角形，所以 2 分CBDCO因为 ，所以 为等腰三角形，所以 4 分PP又 ，所以 平面 6 分O因为 平面 ，所以 7 分（2）由 为 中点，连 ，则 ，EBEOP又 平面 ，所以 平面 9 分PAD AD由 ，以及 ，所以 ，90C又 平面 ，所以 平面 11 分COO P又 ，所以平面 平面 ， 13 分=EE AD而 平面 ，所以 平面 14
10、 分C16解（1）由题意，有 ， 2 分2214sin3()2acBacb则 ，所以 4 分sin3bBiosB因为 ，所以 ，0cos0所以 ta又 ，所以 6 分B3（2）由向量 ， ，得(sin2cos)A，m(32cos)A，n8 分2 3sin6cos3incos23sin(2)34AAAm=由（1）知 ，所以 ，所以 BC0所以 10 分12()42，所以 12 分sinA，所以 即取值范围是 14 632，m632，分17解（1）设 ， ，记 ，则1APt4(0)Bt， =APBCD， 2 分602615tan=an7tt，由 ， 4 215an7t()t45301tt分化简得
11、，解得 或 （舍去） ， 27530ttt157t所以， 6 分250ACP答：两索塔之间的距离 AC=500 米（2）设 AP=x，点 P 处的承重强度之和为 .()Lx则 ，且 ， 22()60(5)abLxx0,5即 9 分221,()（注：不写定义域扣 1 分）记 ，则 ， 11 分22(),(05)(50)lxx332()(50)lxx令 ，解得 ，当 ， ， 单调递减；(,)(l()l当 ， ， 单调递增；250x0x所以 时， 取到最小值， 也取到最小值 . 13 ()l()Lx63125ab分答：两索塔对桥面 AC 中点处的 “承重强度”之和最小，且最小值为 . 14 6312
12、5ab分18. 解（1）由椭圆的离心率为 ，焦点到对应准线的距离为 1.2得 解得 2 分21ca， ， ac，所以，椭圆的标准方程为 . 4 分21xy（2）由（1）知 ，设 ，(0,1)C0(,)D因为 ， 得 ，所以 ， 6 分M2y2y代入椭圆方程得 或 ，所以 或 ，06x61(,)61(,)2D所以 的方程为： 或 . 9 分l 12y2yx（3）设 D 坐标为(x 3，y 3）,由 ，M( x1，0) 可得直线 的方程 ， 0,)CCM1yx联立椭圆方程得： 解得 , . 12 分12xy， 1324x213xy由 ，得直线 BD 的方程： ， (2,0)B21(2)4yxx直线
13、 AC 方程为 ， 21yx联立得 ， 15 分21x从而 =2 为定值. 16 分1解法 2：设 D 坐标为(x 3，y 3） ，由 C,M,D 三点共线得 ，所以 ， 10 分131x31xy由 B,D,N 三点共线得 ，将 代入可得23=y221， 12 分322xy和相乘得，23333122=2xyxyxyx. 16 分2332(1)xyx19. 解：（1）由 及 ，2(fab0得 ， 1 分2()3fxx令 ，解得 或 .03由 知， ， 单调递增，a(,)(0xafx， )(f， 单调递减， ， 单调递增，(,)3xf， ,)(03axfx， )(f3 分因此， 的极大值为 ， 的
14、极小值为 .)(f 3()1fa)(f35()127af4 分 当 时， ，此时 不存在三个相异零点；0ab3()fx当 时，与同理可得 的极小值为 ， 的极大值为 3()1fa)(xf.35()127f要使 有三个不同零点，则必须有 ，x 335(1)027a即 . 6 分3315a或不妨设 的三个零点为 ，且 ，)(xf 321,x321x则 ，123()0f， 31()fa， 22xx， 33()0f-得 ，2 2211121)()()()0axxax因为 ，所以 ， 0xx8 分同理 ， 22233()0a-得 ，1131()()0xxxax因为 ，所以 ， 9 分3023又 ，所以
15、. 10 分12所以 ，即 ，即 ，()3af229a371a因此，存在这样实数 满足条件. 12 分31a（2）设 A（m，f(m) ）,B(n， f(n)，则 ， ，bamk231 bank232又 ，mnk )()()23113 分由此可得 ，化简得 ，banba)(2322 a2因此， ， 15 分mmk 2281)()(所以， ，2221843所以 . 16 分ba320. 解：（1）设数列 的公差为 ，由 ， nSd692nnSba， 1692()nS-得 ， 2 分11()9()nnnba即 ，所以 为常数，1dbd69d所以 为等差数列 3 分n（2）由得 ，即 ， 4 分169nnb13nb所以 是与 n 无关的常数，11 113()23222nnnnddb b所以 或 为常数 6 分03d1b当 时， ，符合题意； 7 分3d当 为常数时，12nb在 中令 ，则 ，又 ，解得 ，8 分69nSa111692ab1a1b所以 ，13n此时 ，解得 13132ndb6d综上， 或 10 分d6（3）当 时， ， 11 分2na由（2）得数列 是以 为首项，公比为 3 的等比数列，所以 ，1b3 13=2nnnb即 12 分1=(3)nb
