1、2018 届江苏省淮安市等四市高三上学期第一次模拟数学试题一、填空题1已知集合 ， ，则 _【答案】【解析】 ，所以 。2已知复数 （ 为虚数单位） ，则 的模为_【答案】【解析】 ，所以 。3函数 的定义域为_【答案】【解析】 ，解得定义域为 。4如图是一个算法的伪代码，运行后输出 的值为_ 【答案】【解析】（1） ；（2） ；（3） ，所以输出 的值为 13.5某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了 150 分到450 分之间的 1 000 名学生的成绩，并根据这 1 000 名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图) ，则成绩在250，400)内的学生共有_人【
2、答案】750【解析】因为 ，得 ，所以 。6在平面直角坐标系 中，已知双曲线 的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为_【答案】【解析】 ，所以 ，得离心率 。7连续 2 次抛掷一颗质地均匀的骰子（六个面上分别标有数字 1，2，3，4，5，6 的正方体） ，观察向上的点数，则事件“点数之积是 3 的倍数”的概率为_【答案】【解析】总事件数为 ，目标事件：当第一颗骰子为 1,2,4,6，具体事件有，共 8 种；当第一颗骰子为 3,6，则第二颗骰子随便都可以，则有 种；所以目标事件共 20 中，所以 。8已知正四棱柱的底面边长为 ，侧面的对角线长是 ，则这个正四棱柱的体积是_ 【答案】【解析】由题
3、意，正四棱柱即底面为正方形的长方体，所以高为 6，长和宽都为 3，所以 。9若函数 的图象与直线 的三个相邻交点的横坐标分别是 ， ， ，则实数 的值为_【答案】【解析】由三角函数的图象可知，直线 与正弦函数图象交的三个相邻交点中，第一个点和第三个点之间正好一个周期，则 ，所以 。10在平面直角坐标系 中，曲线 上任意一点 到直线 的距离的最小值为_【答案】【解析】 ，所以 ，得 ，由图象对称性，取点 ，所以 。11已知等差数列 满足 ， ，则 的值为_【答案】【解析】由题意， ， ， ，所以 。点睛：本题考查等差数列的性质。当 时， 。本题中利用等差数列的性质，得到 ， ，在利用 ，求得 。
4、12在平面直角坐标系 中，若圆 上存在点 ，且点 关于直线 的对称点 在圆 上，则 的取值范围是_【答案】【解析】 关于直线 的对称圆 ，由题意，圆 与圆 有交点，所以 ，所以 的范围是 。点睛：本题考查直线和圆的位置关系。由题意，得到关于直线的对称圆 ，存在点 满足条件，即圆 与圆 有交点，由图象特点得 ，求得 的范围。直线和圆的题型充分利用图象辅助解题。13已知函数 函数 ，则不等式 的解集为_【答案】【解析】 ， ，所以 ，所以 的解集为 。点睛：本题考查绝对值不等式。本题先对绝对值函数进行分段处理，再得到 的解析式，求得 的分段函数解析式，再解不等式 即可。绝对值函数一般都去绝对值转化
5、为分段函数处理。14如图，在 中，已知 ， 为边 的中点若，垂足为 ，则 EBEC 的值为_ 【答案】【解析】 ，由余弦定理，得 ，得 ， ， ，所以 ，所以 。点睛：本题考查平面向量的综合应用。本题中存在垂直关系，所以在线性表示的过程中充分利用垂直关系，得到 ，所以本题转化为求 长度，利用余弦定理和面积公式求解即可。15如图， 是圆 的直径，弦 的延长线相交于点 垂直 的延长线于点 求证：【答案】证明见解析【解析】试题分析： 四点共圆，所以 ，又 ，所以，即 ，得证。试题解析：A连接 ，因为 为圆的直径，所以 ，又 ，则 四点共圆，所以 又 ，所以 ，即 ， 二、解答题16在 中，角 ， ，
6、 所对的边分别为 ， ， ，且 , .求 的值；若 ，求 的面积.【答案】 （1）3（2）78【解析】试题分析：（1）由 ，得 ， ，；（2） ，由正弦定理 ,得 ，所以的面积 .试题解析：（1）在 中，由 ，得 为锐角，所以 ，所以 ， 所以 （2）在三角形 中,由 ，所以 ， 由 ， 由正弦定理 ,得 ， 所以 的面积 .17如图，在直三棱柱 中， ， ， ， 分别是 ， 的中点. 求证： ； .【答案】 （1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）取 的中点 ，连结 ，所以 平面 ；（2） ， ，所以 面 ，所以 .试题解析：（1）证明：取 的中点 ，连结因为 分别是 的中点，所以
7、且在直三棱柱 中， ， ，又因为 是 的中点，所以 且 . 所以四边形 是平行四边形，所以 ， 而 平面 ， 平面 ，所以 平面 . （2）证明：因为三棱柱 为直三棱柱，所以 面 ，又因为 面 ，所以面 面 ， 又因为 ，所以 ，面 面 ， ，又因为 面 ，所以 ，连结 ，因为在平行四边形 中， ，所以 ，又因为 ，且 ， 面 ，所以 面 ， 而 面 ，所以 .18某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图 1.为了便于设计，可将该礼品看成是由圆及其内接等腰三角形 绕底边 上的高所在直线 旋转 180而成，如图 2.已知圆的半径为
8、 ，设 ，圆锥的侧面积为 .（1）求 关于 的函数关系式；（2）为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积 最大.求 取得最大值时腰 的长度.【答案】 （1） ， （2）侧面积 取得最大值时，等腰三角形的腰 的长度为【解析】试题分析：（1）由条件， ， ，所以 S， ；（2） 令 ，所以得 ，通过求导分析，得 在 时取得极大值，也是最大值。试题解析：（1）设 交 于点 ，过 作 ，垂足为 ， 在 中， ， ，在 中， ，所以 S ，（2）要使侧面积最大，由（1）得：令 ，所以得 ，由 得：当 时， ，当 时，所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，所以 在 时取得极大值，也是最大值；所以当
9、时，侧面积 取得最大值， 此时等腰三角形的腰长答：侧面积 取得最大值时，等腰三角形的腰 的长度为 19如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 的离心率为 ，且过点 . 为椭圆的右焦点， 为椭圆上关于原点对称的两点，连接 分别交椭圆于 两点.求椭圆的标准方程；若 ，求 的值；设直线 ， 的斜率分别为 ， ，是否存在实数 ，使得 ，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】 （1） （2） （3）【解析】试题分析：（1） ；（2）由椭圆对称性，知 ，所以 ，此时直线 方程为 ，故 （3）设 ，则 ，通过直线和椭圆方程，解得 ， ，所以，即存在 。试题解析：（1）设椭圆方程为 ，由题意知： 解之得： ，所以椭圆方程为： （2）若 ，由椭圆对称性，知 ，所以 ， 此时直线 方程为 ， 由 ，得 ，解得 （ 舍去） ，故 （3）设 ，则 ，直线 的方程为 ，代入椭圆方程 ，得，因为 是该方程的一个解，所以 点的横坐标 ，
