1、离散数学,CH4 二元关系和函数 4 偏序关系,内容回顾:关系的性质例:A=1,2,3, A上的关系R=1,1,1,2,2,2,2,3,1,2,3,自反性 反自反性 对称性 反对称性 传递性, ,内容回顾:关系的性质例:A=1,2,3, A上的关系R=1,1,1,2,2,2,1,2,3,自反性 反自反性 对称性 反对称性 传递性, ,今日内容：偏序关系,偏序关系、偏序集定义 可比和盖住的概念 有穷集哈斯图的画法 最大、最小、极大、极小元、上界、下界、上确界、下确界,1、偏序关系,定义：设R为非空集合A上的关系，如果R是自反的、反对称的和传递的，则称R为A上的偏序关系，简称偏序，记作。 如果序偶
2、x，y属于偏序关系，可记作xy，读作“x小于等于y“ 这里的小于等于不是指数的大小，而是指它们在偏序关系中的位置先后,例： 集合A=1,2A上的恒等关系IAIA =,具有自反、反对称、传递性是偏序关系,例：集合A=1,2幂集P(A)上的包含关系P(A) =, 1, 2, 1,2P(A) = , , , , , , , ,具有自反、反对称、传递性是偏序关系,例：整数集上的小于等于关系R 是偏序关系 证明： 1.证自反性对 x整数集 ，因为xx，根据定义则 R 。所以R满足自反性 2.证反对称性已知对 x，y整数集（xy），如果 R ， 即xy，则yx肯定不成立，即 不属于R 。 所以R满足反对称
3、性 3.证传递性对 x，y，z整数集 ， 如果， R ，根据定义有xy, yz，可得xz即： R 。所以R满足传递性R具有自反、反对称、传递性,所以R为偏序关系,2、偏序集,定义：一个集合A 和A上的偏序关系R一起叫做偏序集，记作A，R 。 例如,Z，R,P(A)，R都是偏序集,其中R表示通常的数的小于等于关系R表示集合的包含关系,3、可比、盖住,定义：设A，为偏序集，对于任意的x，y A，如果xy或者yx成立，则称x与y是可比的;如果xy（即xyxy），且不存在z A使得xzy，则称y盖住x,例: 是偏序集,其中A=1,2,3,4, 是整除关系=, ,1和1,2,3,4,都是可比的 2和3是
4、不可比的(2不能整除3, 3也不能整除2) 2盖住1(因为1整除2，并且不存在z A使得1整除z并且z整除2）同样，有4盖住2 但4不盖住1，因为有1 2 4成立,4、哈斯图（有穷偏序集的描述） -简化的关系图画出关系图的基础上,如下约定做简化： 自反性约定：将表示自反性的环去掉 反对称性约定：如果xy，把y画在x之上，则可以把x指向y的箭头去掉（单向边，方向向上） 传递性约定：如果x和y之间有边，但y不盖住x，则将该边去掉。即如果xz， zy ， 则把表示传递关系xy的边去掉,例:是偏序集,其中A=1,2,3,4, 是整除关系,求该偏序集的哈斯图 解： =,=,例:求下列关系的哈斯图,设X2
5、,3,4,6,24,D为X上的整除关系， 则X, D的哈斯图:,2,3,4,6,24,练习:求下列关系的哈斯图,设Xa,b,c,d上的偏序关系为Ra,a，, c,c,a,d,d,d则X, R的哈斯图为:,a,b,c,d,5、由哈斯图求关系,集合A上关系R的哈斯图,6、最小元、最大元、极小元、极大元 定义：设A，为偏序集，BA。 若 y B，使得x（xB y x）成立， 则称y是B的最小元。 若 y B，使得 x（xBx y）成立， 则称y是B的最大元。 若 y B，使得x（xBxy）成立， 则称y是B的极小元。 若 y B，使得x（xByx）成立， 则称Y是B的极大元。,例:Aa，b，c,d，
6、e，f，g, Bc,d 偏序集X, R的哈斯图如图, 则,A的最大元: gA的最小元 : 无A的极大元: gA的极小元 :a,bB的最大元 : 无 B的最小元: 无B的极大元: c, dB的极小元 : c, d,例：P94 图4-10A的最大元:无A的最小元 : 无A的极大元: e, g, hA的极小元 :a, b, f, h,7、上界、下界、上确界、下确界 定义： 设A，为偏序集，B A。 若y A，使得x（x B x y）成立，则称y为B的上界。 若y A，使得x（x By x） 成立，则称y为B的下界。 令C=y|y为B的上界，则称C的最小元为B的最小上界或上确界 令D=y|y为B的下界，则称D的最大元为B的最大下界或下确界。,例:Aa，b，c,d，e，f，g, Bc,d 偏序集A, 的哈斯图如图, 则,B的上界:e,g B的下界:a B的上确界:e B的下确界:a,补充：全序 定义：（设A， 为偏序集，若对 任意的x，y A，x和y都可比，则称 为A上的全序关系，且称为全序集。例如，1，2，3，4，5上的小于等于关系 是全序关系，而整除关系就不是全序关系全序集哈斯图特征：哈斯图是一条直线，,练习：4.16,上图有何问题？,作业,P116: 4.12 4.14 4.15 4.16 (1),Q & A,25,
