1、2018 高考高三数学 4 月月考模拟试题 02一 选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知全集 U=l，2，3，4 ，5，集合 A=l，2 4 ，集合 B=l，5，则 UAB（ ）A2,4 B1，2,4 C2,3,4,5 Dl,2,3,4,5【解析】 ,U，所以 ,4UAB，选 A.2.i是虚数单位，则 1i的虚部是（ ）A 2 B 2i C 12 D 12【解析】 i= ，选 C3.设 ,abc分别 是的三个内角 ,AB所对的边，若 1,3,06Aab则B=的（ ）A.充分不必要条件； B.必要不充分条件； C.
2、充要条件； D.既不充分也不必要条件；【解析】若 1,3,0，由正弦定理得 sini,2或 12反之， 6Bab则 1sini,302abb，故选 B4下列有关命题的说法正确的是（ ）A命题“若 12x，则 ”的否命题为“若 x，则 1”B命题“ 0,R”的否定是“ 0,2R”C命题“若 yx，则 yxsin”的逆否命题为假命题D若“p 或 q”为真命题，则 p，q 至少有一个为真命题【解析】 “若 12，则 ”的否命题为“若 21x，则 ”，所以 A 错误。“ 0,xR”的否定是“ ,0R”所以 B 错误。若 yx，则 yxsin，原命题正确，所以若 y，则 yxsin”的逆否命题为真命题，
3、所以 C 错误。D 正确，选 D.5.(文科) 若 na为等差数列， nS是其前 n 项的和，且 321S，则 6tan=（C ）A. 3 B. 3 C. D.【解析】 166()2,2a，选 C.5（理科） 如果 23()x的展开式中的常数项为 a，则直线 yax与曲线 2yx围成图形的面积为（ ）A. 72B. 9 C. 2 D. 274【解析】展开式的通项为 3231()kkkTCx，所以当 30k时， 1k。即常数项为13aC，所以直线方程为 y，由 2y得 0或 x，所以曲线所围成图形的面积为2230019()()xdx，选 C.6 如图是某几何体的三视图，其中正视图为正方形，俯视图
4、是腰长为 2 的等腰直角三角形，则该几何体的体积是 ( )【解析】由三视图可知该几何体为正方体内部四棱锥 PABCD(红线图形)。则正方体的边长为 2，所以 2,BCOP,所以四棱锥 PABC的体积为 18233，选 A. 7. 已知椭圆214xy的焦点为 1F， 2，在长轴 12上任取一点 M，过 作垂直于 12A的直线交椭圆于点 P，则使得 20P的点 M的概率为（ ）A 12 B 3 C 63 D 63【解析】设 (,)xy，则 12(,)(,)0FxyxyA220xy，22 631043，概率为463，选 D8已知函数 ,)(xnkf，若 0k，则函数 1|)(|xfy的零点个数是A1
5、 B. 4 C.3 D. 2【解析】由 10yf，得 ()1f。若 x，则 ()lnf，所以 ln1x或 l，解得 xe或 。若 x，则 k，所以 1kx或 2k，解得10k或 3k成立，所以函数 |)(|fy的零点个数是 4 个，选 B.9设 F为双曲线2169xy的左焦点，在 x轴上 F点的右侧有一点 A，以 F为直径的圆与双曲线左、右两支在 轴上方的交点分别为 M、 N，则 A的值为（ C ）A. 25 B. 52 C. 45 D. 54【解析】对 21xyab有 1FAe，特殊情形： 为右焦点，,RtFMAtNFA， 21NFMAace。选 C二.填空题：本大题共 4 小题，每小题 5
6、 分，共 20 分.11若 1,2,1,2abxc，且 ()abc，则 x= .【解析】因为 ()()101A， 填1。12. 若某算法流程图如右图所示，则该程序运行后输出的 B 等于 。【解析】第一次循环， 213,2B;第二次循环， 7A;第三次循环， 2715,314BA;第四次循环， 5,45;第五次循环， 366;第六次循环，满足条件输出 63B。填 6313已知变量 x、y，满足 22031(4)xyzogxy,则-+=+的最大值为 【解析】设 2txy，则 2xt。做出不等式组对应的可行域如图为三角形 OBC内。做直线y，平移直线 ，当直线 yt经过点 C 时，直线 2yxt的截
7、距最大，此时 t最大，对应的 z也最大，由 023x,得 1,2x。即 (1,)代入 t得 4t，所以21(4)ogxy的最大值为 222(483zogylogl，填 3.14（文科） 给出下列等式： cs， cs8， cos16， 请从中归纳出第 n*N个等式： 2n个 【解析】易得第 *个等式： 2n个 1cosn；14.( 理科)将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法的种数为 【解析】甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生则，从 4 人中先选 2 人一个班，然后在分班，有 2346CA种。若
8、甲乙两人分在一个班则有 36A种，所以甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法的种数为 30种，填 3015.（文科）若函数 log(1)ayx的定义域和值域均为 ,mn,则 a的范围是_1(,)e_。【解析】方程 la有两个不同正根，函数 logayx和 y相切时1e，由对数函数性质知1e。填1(,)e（ 理科 ）三.选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按做的第一题评阅计分，本题共 5 分。（1 ） .（坐标系与参数方程选做题）已知在极坐标系下，点 21,3,ABO是极点，则 AB的面积等于_；(2).(不等式选择题）关于 x的不等式 1x的解集是_ _。理科四、文科三
9、：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 （本小题满分 12 分） 在 ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，向量 P=（sinA,b+c） ，q=（ac,sinCsinB）, 满足 pq=（）求角 B 的大小；（）设 m=（sin（C+ 3）, 12）, n=（2k,cos2A） （k1）, mn 有最大值为 3，求 k 的值.17 （理科） （本小题满分 12 分）PM2.5 是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，根据现行国家标准 GB3095 2012，PM2.5 日均值在 35
10、微克/ 立方米以下空气质量为一级；在 35 微克/立方米 75 毫克/ 立方米之间空气质量为二级；在 75 微克/ 立方米以上空气质量为超标。从某自然保护区 2012 年全年每天的 PM2.5 监测值数据中随机地抽取 10 天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：PM2.5 日均值（微克/立方米） 25,35 (35,45 (45,55 (55,65 (65,75 (75,85频数 3 1 1 1 1 3（1 ）从这 10 天的 PM2.5 日均值监测数据中，随机抽取 3 天，求恰有 1 天空气质量达到一级的概率；（2 ）从这 10 天的数据中任取 3 天数据，记 表示抽到 PM2.5 监测数
11、据超标的天数，求 的分布列；（3）以这 10 天的 PM2.5 日均值来估计一年的空气质量状况，则一年（按 366 天算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级。 （精确到整数）17 （文科） （本小题满分 12 分）某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为 50 的学生成绩样本，得频率分布表如下：组号 分组 频数 频率第一组 230，235) 8 0.16第二组 235，240) 0.24第三组 240，245) 15 第四组 245，250) 10 0.20第五组 250，255 5 0.10合 计 50 1.00（1 ）写出表中位置的数据；（2 ）为了选拔出更优秀的学生，高校决
12、定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取 6 名学生进行第二轮考核，分别求第三、四、五各组参加考核人数；（3 ）在（2 ）的前提下，高校决定在这 6 名学生中录取 2 名学生，求 2 人中至少有 1 名是第四组的概率18 （ 文科） （本小题满分 12 分）长方体 1ABCD中， 12A， 2BC， O是底面对角线的交点.() 求证： 1/BD平面 1；() 求证： AO平面 ；() 求三棱锥 C的体积。19已知各项均不相等的等差数列 na的前三项和为 18， 2na是一个与 无关的常数，若 139,a恰为等比数列 nb的前三项， （1）求 b的通项公式 （2 ）记数列 1cos02cos20nn
13、nbb，c的前三 项和为 nS，求证： 13n20（本小题满分 13 分）已知平面内一动点 P到点 )1,0(F的距离与点 P到 x轴的距离的差等于 1 （I）求动点 P的轨迹 C的方程；（II）过点 作两条斜率存在且互相垂直的直线 12,l，设 1l与轨迹 C相交于点 ,AB， 2l与轨迹 相交于点 ,DE，求 AB的最小值21. 文科（本小题满分 14 分）设函数 )0(ln)(2xbaxf 。 （)若函数 )(xf在 1处与直线21y相切， 求实数 a， b 的值；求函数 ,1)ef在 上的最大值；()当 0b时，若不等式xmf)(对所有的 2,13,0e都成立，求实数 m 的取值范围。
14、21.理科（本小题 14 分）已知函数 ()ln1)fxx，当 0时，函数 ()fx取得极大值.（）求实数 m的值；（）已知结论：若函数 (ln1)fm在区间 ,ab内导数都存在，且1a，则存在 0(,)xab，使得 0baf.试用这个结论证明：若 12，函数211()()ffgxx，则对任意 12(,)x，都有 ()fxg；（）已知正数,321n满足 ,32n 求证：当 n， N时，对任意大于 ，且互不相等的实数 nx32 ,都有nxfxfff 21参考答案mn=2ksin（C+ 3）+ 12cos2A=2ksin（C+B）+ 12cos2A=2ksinA+ 2cosA- 1=- 2siA+
15、2ksinA+ =- 2(sin)Ak+ （k1 ）. 8 分而 0A ,sinA（0,1, 故当 sinA1 时， mn取最大值为 2k- 2=3,得 k 74.12 分17（理科）解: 解：（）记 “从 10 天的 PM2.5 日均监测数据中，随机抽出三天，恰有一天空气质量达到一级” 为事件 ，23710()4CP. （）依据条件， 服从超几何分布：其中 10,3,NMn， 的可能值为 0,123，其分布列为：3710,2kP（）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为 710P，一年中空气质量达到一级或二级的天数为 ，则 (36,0.7)B 360.725.6E，一年中平均有
16、 256 天的空气质量达到一级或二级 17（文科）解：（1）的位置为 12，的位置为 0。304 分（2）抽样比为 1305，所以第三、四、五组抽中的人数为 3、2、18 分（3）设 2 人中至少有 1 名是第四组为事件 A，则 6()15P12 分4 分18（文科）解:() 证明：依题意： 1/BD，324120且 1BD在平面 1C外2 分 /平面 3 分() 证明：连结 O BDA 1BD 平面 14 分又 在 A上， 在平面 C上 15 分 2BC 12 O Rt中， 211AOA6 分同理： 1 1A中， 22111OCA A 7 分， 平面 BD8 分()解： 平面 B所求体积11
17、32VOD 423312 分18. 解: （1）由题意 ,1CA,正三棱台高为 3.2 分,1 BCBAABCVS.4 分（2）设 分别是上下底面的中心， E是 中点， F是 1CB中点.以 1O 为原点，过 1平行 1BC的线为 x轴建立空间直角坐标系 xyzO1. )0,2(1， ),(， )3,0(E， )0,4(A，)0,3(1， )3,(1E， 63，设平面 BA的一个法向量 ),(n，则 1BAn即 35yxz取 )5,(n，取平面 1CBA的一个法向量 10m，设所求角为 则 37cos.8 分（3）将梯形 1AC绕 旋转到 1CA,使其与 1BA成平角 72sin72cosco
18、s 111 4)3(1 B,1CC中，由余弦定理得 61BC即 1P的最小值为 67 .13 分19/解（1） 2na是一个与 无关的常数 1ad2 分又 3118Sd3,n4 分nb6 分（2 ）1113 2(3)23nn nnnc8 分又因为 1113n nnnn即 2nnc12 分所以： 2311()2233nnS 12 分20解：解析：（1）设动点 P的坐标为 (,xy，由题意得 1)(2yx 2 分化简得 yx2 当 0时 42；当 0时 所以动点 P的轨迹 C的方程为 和 （ ） 5 分（2）由题意知，直线 1l的斜率存在且不为 0，设为 k，则 1l的方程为 kxy由4x42ky
19、k则设 12(,)(,)AxyB则 ,121x， 21y 6 分因为 l，所以 2l的斜率为 k设 ),(),(43ED，则同理可得 4,343xk， 1423y 7 分)1()1()()(243 yyFBAEDFBAED210 分648)(8822 kk12 分当且仅当 1即 时， ADEB取最小值 16 13 分21. 文科解 : （ 1） ()afxb函数 ()fx在 1处与直线 12y相切()20,fab解得123 分221()ln,()xfxxf当 e时，令 0得 1e；令 ()0f，得 1;xe(),1fx则上单调递增，在1 ，e 上单调递减， ma()2ff8 分（2）当 b=0 时， ()lnfxa若不等式 ()fx对所有的 230,1,xe都成立，
