1、 WORD 格式 整理学习 参考 资料 分享 2017年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷数学三试题一、选择题:18 小题每小题 4分，共 32分1若函数 在 处连续，则1cos,0()xfxab（A） （B） （C） （D）2ab120ab2ab2二元函数 的极值点是（ ）(3)zxy（A） （B） （C） （D）0,)03(,)3(,)1(,)3设函数 是可导函数，且满足 ，则(fx(0fx（A） （B） 1)1()f（C） （D）()f )4 若级数 收敛，则 （ ）21sinl()kk（A） （B） （C） （D）1 125设 为 单位列向量， 为 阶单位矩阵，则En（A） 不可逆 （
2、B） 不可逆TE TE（C） 不可逆 （D） 不可逆2 26已知矩阵 ， ， ，则 0121010C（A） 相似， 相似 （B） 相似， 不相似,C,B,A,B（C） 不相似， 相似 （D） 不相似， 不相似7设 ， 是三个随机事件，且 相互独立， 相互独立，则 与 相互, ,C,ABC独立的充分必要条件是（ ）WORD 格式 整理学习 参考 资料 分享 （A） 相互独立 （B） 互不相容,B,AB（C） 相互独立 （D） 互不相容C8设 为来自正态总体 的简单随机样本，若 ，则12,()nX (,1)N1niiX下列结论中不正确的是（ ）（A） 服从 分布 （B） 服从 分布 21()nii
3、221n2（C） 服从 分布 （D） 服从 分布21()niiX2 2()X2二、填空题（本题共 6小题，每小题 4分，满分 24分. 把答案填在题中横线上）9 32(sin)xdx10差分方程 的通解为 1ttty11设生产某产品的平均成本 ，其中产量为 ，则边际成本为 .()1QCe12设函数 具有一阶连续的偏导数，且已知 ，(,)fxy (,)(1)yydfxedxed，则 (0,)f13设矩阵 ， 为线性无关的三维列向量，则向量组102A123,的秩为 123,14设随机变量 的概率分布为 ， ， ，若X12PXPXa3PXb，则 0EDWORD 格式 整理学习 参考 资料 分享 三、
4、解答题15 （本题满分 10分）求极限 03limxted16 （本题满分 10 分）计算积分 ，其中 是第一象限中以曲线 与 轴为边界的无界324(1)DydxDyx区域17 （本题满分 10分）求 21limlnnkkWORD 格式 整理学习 参考 资料 分享 18 （本题满分 10分）已知方程 在区间 内有实根，确定常数 的取值范围1ln()kx(0,1)kWORD 格式 整理学习 参考 资料 分享 19 （本题满分 10分）设 ， 为幂级数 的和函数0111,()(,23),nnaa (Sx0nax（1）证明 的收敛半径不小于 0nx（2）证明 ，并求出和函数的表达式()()0(1,)
5、SxWORD 格式 整理学习 参考 资料 分享 20 （本题满分 11分）设三阶矩阵 有三个不同的特征值，且123,A312.（1）证明： ；()r（2）若 ，求方程组 的通解123,Ax21 （本题满分 11分）设二次型 在正交变换 下的标准形2212313132(,)8fxxaxxxQy为 ，求 的值及一个正交矩阵 21yaQWORD 格式 整理学习 参考 资料 分享 22 （本题满分 11分）设随机变量 相互独立，且 的概率分布为 ， 的概率密,XYX102PXY度为 201(),yf他（1）求概率 ；PYE（2）求 的概率密度ZXWORD 格式 整理学习 参考 资料 分享 23 （本题
6、满分 11分）某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做了 次测量，该物体的n质量 是已知的，设 次测量结果 相互独立且均服从正态分布 该n12,nX 2(,).N工程师记录的是 次测量的绝对误差 ，利用 估计(1,2)iiZ 12,nZ参数 （1）求 的概率密度；iZ（2）利用一阶矩求 的矩估计量；（3）求参数 最大似然估计量WORD 格式 整理学习 参考 资料 分享 2017年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷数学三试题答案一、选择题:18 小题每小题 4 分，共 32 分1解： ， ，要使函数在00011cos2lim()lilimxxxfaa0li()(0)xfbf处连续，
7、必须满足 所以应该选（A）2b2解： ， ，2(3)3zyxyxy23zxy222,zxyxy解方程组 ，得四个驻点对每个驻点验证 ，发现只有在230zxyy 2ACB点 处满足 ，且 ，所以 为函数的极大值点，所以1(,)230ACB20AC1(,)应该选（D）3解：设 ，则 ，也就是 是单调增加函2()gxf()()gxfx2()fx数也就得到 ，所以应该选（C）2114 解：iv 时n22211siln() ()kkkoonnn显然当且仅当 ，也就是 时，级数的一般项是关于 的二阶无穷小，级(1)01数收敛，从而选择（C） 5解：矩阵 的特征值为 和 个 ，从而Tn0的特征值分别为 ；,
8、2,TTTEE0,1； ； 显然只有 存在零特征值，所以不可逆，应2,1 1 31 TEWORD 格式 整理学习 参考 资料 分享 该选（A） 6解：矩阵 的特征值都是 是否可对解化，只需要关心 的,B123,1 2情况对于矩阵 ， ，秩等于 1 ，也就是矩阵 属于特征值 存在两A021EA2个线性无关的特征向量，也就是可以对角化，也就是 C对于矩阵 ， ，秩等于 2 ，也就是矩阵 属于特征值 只有一B021EA2个线性无关的特征向量，也就是不可以对角化，当然 不相似故选择（B） ,C7解： ()()()()()()()()PABCABPCBPAPCAB CB显然， 与 相互独立的充分必要条件
9、是 ，所以选择（C ） ()()8解：（1）显然 且相互独立，所以2()(0,1)(1),2,i iXNXin服从 分布，也就是（A）结论是正确的；21()nii2n（2） ，所以（C）结论也是正确的；2221 (1)()()(1)nii SXn （3）注意 ，所以（D）结论也是21,()0,(1)NnXNX正确的；（4）对于选项（B）： ，211 1()(,2)(0,)()()nn nX所以（B）结论是错误的，应该选择（B）WORD 格式 整理学习 参考 资料 分享 二、填空题（本题共 6小题，每小题 4分，满分 24分. 把答案填在题中横线上）9解：由对称性知 33220(sin)xdxx
10、d 10解：齐次差分方程 的通解为 ；10tty xyC设 的特解为 ，代入方程，得 ；12ttty2tta12a所以差分方程 的通解为1ttty .tty11解：答案为 ()Qe平均成本 ，则总成本为 ，从而边际成本为)C()()QCe()1(.Qe12解： ，所以 ，由,)(1)()yyydfxdxedxe(,)yfxeC，得 ，所以 (0,)f0C,f13解：对矩阵进行初等变换 ，知矩阵 A 的秩0101012A为 2，由于 为线性无关，所以向量组 的秩为 2123,123,A14解：显然由概率分布的性质，知 ab，解得102EXab,4， 929()DXE三、解答题15 （本题满分 1
11、0分）解：令 ，则 ，xtu,txudt00xxt uedd03330002limlilimli3xtxu xxxe e WORD 格式 整理学习 参考 资料 分享 16 （本题满分 10分）解： 3 324 240240220(1)(1)21418xDxyydxddxx17 （本题满分 10分）解：由定积分的定义 12 01 120limlnlimlnln()()24nnk kxdxd18 （本题满分 10分）解：设 ，则1(),(1)ln)fxx2222ln()()1)l()xfxx令 ，则ng2(0),(1lg2()l)l()2,xx ，所以 在 上单调减少，(1,()x0,由于 ，所以
12、当 时， ，也就是 在 上单调减0)g(0,1)xg()gx(0,1)少，当 时， ，进一步得到当 时， ，也就是(,1xg,1xf在 上单调减少()f， ，也就是得到0001ln(1)limlilimn() 2xx xxf (1)ln2f1ln2k19 （本题满分 10分）WORD 格式 整理学习 参考 资料 分享 解：（1）由条件 1111()()nnnnaaa也就得到 ，也就得到11()nn1,2,n11120 210()1!nnnnaaa也就得到 11(),)!nn 11 1212()()()!nknnn kaaa ，所以收敛半径limli lim2!3!nn e R（2）所以对于幂级
13、数 ， 由和函数的性质，可得 ，所以0nax 1()nSxa111011100(1)()()()nnnnnnnnnSaxaaxxSx也就是有 (1)()0(,)xS解微分方程 ，得 ，由于 ，得x1xCeS0()1SaC所以 ()1xeS20 （本题满分 11分）解：（1）证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以 是非零矩阵，也就A是 ()rA假若 时，则 是矩阵的二重特征值，与条件不符合，所以有 ，又因0r ()2rA为 ，也就是 线性相关， ，也就只有 312123,()3rAWORD 格式 整理学习 参考 资料 分享 （2）因为 ，所以 的基础解系中只有一个线性无关的解向量由于()2rA0
14、x，所以基础解系为 ；312012又由 ，得非齐次方程组 的特解可取为 ；123,Ax1方程组 的通解为 ，其中 为任意常数Ax12xkk21 （本题满分 11分）解：二次型矩阵214Aa因为二次型的标准形为 也就说明矩阵 有零特征值，所以 ，故21yA0A2.a14(3)642EA令 得矩阵的特征值为 0EA13,6,0通过分别解方程组 得矩阵的属于特征值 的特征向量 ，()0iEAx113属于特征值特征值 的特征向量 ， 的特征向量 ，2621033261所以 为所求正交矩阵123162,0116Q22 （本题满分 11分）WORD 格式 整理学习 参考 资料 分享 解：（1） 120()
15、.3YEyfdy所以 304.9P（2） 的分布函数为ZXY() ,0,20,2,12()YFzzPXYzYzXPYzXFz故 的概率密度为ZX1()()2)2,013,ZfzFfz他23 （本题满分 11分）解：（1）先求 的分布函数为iZ() iZi i XzFzPzXzP当 时，显然 ；0()0ZF当 时， ；z21ii i zzzzz所以 的概率密度为 iZ2,0()zZefzF（2）数学期望 ，200()ziEzfded令 ，解得 的矩估计量 1niZ12niZ（3）设 的观测值为 当 时2,n 12,nz 0,2,izWORD 格式 整理学习 参考 资料 分享 似然函数为 ，2112()(,)ninn ziiLfze 取对数得： 21l()ll(lniz令 ，得参数 最大似然估计量为 231ln0nidLz21niz
