1、2005 年重庆市高考数学试卷（理科）一、选择题（共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分）1圆（x+2） 2+y2=5 关于原点（ 0，0）对称的圆的方程为（ ）A （x2） 2+y2=5 Bx 2+（y 2） 2=5 C （x+2） 2+（y+2 ） 2=5 Dx 2+（y+2） 2=52 2005=（ ）Ai B i C2 2005 D2 20053若函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，在（，0上是减函数，且 f（2）=0，则使得 f（x）0 的 x的取值范围是（ ）A （ ，2） B （2，+） C （ ，2）（2， +） D （2，2）4已知 A（3，1） ，B（6，1）
2、，C（4，3） ，D 为线段 BC 的中点，则向量 与 的夹角为（ ）A arccos Barccos Carccos（ ） Darccos（ ）5若 x，y 是正数，则 + 的最小值是（ ）A3 B C4 D6已知 、 均为锐角，若 p：sin sin（ +） ，q： + ，则 p 是 q 的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件7对于不重合的两个平面 与 ，给定下列条件：存在平面 ，使得 ， 都平行于 存在平面 ，使得 ， 都垂直于 ； 内有不共线的三点到 的距离相等；存在异面直线 l，m，使得 l，l，m ，m 其中，可以判定 与 平行的条件有（
3、 ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个8若 n 展开式中含 项的系数与含 项的系数之比为5，则 n 等于（ ）A4 B6 C8 D109若动点（x，y）在曲线 （b0）上变化，则 x2+2y 的最大值为（ ）A B C D2b10如图，在体积为 1 的三棱锥 ABCD 侧棱 AB、AC 、 AD 上分别取点 E、F、G，使AE：EB=AF ： FC=AG：GD=2 ：1，记 O 为三平面 BCG、CDE、DBF 的交点，则三棱锥 OBCD 的体积等于（ ）A B C D二、填空题（共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分）11集合 A=xR|x2x60，B=x R|x2|2，则 AB=
4、 _ 12曲线 y=x3 在点（1，1）处的切线与 x 轴、直线 x=2 所围成的三角形的面积为 _ 13已知 、 均为锐角，且 cos（+）=sin（） ，则 tan = _ 14= _ 15某轻轨列车有 4 节车厢，现有 6 位乘客准备乘坐，设每一位乘客进入每节车厢是等可能的，则这 6位乘客进入各节车厢的人数恰好为 0，1，2，3 的概率为 _ 16连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是 _ （填写所有正确选项的序号） 菱形；有 3 条边相等的四边形 梯形；平行四边形；有一组对角相等的四边形。三、解答题（共 6 小题，1720 题每题 13 分，21、22 题每题 12 分，满分 76 分
5、）17若函数 f（x）= asin cos（ ）的最大值为 2，试确定常数 a 的值18在一次购物抽奖活动中，假设某 10 张券中有一等奖券 1 张，可获价值 50 元的奖品；有二等奖券 3张，每张可获价值 10 元的奖品；其余 6 张没有奖，某顾客从此 10 张券中任抽 2 张，求：（）该顾客中奖的概率；（）该顾客获得的奖品总价值 （元）的概率分布列和期望 E19已知 aR，讨论函数 f（x）=e x（x 2+ax+a+1）的极值点的个数20如图，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，AB 侧面 BB1C1C，E 为棱 CC1 上异于 C、C 1 的一点，EA EB1，已知 AB= ， BB1=
6、2，BC=1 ，BCC 1= ，求：（）异面直线 AB 与 EB1 的距离；（）二面角 AEB1A1 的平面角的正切值21已知椭圆 C1 的方程为 +y2=1，双曲线 C2 的左、右焦点分别为 C1 的左、右顶点，而 C2 的左、右顶点分别是 C1 的左、右焦点（）求双曲线 C2 的方程；（）若直线 l：y=kx+ 与椭圆 C1 及双曲线 C2 都恒有两个不同的交点，且 l 与 C2 的两个交点 A 和 B满足 6 （其中 O 为原点） ，求 k 的取值范围22数列a n满足 a1=1 且 an+1=（1+ ）a n+ （n1） （）用数学归纳法证明：a n2（n 2） ；（）已知不等式 ln
7、（1+x ） x 对 x0 成立，证明：a ne 2（n1） ，其中无理数 e=2.718282005 年重庆市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分）1 （2005重庆）圆（ x+2） 2+y2=5 关于原点（0，0）对称的圆的方程为（ ）A （x2） 2+y2=5 Bx 2+（y 2） 2=5 C （x+2） 2+（y+2 ） 2=5 Dx 2+（y+2） 2=5考点：关于点、直线对称的圆的方程。分析：求出对称圆的圆心坐标即可求得结果解答：解：圆（x+2） 2+y2=5 的圆心（ 2，0） ，关于（0， 0）对称的圆心坐标（2，0）
8、所求圆的方程是（x2） 2+y2=5故选 A点评：本题考查圆和圆的位置关系，对称问题，是基础题2 （2005重庆） 2005=（ ）Ai B i C2 2005 D2 2005考点：复数代数形式的乘除运算。专题：计算题。分析：先化简 ，再利用 i4=1 这个条件，化简要求的式子解答：解： ，又 i4=1， 2005 =i，故选 A点评：本题考查两个复数代数形式的乘除运算方法以及 i 的幂运算性质3 （2005重庆）若函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，在（，0上是减函数，且 f（2）=0，则使得f（x）0 的 x 的取值范围是（ ）A （ ，2） B （2，+） C （ ，2）（2， +）
9、 D （2，2）考点：偶函数。分析：偶函数图象关于 y 轴对称，所以只需求出，0内的范围，再根据对称性写出解集解答：解：当 x，0时 f（ x）0 则 x（ 2，0 又 偶函数关于 y 轴对称f（ x）0 的解集为（2，2） ，故选 D点评：本题考查了偶函数的图象特征在解决函数性质问题时要善于使用数形结合的思想4 （2005重庆）已知 A（3，1） ，B（6，1） ，C （4，3） ，D 为线段 BC 的中点，则向量 与 的夹角为（ ）A arccos Barccos Carccos（ ） Darccos（ ）考点：反三角函数的运用；数量积表示两个向量的夹角。专题：计算题。分析：先求 ，然后求
10、出 cos 的值，即可取得结果解答：解： =（1，2） D 为线段 BC 的中点D（5，2） =（2， 1） =4cos=arccos（ ）故选 C点评：本题考查反函数的运用，数量积求向量的夹角，考查学生发现问题解决问题的能力，是中档题5 （2005重庆）若 x，y 是正数，则 + 的最小值是（ ）A3 B C4 D考点：基本不等式在最值问题中的应用。专题：计算题。分析：连续用基本不等式求最小值，由题设知 + 2（x+ ）（y+ ）整理得知 + 2（xy+ +1） ，其中等号成立的条件是 x=y，又 xy+ 2 =1等号成立的条件是 xy= 与 x=y 联立得两次运用基本不等式等号成立的条件是
11、 x=y= ，计算出最值是4解答：解：x，y 是正数， + 2（xy+ +1） ，等号成立的条件是 x+ =y+ ，解得 x=y，又 xy+ 2 =1等号成立的条件是 xy= 由联立解得 x=y= ，即当 x=y= 时 + 的最小值是 4故应选 C点评：本题考查基本不等式，解题过程中两次运用基本不等式，注意验证两次运用基本不等式时等号成立的条件是否相同，若相同时，代数式才能取到计算出的最小值，否则最小值取不到本题是一道易错题6 （2005重庆）已知 、 均为锐角，若 p：sin sin（+） ，q： + ，则 p 是 q 的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也
12、不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；正弦函数的单调性。分析：由 、 均为锐角，我们可以判断 sinsin（ +）时， + 是否成立，然后再判断 +时，sinsin（+ ）是否成立，然后根据充要条件的定义进行判断解答：解：当 sinsin（+）时，+ 不一定成立故 sinsin （ +） + ，为假命题；而若 + ，则由正弦函数在（ 0， ）单调递增，易得 sinsin（+）成立即 + sinsin（+）为真命题故 p 是 q 的必要而不充分条件故选 B点评：本题考查的知识点是充要条件的定义，即若 pq 为假命题且 qp 为真命题，则命题 p 是命题 q 的必要不充分条件7 （2
13、005重庆）对于不重合的两个平面 与 ，给定下列条件：存在平面 ，使得 ， 都平行于 存在平面 ，使得 ， 都垂直于 ； 内有不共线的三点到 的距离相等；存在异面直线 l，m，使得 l，l，m ，m 其中，可以判定 与 平行的条件有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个考点：平面与平面平行的性质；平面与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定。专题：综合题。分析：直线与平面的位置关系，平面与平面的位置关系，对选项进行逐一判断，确定正确选项即可解答：解：不能判定 与 平行如正方体相交于同一个顶点的三个面；存在平面 ，使得 ， 都垂直于 ；可以判定 与 平行，如正方体的底面与相对的侧面不能判定
14、与 平行如 面内不共线的三点不在 面的同一侧时，此时 与 相交；可以判定 与 平行可在 面内作 ll，m m，则 l与 m必相交又 l， m，l，m，故选 B点评：本题考查平面与平面平行的判定与性质，平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是基础题8 （2005重庆）若 n 展开式中含 项的系数与含 项的系数之比为5，则 n 等于（ ）A4 B6 C8 D10考点：二项式定理。分析：利用二项展开式的通项公式求出第 r+1 项，令 x 的指数分别为2， 4 求出展开式含 项的系数和含 项的系数，列出方程求出 n解答：解： 展开式的通项为=（1） r2nrCnrxn2r令 n2r=2
15、 得 r=故含 的系数为令 n2r=4 得 r=故含 项的系数为解得 n=6故选 B点评：本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具9 （2005重庆）若动点（ x，y）在曲线 （b0）上变化，则 x2+2y 的最大值为（ ）A B C D2b考点：椭圆的参数方程；函数的最值及其几何意义。分析：本题可以直接借助于椭圆方程把 x2 用 y 表示，从而得到一个关于 y 的二次函数，再配方求最值；这里用椭圆的参数方程求解解答：解：记 x=2cos，y=bsin，x 2+2y=4cos2+2bsin=f（） ，f（）=4sin 2+2bsin+4=4（sin ） 2+ +4，sin
16、 1， 1若 0 10b 4，则当 sin= 时 f（ ）取得最大值 +4；若 1b4，则当 sin=1 时 f（ ）取得最大值 2b，故选 A点评：本题考查的是椭圆的性质及椭圆的参数方程，可以从不同角度寻求方法求解，本题用了椭圆的参数方程结合三角函数的最值进行求解10 （2005重庆）如图，在体积为 1 的三棱锥 ABCD 侧棱 AB、AC、AD 上分别取点 E、F、G ，使AE：EB=AF ： FC=AG：GD=2 ：1，记 O 为三平面 BCG、CDE、DBF 的交点，则三棱锥 OBCD 的体积等于（ ）A B C D考点：棱柱、棱锥、棱台的体积。专题：计算题。分析：画出图形，三棱锥 O
17、BCD 的体积，转化为线段的长度比，充分利用直线的平行进行推到，求出比例即可解答：解：AA为正三棱锥 ABCD 的高；OO为正三棱锥 OBCD 的高因为底面BCD 相同，则它们的体积比为高之比已知三棱锥 ABCD 的体积为 1所以，三棱锥 OBCD 的体积为： （1）由前面知，FGCD 且 =所以由平行得到， = = 所以， 面 BCG 所在的平面图如左上角简图同理，则，所以，PNBC那么， 亦即， 设 GQ=x那么，GT= x则，QT=GQGT=x 而， 所以：则，TO= QT= x=所以：GO=GT+TO= 所以，OQ=GQGO=x 又，所以， （2）且，所以： （3）由（2）*（3）得到
18、： 代入到（1）得到：三棱锥 OBCD 的体积就是点评：本题考查学生对三棱锥的认识，以及必要的辅助线的作法，是难题二、填空题（共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分）11 （2005重庆）集合 A=xR|x2x60 ，B=x R|x2|2 ，则 AB= x|0 x3 考点：一元二次不等式的解法；交集及其运算；绝对值不等式的解法。专题：计算题；综合题。分析：先求集合 A，再求集合 B，然后求其交集即可解答：解：集合 A=xR|x2x60，可得 A=x|2x 3B=xR|x2|2，可得 B=x|0x4所以 AB=x|2x3 x|0x4=x|0x3故答案为：x|0x3点评：本题考查一元二次不等
19、式的解法，绝对值不等式的解法，交集的运算，是基础题12 （2005重庆）曲线 y=x3 在点（1，1）处的切线与 x 轴、直线 x=2 所围成的三角形的面积为 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程。专题：计算题。分析：欲求所围成的三角形的面积，先求出在点（1，1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故要利用导数求出在 x=1 处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而问题解决解答：解：y=x 3，y=3x2，当 x=1 时，y=3 得切线的斜率为 3，所以 k=3；所以曲线在点（1，1）处的切线方程为：y1=3（x1） ，即 3xy2=0令 y=o 得：x= ，切线与 x 轴、
20、直线 x=2 所围成的三角形的面积为：S= （ 2 ）4=故答案为： 点评：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力属于基础题13 （2005重庆）已知 、 均为锐角，且 cos（+）=sin（） ，则 tan = 1 考点：两角和与差的正弦函数；弦切互化。专题：计算题。分析：把 cos（+）=sin （）利用两角和公式展开，可求得（sincos） （cos +sin）=0，进而求得sincos=0，则 tan 的值可得解答：解：cos（+ ）=sin（） ，coscossinsin=sincoscossin，即 cos（sin co
21、s）+sin （ sincos）=0，（ sincos） （cos +sin）=0，、 均为锐角，cos+sin0，sincos=0，tan=1故答案为：1点评：本题主要考查了两角和与差的正弦函数和余弦函数三角函数中的基本公式较多，平时应注意多积累14 （2005重庆） = 3 考点：极限及其运算。专题：计算题。分析：把 的化简得 分子分母同时除以 9n 得 ，因为当 n 趋于无穷时趋于 0，所以得到极限的值即可解答：解： = = = =3故答案为3点评：考查学生变换代数式求出极限的能力，以及运用极限的能力15 （2005重庆）某轻轨列车有 4 节车厢，现有 6 位乘客准备乘坐，设每一位乘客进
22、入每节车厢是等可能的，则这 6 位乘客进入各节车厢的人数恰好为 0，1，2，3 的概率为 考点：等可能事件的概率。专题：计算题。分析：本题是一个等可能事件的概率问题，根据分步计数原理得到试验发生包含的所有事件数，满足条件的事件数，根据等可能事件的概率公式得到结果解答：解：6 位乘客进入 4 节车厢的方案共有 46 种.6 位乘客按各节车厢人数恰好为 0，1，2，3 进入共有A44C60C61C52C33=1440 种方法这 6 位乘客进入各节车厢的人数恰好为 0，1，2，3 的概率为 = 故答案为： 点评：古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题可以列举出所有事件，概率问题同其他的
23、知识点结合在一起，实际上是以概率问题为载体16 （2005重庆）连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是 （填写所有正确选项的序号）菱形有 3 条边相等的四边形 梯形平行四边形有一组对角相等的四边形考点：抛物线的应用。专题：综合题。分析：菱形是 4 边相等，而且它的对角线垂直，但是抛物线只有一个顶点，可判断出不正确；三边相等，其中一点必定是抛物线的顶点，判断出正确；梯形是只有上底和下底平行，作两条垂直与抛物线的对称轴的交抛物线，判断出正确；以一个点为顶点做两条射线交抛物线，剩下的两个角有一个角的取值范围是 0180，判断出个也成立，连接抛物线上的四点，只有竖着的两直线有可能平行，而横着的两条直线
24、不可能平行，判断出不成立；解答：解：菱形是 4 边相等，而且它的对角线垂直，但是抛物线只有一个顶点，所以无法做到在抛物线上面的两条直线垂直且两两相等，最多就是三边相等，其中一点必定是抛物线的顶点，然后向两边去等长，然后在在一边去等长最后连上就行不正确，正确梯形是只有上底和下底平行，作两条垂直与抛物线的对称轴的交抛物线，然后把四点依次连接就行，故正确以一个点为顶点做两条射线交抛物线，剩下的两个角有一个角的取值范围是 0180，个也成立连接抛物线上的四点，只有竖着的两直线有可能平行，而横着的两条直线不可能平行，故 不成立故答案为点评：本题主要考查了抛物线的应用解题的关键是熟练掌握平行四边形、梯形、
25、菱形、抛物线的图形特征三、解答题（共 6 小题，1720 题每题 13 分，21、22 题每题 12 分，满分 76 分）17 （2005重庆）若函数 f（x）= asin cos（ ）的最大值为 2，试确定常数 a 的值考点：二倍角的余弦；运用诱导公式化简求值；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦。专题：计算题。分析：根据二倍角的正弦、余弦形式，可将 f（x）化简为 cosx+ sinx，再由和角公式的正弦化简可得，f（x）= sin（x+ ） ，其最大值为 ，由题意代入数据可得， + =4，解可得 a 的值解答：解：f（x）= +asin cos= cosx+ sinx= sin（x+） ，
26、其中角满足 sin= ，其最大值为 ，由已知有 + =4解之得 a= 点评：本题考查三角函数式的化简，该部分公式较多且比较类似，应注意公式形式的正确记忆及使用18 （2005重庆）在一次购物抽奖活动中，假设某 10 张券中有一等奖券 1 张，可获价值 50 元的奖品；有二等奖券 3 张，每张可获价值 10 元的奖品；其余 6 张没有奖，某顾客从此 10 张券中任抽 2 张，求：（）该顾客中奖的概率；（）该顾客获得的奖品总价值 （元）的概率分布列和期望 E考点：离散型随机变量及其分布列；等可能事件的概率；离散型随机变量的期望与方差。专题：计算题。分析：（1）先求中奖的对立事件“没中奖”的概率，求
27、“ 没中奖” 的概率是古典概型（2） 的所有可能值为：0，10，20，50，60，用古典概型分别求概率，列出分布列，再求期望即可解答：解：解法一：（）P=1 =1 = ，即该顾客中奖的概率为 （） 的所有可能值为：0，10，20，50，60（元） 且 P（ =0）= = ，P（ =10）= = ，P（=20）= = ，P（ =50）= = ，P（=60）= =故 有分布列：从而期望 E=0 +10 +20 +50 +60 =16解法二：（）P= = = ，（） 的分布列求法同解法一由于 10 张券总价值为 80 元，即每张的平均奖品价值为 8 元，从而抽 2 张的平均奖品价值 E=28=16（
28、元）点评：本题考查古典概型、排列组合、离散型随机变量的分布列和期望，及利用概率知识解决问题的能力19 （2005重庆）已知 aR，讨论函数 f（x）=e x（x 2+ax+a+1）的极值点的个数考点：利用导数研究函数的极值。专题：分类讨论。分析：先求出 f（x）=0 时得到方程讨论的取值决定方程解得个数从而得到函数极值的个数解答：解：f （ x）=e x（x 2+ax+a+1）+e x（2x+a）=exx2+（a+2）x+（2a+1），令 f（x）=0 得 x2+（a+2）x+（2a+1）=0（1）当=（a+2） 24（2a+1 ）=a 24a=a（a 4）0即 a0 或 a4 时，方程 x2
29、+（a+2）x+（2a+1）=0 有两个不同的实根 x1，x 2，不妨设 x1x 2，于是 f（x）=e x（xx 1） （xx 2） ，从而有下表：即此时 f（x）有两个极值点（2）当=0 即 a=0 或 a=4 时，方程 x2+（a+2）x+（2a+1 ）=0 有两个相同的实根 x1=x2于是 f（x）=e x（xx 1） 2 故当 xx 1 时，f（x）0；当 xx 2 时，f（x）0，因此 f（x）无极值（3）当0，即 0a 4 时，x 2+（a+2）x+ （2a+1）0，f（x）=e xx2+（a+2）x+（2a+1）0，故f（x）为增函数，此时 f（x）无极值因此当 a4 或 a0
30、 时，f（x）有 2 个极值点，当 0a4 时，f（x）无极值点综上所述：当 a0 或 a4 时，f（x）有两个极值点点评：考查学生利用导数研究函数极值的能力，利用导数研究函数单调性的能力20 （2005重庆）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，AB 侧面 BB1C1C，E 为棱 CC1 上异于 C、C 1 的一点，EAEB1，已知 AB= ，BB 1=2，BC=1，BCC 1= ，求：（）异面直线 AB 与 EB1 的距离；（）二面角 AEB1A1 的平面角的正切值考点：点、线、面间的距离计算；与二面角有关的立体几何综合题。专题：计算题。分析：（1）先证明 BE 是异面直线 AB 与 E
31、B1 的公垂线，再利用平面几何知识结合方程思想及解三角形的方法求出 BE 的长即可；（2）过 E 作 EGB1A1 再证明 AEG 是二面角 AEB1A1 的平面角，利用平行证得 AEG=BAE，只要求出 tanBAE 即得解答：解：（）因 AB面 BB1C1C，故 ABBE又 EB1EA，且 EA 在面 BCC1B1 内的射影为 EB由三垂线定理的逆定理知 EB1BE，因此 BE 是异面直线 AB 与 EB1 的公垂线，在平行四边形 BCC1B1 中，设 EB=x，则 EB1= ，作 BDCC1，交 CC1 于 D，则 BD=BCsin = 在BEB 1 中，由面积关系得 x = 2 ，即（
32、x 21） （x 23）=0解得 x=1，x= （负根舍去）当 x= 时，在BCE 中，CE 2+122CEcos =3，解之得 CE=2，故此时 E 与 C1 重合，由题意舍去 x= 因此 x=1，即异面直线 AB 与 EB1 的距离为 1（）过 E 作 EGB1A1，则 GE面 BCC1B，故 GEEB1 且 GE 在圆 A1B1E 内，又已知 AEEB1故AEG 是二面角 AEB1A1 的平面角因 EGB1A1BA， AEG=BAE，故 tanAEG= = = 点评：本题主要考查了二面角及其度量，以及点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题21 （20
33、05重庆）已知椭圆 C1 的方程为 +y2=1，双曲线 C2 的左、右焦点分别为 C1 的左、右顶点，而C2 的左、右顶点分别是 C1 的左、右焦点（）求双曲线 C2 的方程；（）若直线 l：y=kx+ 与椭圆 C1 及双曲线 C2 都恒有两个不同的交点，且 l 与 C2 的两个交点 A 和 B满足 6 （其中 O 为原点） ，求 k 的取值范围考点：直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的标准方程。专题：计算题。分析：（）设出双曲线的标准方程，然后结合椭圆的顶点与焦点易得双曲线的焦点与顶点，即求得双曲线的 c 与 a，再由 a2+b2=c2 求得 b2，则双曲线方程解决；（）把直线方程分别与椭圆方
34、程、双曲线方程联立，不妨消 y 得 x 的方程，则它们均为一元二次方程且判别式大于零，由此得出 k 的取值范围；再结合一元二次方程根与系数的关系用 k 的代数式表示出xA+xB，x AxB，进而把 转化为 k 的不等式，求出 k 的又一取值范围，最后求 k 的交集即可解答：解：（）设双曲线 C2 的方程为 =1，则 a2=41=3，再由 a2+b2=c2 得 b2=1故 C2 的方程为 y2=1（II）将 y=kx+ 代入 +y2=1 得（1+4k 2）x 2+8 kx+4=0由直线 l 与椭圆 C1 恒有两个不同的交点得1= 16（1+4k 2）=16（4k 21）0，即 k2 将 y=kx
35、+ 代入 y2=1 得（1 3k2）x 26 kx9=0由直线 l 与双曲线 C2 恒有两个不同的交点 A，B 得即 k2 且 k2 1设 A（x A，y A）B（x B，y B） ，则 xA+xB= ，x AxB= 由 6 得 xAxB+yAyB6，而 xAxB+yAyB=xAxB+（kx A+ ） （kx B+ ）=（k 2+1）x AxB+ （x A+xB）+2=（k 2+1） + k +2= 于是 6，即 0解此不等式得 k2 或 k2 由、得 k 2或 k 21故 k 的取值范围为（1， ） （ ， ） （ ， ）（ ，1） 点评：本题考查双曲线的标准方程以及直线和圆锥曲线的位置关系
36、，综合性强，字母运算能力是一大考验22 （2005重庆）数列 an满足 a1=1 且 an+1=（1+ ） an+ （n1） （）用数学归纳法证明：a n2（n 2） ；（）已知不等式 ln（1+x ） x 对 x0 成立，证明：a ne 2（n1） ，其中无理数 e=2.71828考点：用数学归纳法证明不等式。专题：证明题。分析：（）欲用数学归纳法证明，分两个步骤：当 n=2 时和假设当 n=k（k2）时不等式成立，接下来证明当 n=k+1 时不等式成立即可；（）由递推公式及（）的结论有 an+1=（1+ ）a n+ （1+ + ）a n（n1） ，再结合对数函数的单调性，得到 lnan+1
37、lnan + （n 1） 最后对此式从 1 到 n1 求和后放缩可得结论解答：（）证明：当 n=2 时， a2=22，不等式成立假设当 n=k（k 2）时不等式成立，即 ak2（k2） ，那么 ak+1=（1+ ） ak+ 2这就是说，当 n=k+1 时不等式成立根据（1） 、 （2）可知：a k2 对所有 n2 成立（）由递推公式及（）的结论有 an+1=（1+ ）a n+ （1+ + ）a n（n1）两边取对数并利用已知不等式得 lnan+1ln（1+ + ）+lna nlnan+ +故 lnan+1lnan + （n 1） 上式从 1 到 n1 求和可得 lnanlna1 + + + + +=1 +（ ） + + =1 +1 2即 lnan2，故 ane 2（n1） 点评：本题主要考查了用数学归纳法证明不等式，以及用放缩法法证明不等式，属于基础题数学归纳法是重要的数学思想方法，是证明与正整数有关的命题的一种有效方法特别是“试验猜想证明”的解题途径又是进行研究性学习的最好方法之一参与本试卷答题和审题的老师有：qiss；wdnah；sllwyn；涨停；yhx01248；zhwsd；wdlxh；杨南；wzj123；danbo7801；geyanli；xintrl；caoqz ；Linaliu。 （排名不分先后）菁优网2012 年 6 月 2 日
