1、12019 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题23452018 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1 若 ,则（ ）1)(lim20xxbaeA B ,2 1,2baC D 2 下列函数中不可导的是（ ）B.)sin()(xf )sin()(xxfC. D.co co3 设函数 若 在 R 上连续，则（ 01,2)(0,1)( xbaxgxf )(xgf）A B ,ba 2,3aC D 13b4 设函数 在 上二阶可导，且 则 （ ）)(xf,00)(10dxfA 当 时， B
2、 当 时，)2(f f0)21(fC 当 D 当1)(）（时 ，f )(x时 ，5 则 M,N,K 大小关系为（ ）dKdxeNdxM 2222 cos1, A. B.KNMC. D.6 （ ）102201 )()( dyxdyxdxA B C D356376767 下列矩阵中，与矩阵 相似的为（）10B.101D.C08 设 A,B 为 n 阶矩阵，记 为矩阵 的秩， 表示分块矩阵，则（ ）)(xr)(YXA. B.)(ArBrArBrC. D.max) )()(T填空题：914 题，每小题 4 分，共 24 分.请将答案写在答题纸指定位置上。9 arctn)1arctn(li2xxx10
3、曲线 在其拐点处的切线方程是yl11 dx523412 曲线 对应点处的曲率为4tsinco在y13 设函数 由方程 确定，则 ),(xzxyez1l )21,(|xz14 设 A 为 3 阶矩阵， 为线性无关的向量组，若321,，则 A 的实特征值为 323321 ,A三、解答题：1523 小题，共 94 分。请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15（本题满分 10 分）求不定积分 dxex1arctn216（本题满分 10 分）已知连续函数 满足)(xf2010)()(axdttftfx7求 )(xf若 在区间0,1上的平均值为 1，求 的值a17（本小题
4、 10 分）设平面区域 D 由曲线 与 轴围成，计算二重积分)20(cosintytxxdyx)2(18（本小题 10 分）已知常数 证明：1lnk 0)1ln2l)(xkx19（本题满分 10 分）将长为 2m 的铁丝分成三段，依次围成圆，三角形与正方形，这三段分别为多长时所得面积之和最小，并求该最小值20（本小题 10 分）已知曲线 设 P 是 L 上的动点，S 是直线 OA）（） ， 点（点 1,0,0),(94:2 AOxyL与直线 AP 与曲线 L 所围图形的面积 ，若 P 运动到点（3,4）时沿 轴正向的速度是 4，求x此时 S 关于时间 t 的变化率。21（本小题 11 分）设数
5、列 满足： 证明 收敛，并求nx )2,1(,011 nexnxnxnxlim22（本小题 11 分）设实二次型 ，其中 为参数。2312323132,1 )()()()( af 求 的解0)32,1xf求 的规范形(,23（本小题 11 分）已知 是常数，且矩阵 可经初等列变换化为矩阵aaA72031 aB72031求求满足 的可逆矩阵BAPp82017 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.（1）若函数 在 x=0 连续，则1cos,0()xfxab(A) (B) (C) (D)2
6、ab22ab（2）设二阶可到函数 满足 且 ，则()fx(1),(0)1ff()0fx(A) 1()0fxd(B) 2(C) 0110()()fxfx(D) d（3）设数列 收敛，则nx(A)当 时， lims0nli0nx(B)当 时，则()nxlimn(C)当 , 2linnli(D)当 时，(si)0x0nx（4）微分方程 的特解可设为 248(1cos)yeky(A) 2(cosi)xAeBxC(B) 2n(C) 2(csi)xex(D) oxABC（5）设 具有一阶偏导数，且在任意的 ，都有 则()f (,)xy(,)(,)0fxyfxy9(A) (0,)(1,ff(B) (C)(D
7、) (,)(,)ff（6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10（单位:m ）处,图中，实线表示甲的速度曲线 （单位:m/s）虚线表示乙的速度曲线 ，三块阴影部分面积的数值依1vt 2vt次为 10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为 （单位:s ）,则0t(A) (B) (C) (D)0t052t025t50512053()ts(/)vms（7）设 为三阶矩阵， 为可逆矩阵，使得 ，A123(,)P102PA则 123(,)(A) (B) 23(C)(D) 12（8）已知矩阵 ， ， ，则01A210B102C(A) A 与 C 相似，B 与 C 相似 (B) A 与 C 相似，B
8、与 C 不相似 (C) A 与 C 不相似，B 与 C 相似 (D) A 与 C 不相似，B 与 C 不相似 二、填空题：914 题，每小题 4 分，共 24 分.10（9）曲线 的斜渐近线方程为 21arcsinyxx（10）设函数 由参数方程 确定，则 ()sintey20tdyx（11） = 20ln1xd（12）设函数 具有一阶连续偏导数，且,fy，则 = ,1,0ydfxedxedf,fxy（13） 10tany（14）设矩阵 的一个特征向量为 ，则 4231A12a三、解答题：1523 小题，共 94 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .（15） （本题满分 10 分）求
9、 03limxted（16） （本题满分 10 分）设函数 具有 2 阶连续性偏导数， ,求 ,fuvy,xfecos0dyx2x（17） （本题满分 10 分）求 21limlnnkk（18） （本题满分 10 分）已知函数 由方程 确定，求 的极值() 3+33+32=0 ()（19） （本题满分 10 分）在 上具有 2 阶导数， ，证明fx0,10(1),limxff（1）方程 在区间 至少存在一个根()f0,（2）方程 在区间 内至少存在两个不同的实根2()xf(,1)（20） （本题满分 11 分）11已知平面区域 ，计算二重积分2,Dxyy21Dxdy（21） （本题满分 11
10、分）设 是区间 内的可导函数，且 ，点 是曲线 上的任意()yx3(0,)2(1)0P:()Ly一点， 在点 处的切线与 轴相交于点 ，法线与 轴相交于点 ，若LPy,Yx,0PXpXY，求 上点的坐标 满足的方程。(,)xy（22） （本题满分 11 分）三阶行列式 有 3 个不同的特征值，且 12(,)A312（1）证明 )r（2）如果 求方程组 的通解123Axb（23） （本题满分 11 分） 设 在正交变换 下的标准1322123132(,)8fxxaxxxQy型为 求 的值及一个正交矩阵 .yQ2016 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、 选择：18 小题，每小题 4 分，
11、共 32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的.12（1） 设 ， ， .当 时，1(cos1)ax32ln(1)ax31ax0以上 3 个无穷小量按照从低阶到高阶拓排序是（A） . （B ） .12, 231,（C） . （D ） .3a a（2）已知函数 则 的一个原函数是(1),)lnxf()fx（A） （B）2(,.)l1)Fxx21),.()lnxF（C） （D）2(,.()ln) 2(),1.()lxx（3）反常积分 ， 的敛散性为102xed 1+20xed（A） 收敛， 收敛.（B） 收敛， 发散. （C） 收敛， 收敛.（D） 收敛， 发散. （4）设函数
12、在 内连续，求导函数的图形如图所示，则()fx,)（A）函数 有 2 个极值点，曲线 有 2 个拐点.()yfx（B）函数 有 2 个极值点，曲线 有 3 个拐点.()fx（C）函数 有 3 个极值点，曲线 有 1 个拐点.()yfx（D）函数 有 3 个极值点，曲线 有 2 个拐点.()fx（5）设函数 具有二阶连续导数，且 ，若两条曲线1,2)i0(),2)ifxi在点 处具有公切线 ，且在该点处曲线 的曲(),iyfx0(xyyg1()yfx率大于曲线 的曲率，则在 的某个领域内，有2)f0（A） 1()(fxgx（B） 21)f13（C） 12()()fxgfx（D） 21（6）已知函
13、数 ，则(,)xefy（A） 0xyf（B） （C） xyff（D） （7）设 ， 是可逆矩阵，且 与 相似，则下列结论错误的是ABAB（A） 与 相似T（B） 与 相似1（C） 与 相似T（D） 与 相似1（8）设二次型 的正、负惯性指数分2223131231(,)()fxaxxx别为 1,2，则（A） 1a（B） （C） 2（D） 与二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分。（9）曲线 的斜渐近线方程为_.322arctn(1)1xyx（10）极限 _.2lim(siisin)n（11）以 和 为特解的一阶非齐次线性微分方程为_.2xye2y（12）已知函数 在 上连续，且
14、，则当()f,)20()1()dxfxft时， _.2n)0n（13）已知动点 在曲线 上运动，记坐标原点与点 间的距离为 .若点 的横坐P3yxPlP14标时间的变化率为常数 ，则当点 运动到点 时， 对时间的变化率是0vP(1,)l_.（14）设矩阵 与 等价，则1a10_.a解答题：1523 小题，共 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15） （本题满分 10 分）（16） （本题满分 10 分）设函数 ，求 并求 的最小值.120()(0)fxtdtx()fx()f（17） （本题满分 10 分）已知函数 由方程 确定，求(,)zy2()ln2(1)0yzy(,)zx
15、y的极值.（18） （本题满分 10 分）设 是由直线 ， ， 围成的有界区域，计算二重积分D1yxy22.xd（19） （本题满分 10 分）已知 ， 是二阶微分方程 的解，若1()xye2()xyue(21)()20nxyy， ，求 ，并写出该微分方程的通解。u01()（20） （本题满分 11 分）设 是由曲线 与 围成的平面区域，求 绕D21(01)yx3cos02inxty D轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积。x（21） （本题满分 11 分）已知 在 上连续，在 内是函数 的一个原函数 。()f30,23(0,)2cos3x(0)f（）求 在区间 上的平均值；x,（）证明 在区间
16、 内存在唯一零点。()f()（22） （本题满分 11 分）15设矩阵 ， ，且方程组 无解。10aAa012Ax（）求 的值；（）求方程组 的通解。TxA（23） （本题满分 11 分）已知矩阵0123（）求 9A（）设 3 阶矩阵 满足 。记 ，将 分123(,)B2BA1023(,)123,别表示为 的线性组合。123,2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:18 小题，每小题 4 分，共 32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)下列反常积分中收敛的是（）16（A） （B ） (C) (D)21dx
17、2lnxd21lndx2xe(2)函数 在 内（）0si()lim)xttf(,)（A）连续 （B）有可去间断点 （C）有跳跃间断点 (D)有无穷间断点(3)设函数 ，若 在 处连续，则（）1cos,0()xf(,)()fx0（A） (B) (C) (D)0202(4) 设函数 在 连续，其二阶导函数 的图形如右图所示，则曲线()fx,)()fx的拐点个数为（）()yfx（A）0 (B)1 (C)2 (D)3(5).设函数 满足 ，则 与 依次是（）(uv)f， 2(,)yfx1uvf1uvf（A） ,0 (B)0， （C）- ,0 (D)0 ,-1212(6). 设 D 是第一象限中曲线 与
18、直线 围成的平面区域，函数1,4xy,3yx在 D 上连续，则 =（）(,)fxy()Dfd（A） （B ）12sin42(cos,in)dfrr 1sin224(cos,in)dfrdr（C） （D ）13sin24(cs,i)frr 1sin234(,i)f(7)设矩阵 A= ，b= ,若集合 = ，则线性方程组 有无穷多21a21d1,Axb个解的充分必要条件为（）（A） (B) (C) (D) ,ad,ad,ad(8)设二次型 在正交变换 下的标准形为 其中 ，123(,)fxxPy2213,y123P=(e,)若 ，则 在正交变换 下的标准形为（ ）3,Qe123(,)f17(A):
19、 (B) (C) (D) 2213y2213y2213y2213y二、填空题：914 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸指定位置上.(9) 设231arctntxdyxy则（10）函数 在 处的 n 阶导数2()f0()0nf（11）设函数 连续， 若 ， ，则x20(),xftd1()5(1)f（12）设函数 是微分方程 的解，且在 处 取值 3，则)yy0xy=()yx（13）若函数 由方程 确定，则 = (,)zx231xyze(0,)dz（14）设 3 阶矩阵 A 的特征值为 2，-2,1 ， ，其中 E 为 3 阶单位矩阵，则2BA行列式 =B三、解答题：1523
20、 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15、 （本题满分 10 分）设函数 ， ，若 与 在 是等价()ln(1)sinfxxb2()gxk()fxg0x无穷小，求 的值。,abk16、 （本题满分 10 分）设 ，D 是由曲线段 及直线 所形成的平面区域， 0Asin(0)2yAx,2yox， 分别表示 D 绕 X 轴与绕 Y 轴旋转所成旋转体的体积，若 ，求 A 的值。1V2 1V17、 （本题满分 10 分）已知函数 满足 ， ， 求(,)fxy(,)2(1)xxyfe(,0)xfe(0,)2,fy的极值。,f18、 （本题满分 10
21、 分）计算二重积分 ，其中 。()Dxyd22(,),Dxyyx19、 （本题满分 10 分）18已知函数 ，求 零点的个数。211()xxftdt()fx20、 （本题满分 11 分）已知高温物体置于低温介质中，任一时刻物体温度对时间的关系的变化与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始温度为 120 的物体在 20 恒温介质中冷却，30min 后该0C0物体温度降至 30 ，若要使物体的温度继续降至 21 ，还需冷却多长时间？0C21、 （本题满分 11 分）已知函数 在区间 上具有 2 阶导数， 设 曲线()fx,a()0,(),fafx,ba在点 处的切线与 X 轴的交点是 ，证明：
22、。y,b 022、 （本题满分 11 分）设矩阵 ,且 ， （1）求 a 的值；（2）若矩阵 X 满足10aA3A其中 为 3 阶单位矩阵，求 X。22,XXZ23、 （本题满分 11 分）设矩阵 ，相似于矩阵 ，0231Aa1203Bb（1）求 a,b 的值（2）求可逆矩阵 P，使 为对角矩阵。1A2014 年考研数学二真题一、选择题 18 小题每小题 4 分，共 32 分当 时，若 ， 均是比 高阶的无穷小，则 的可能0x)(lnx21)cos(x取值范围是（ ）（A） （B ） （C） （D）),(2,1,2),(2102下列曲线有渐近线的是（A） （B） （C） （D）xysinxys
23、inxysin19xy12sin3设函数 具有二阶导数， ，则在 上（ ）)(f xffxg)()(10,0（A ）当 时， （B）当 时，0x)f )(xgf（C）当 时， （D）当 时，)(f()(f4曲线 上对应于 的点处的曲率半径是（ ）1472ty,1t（） （） ( ） （）5001055设函数 ，若 ，则 （ ）xfarctn)()()(xf20xlim（） （） （） （） 1321316设 在平面有界闭区域 D 上连续，在 D 的内部具有二阶连续偏导数，且满足),(yxu及 ，则（ ） 0202u（A） 的最大值点和最小值点必定都在区域 D 的边界上； ),(yx（B） 的最
24、大值点和最小值点必定都在区域 D 的内部；u（C） 的最大值点在区域 D 的内部，最小值点在区域 D 的边界上；),(y（D） 的最小值点在区域 D 的内部，最大值点在区域 D 的边界上x7行列式 等于dcba0（A） （B） （C） （D）2)(2)(bcad22cbda2cbda8设 是三维向量，则对任意的常数 ，向量 ， 线性无关321, lk,31k32l20是向量 线性无关的321,（A）必要而非充分条件 （B）充分而非必要条件（C ）充分必要条件 （D） 非充分非必要条件二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）9 125dx10设 为周
25、期为 4 的可导奇函数，且 ，则 )(f 2012,),()xxf )(7f11设 是由方程 确定的函数，则 ),(yxz4722zyeyz 21,|dz12曲线 的极坐标方程为 ，则 在点 处的切线方程为 LrL2,),(r13一根长为 1 的细棒位于 轴的区间 上，若其线密度 ，则该x10, 12x)(细棒的质心坐标 14设二次型 的负惯性指数是 1，则 的取值323121321 4xaf ),( a范围是 三、解答题15 （本题满分 10 分）求极限 )ln(limxdtetxt12116 （本题满分 10 分）已知函数 满足微分方程 ，且 ，求 的极大值和)(yy1202)()(xy极
26、小值17 （本题满分 10 分）设平面区域 计算0412yxyyxD.,|),( Ddxyx)sin(22118 （本题满分 10 分）设函数 具有二阶连续导数， 满)(uf )cos(yefzx足 若 ，求 的表达式xxyezyxz224)cos 00(,f)(uf19 （本题满分 10 分）设函数 在区间 上连续，且 单调增加， ，证明：)(,gfba.)(f 1)(xg（1 ） ；xdtxa,0（2 ） batg dgffb )()()(20 （本题满分 11 分）设函数 ，定义函数列10,)(xf， ，)(f1 )(xf12 ),()(,xffnn1设 是曲线 ，直线 所围图形的面积求
27、极限 nSxyn0y, Slim21 （本题满分 11 分）已知函数 满足 ，且 ，求曲线),(f)(12yf yyfln)()(),21所成的图形绕直线 旋转所成的旋转体的体积0,yx22 （本题满分 11 分）设 ，E 为三阶单位矩阵302114A（1 ） 求方程组 的一个基础解系；X（2 ） 求满足 的所有矩阵B23 （本题满分 11 分）222013 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题 18 小题每小题 4 分，共 32 分设 ，当 时， （ ）2)(,sincoxx0xx（A）比 高阶的无穷小 （B）比 低阶的无穷小（C）与 同阶但不等价无穷小 （D ）与 等价无穷小2
28、已知 是由方程 确定，则 （ ）xfy1lncosxy12limnfn（A）2 （B）1 （C）-1 （D）-2设 ， 则（ ）2,)0sin)(xf xdtfF0)(（） 为 的跳跃间断点 （） 为 的可去间断点 )( )(xF23（） 在 连续但不可导 （） 在 可导)(xF)(xF设函数 ，且反常积分 收敛，则（ ）exf,ln1,)() df（A） （B） （ C） （D）22a02a0设函数 ，其中 可微，则 （ ）xyfzfyzx（A） （B） （C） （D）)(2f )(2yf)(2f )(2xyf6设 是圆域 的第 象限的部分，记 ，则kD1|,xykkdI（ ）（A） （B）
29、 （C） （D）01I02I03I04I7设，均为 阶矩阵，若，且可逆，则n（A）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价（B）矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价（C）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价（D）矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价8矩阵 与矩阵 相似的充分必要条件是1ab02b（A） （B） ， 为任意常数2,00ab（C） （D ） ， 为任意常数b2二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）9 xx10)ln(2lim10设函数 ，则 的反函数 在 处的导数dtefx1)( )(xfy)(1y
30、f00|ydx2411设封闭曲线 L 的极坐标方程为 为参数，则 L 所围成的平63cosrt面图形的面积为 12曲线上 对应于 处的法线方程为 21lnarctyx1t13已知 是某个二阶常系数线性微分方程三个xxx eyeye23231 , 解，则满足 方程的解为 )0()(14设 是三阶非零矩阵， 为其行列式， 为元素 的代数余子式，且满足ijaAAijija，则 = )3,21,(0ijij三、解答题15 （本题满分 10 分）当 时， 与 是等价无穷小，求常数 0xxx3cos2s1nana,16 （本题满分 10 分）设 D 是由曲线 ，直线 及 轴所转成的平面图形， 分别是 D
31、绕3y)0(yxV,轴和 轴旋转一周所形成的立体的体积，若 ，求 的值x yxV1a17 （本题满分 10 分）设平面区域 D 是由曲线 所围成，求 8,3,xyxDdxy218 （本题满分 10 分）设奇函数 在 上具有二阶导数，且 ，证明：)(f1,1)(f（1）存在 ，使得 ；0f（2）存在 ，使得 ),()(f19 （本题满分 10 分）求曲线 上的点到坐标原点的最长距离和最短距离)0,(133yxyx20 （本题满分 11）设函数 fln)(求 的最小值；x25设数列 满足 ，证明极限 存在，并求此极限nx1lnxnxlim21 （本题满分 11）设曲线 L 的方程为 )(l24ey
32、（1）求 L 的弧长（2）设 D 是由曲线 L，直线 及 轴所围成的平面图形，求 D 的形心的横坐x,1标22本题满分 11 分）设 ，问当 为何值时，存在矩阵 C，使得 ，并求bBaA10,a, BA出所有矩阵 C23（本题满分 11 分）设二次型 记23212321321 )()(),( xbxaxxf 3232,ba（1）证明二次型 对应的矩阵为 ；f T2（2）若 正交且为单位向量，证明 在正交变换下的标准形为 , f 21y2012 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1-8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中 ,只有一个选项符合题目要求的,请
33、将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)曲线 的渐近线条数 ( )21xy(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3(2) 设函数 ，其中 为正整数 ,则 ( )2()()xxnxfee n(0)f26(A) (B) (C) (D) 1()!n(1)!n1()!n(1)!n(3) 设 ，则数列 有界是数列 收敛230,23),n nnaSaa nSna的 ( )(A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D) 非充分也非必要(4) 设 则有 20sind,(12,3)kxIek( )(A) (B) (C) (D) 123I321II231II213I(5)
34、设函数 为可微函数，且对任意的 都有 则使不等式(,fxy） ,xy(,)(,)0,xy成立的一个充分条件是 12(,)(,)fxyf( )(A) (B) (C) (D) 122,y122,xy122,xy122,xy(6) 设区域 由曲线 围成，则 Dsin,5()dD( )(A) (B) 2 (C) -2 (D) - (7) 设 , , , ,其中 为任意常数，则下列向10c213c41c1234,c量组线性相关的为 ( )(A) (B) (C) (D) 123,124,134,234,(8) 设 为 3 阶矩阵， 为 3 阶可逆矩阵，且 .若 ，AP102PA123,P则 ( )123,
35、Q1Q(A) (B) (C) (D)010220120127二、填空题：9-14 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸指定位置上.(9) 设 是由方程 所确定的隐函数，则 .()yx21yxe20xdy(10).2221limnnn(11) 设 其中函数 可微，则 .l,zfxyfu2zxy(12) 微分方程 满足条件 的解为 .2d3d01x(13) 曲线 上曲率为 的点的坐标是 .2yx(14) 设 为3阶矩阵， ， 为 伴随矩阵，若交换 的第1行与第2行得矩阵 ，A=3*AAB则 . *B三、解答题：15-23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写
36、出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分 10 分)已知函数 ，记 ，1sinxf0limxaf(I)求 的值 ;a(II)若 时， 与 是同阶无穷小，求常数 的值.0xfk k(16)(本题满分 10 分)求函数 的极值.2,xyfe(17)(本题满分 12 分)过 点作曲线 的切线,切点为 ,又 与 轴交于 点,区域 由 与直线(0,1:lnLALxBDL围成,求区域 的面积及 绕 轴旋转一周所得旋转体的体积.ABDx(18)(本题满分 10 分)计算二重积分 ，其中区域 为曲线 与极轴围成.dDyD1cos0r(19)(本题满分 10 分)已知函数 满足方程 及 ,(fx()2
37、()fxffx()2xfxfe(I) 求 的表达式 ;(II) 求曲线 的拐点.220)dyfft(20)(本题满分 10 分)28证明 , .21lncos1xx(1)(21)(本题满分 10 分)(I)证明方程 ，在区间 内有且仅有一个实根；xxn-1+n的 整 数 1,2(II)记(I) 中的实根为 ，证明 存在，并求此极限.nlimn(22)(本题满分 11 分)设 ，10aA10(I) 计算行列式 ；(II) 当实数 为何值时，方程组 有无穷多解，并求其通解.aAx(23)(本题满分 11 分)已知 ，二次型 的秩为 2，10Aa123,TfxAx(I) 求实数 的值；(II) 求正
38、交变换 将 化为标准形.xQyf2011 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题(A) 选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。（1）已知当 时，函数 与 是等价无穷小，则（ ）0xxxf3sin)(kc（A） （B）4,1ck 4,1（C） （D）3 ck（2）设函数 在 处可导，且 ，则 （ ）)(xf00)(f 320)()limxffx29（A） （B） （C） （D）)0(2f)0(f)0(f0（3）函数 的驻点个数为（ ）32(1lnxx（A）0 （B）1 （C）2 （D）3（
39、4）微分方程 的特解形式为（ ）)0(2xey（A） （B）)(xea )(xea（C） （D）b 2b（5）设函数 ， 均有二阶连续导数，满足 ， ，)(xfg0)(f)(g则函数 在点 处取得极小值的一个充分条件是0 )(ygxfz,（ ）（A） ， （B） ，)(f)(g0)(f)(g（C） ， （D） ， 0 （6）设 ， ， ，则 ， ， 的大小40sinlxdI40cotlnxdJ40coslnxdKIJK关系为（ ）（A） （B）KJII（C） （D） J（7）设 为 3 阶矩阵，将 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 ，再交换 的第 2 行与第 3 行AB得单位矩阵。记 ， ，则
40、 =（ ）011P02PA（A） （ B） （C） （D）21 2112 12P（8）设 是 4 阶矩阵， 为 的伴随矩阵。若 是方程组),(3*AT)0,( 的一个基础解系，则 的基础解系可为（ ）0x0*x（A） （ B） （C） （D）31, 21, 321,432,二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分。请将答案写在答题纸指定位置上。（9） 。xx02lim30（10）微分方程 满足条件 的解为 。xeycos0)(yy（11）曲线 的弧长 。xtd0an)4(s（12）设函数 ，则 。,)(kxef,0dxf)(（13）设平面区域 由直线 ，圆 及 轴所围成，则二重积
41、分Dyy22。xyd（14）二次型 ，则 的正惯性指数3231212321321),( xxxf f为 。三、解答题：1523 小题，共 94 分。请将解答写在答题纸指定位置上，解答应字说明、证明过程或演算步骤。（15） （本题满分 10 分）已知函数 ，设 ，试求 的取值范xdtF02)1ln()( 0)(lim)(li0xFxx 围。（16） （本题满分 11 分）设函数 由参数方程 确定，求 的极值和曲线)(xy31,3tyx )(xy的凹凸区间及拐点。)(（17） （本题满分 9 分）设函数 ，其中函数 具有二阶连续偏导数，函数 可导且在)(,xygfzf )(xg处取得极值 ，求 。1x11,2yxz（18） （本题满分 10 分）设函数 具有二阶导数，且曲线 与直线 相切于原点，记 为曲)(xy )(:xylx
