1、总 复 习 一、绪论 1.掌握绝对误差、绝对误差限、相对误差、相对误差限及有效数字的概念。掌握误差限和有效数字之间的关系。会计算误差限和有效数字。 2.了解数值计算中应注意的一些问题 . 一般地 ,凡是由精确值经过四舍五入得到的近似值 ,其绝对误差限等于该近似值末位的半个单位。 定义 1 设数 x是数 x*的近似值，如果 x的绝对误差限是它的某一数位的半个单位，并且从 x左起第一个非零数字到该数位共有 n位，则称这 n个数字为 x的 有效数字 ，也 称用 x近似 x*时 具有 n位有效数字 。 二、解线性方程组的直接法 1.了解 Gauss消元法的基本思想 ,知道适用范围 2.掌握矩阵的直接三
2、角分解法。 顺序 Gauss消元法 :矩阵 A的各阶顺序主子式都不为零 . 主元 Gauss消元法 :矩阵 A的行列式不为零 . 定理 设 n阶方阵 A的各阶顺序主子式不为零 ,则存在唯一单位下三角矩阵 L和上三角矩阵 U使 A=LU . 会对矩阵进行 Doolittle分解 (LU)、 LDM分解、 Crout分解 (TM)及 Cholesky分解 (GGT)。 了解它们之间的关系。熟练掌握用三角分解法求方程组的解。 了解平方根法和追赶法的思想。 3.了解向量和矩阵的范数的定义 ,会判定范数 (三要素非负性、齐次性、三角不等式 );会计算几个常用的向量和矩阵的范数； 了解范数的等价性和向量矩
3、阵极限的概念。 4.了解方程组的性态，会计算简单矩阵的条件数。 三、解线性方程组的迭代法 1.会建立 J-法、 G-S法、 SOR法的迭代格式；会判定迭代方法的收敛性。 （ 1）迭代法收敛 迭代矩阵谱半径小于 1. （ 2）迭代法收敛的充分条件是 迭代矩阵的范数小于 1. （ 3） A严格对角占优 ,则 J法 ,GS法 ,SOR法 (00,所以 (x)仅在 (1,2)内有零点 ,而当 10,故 (x)单调 .因此方程 (x)=0有唯一正根 ,且在区间 (1,2)内 . 点的三次样条函数 ,则 b=_c=_. 解 由 2=b+c+1,5=6+2b+c,8=12+2b,可得 二、 (13分 )设函
4、数 (x)=x2-sinx-1 (1)试证方程 (x)=0有唯一正根 ; (2)构造一种收敛的迭代格式 xk+1=(xk),k=0,1,2,计算精度为 =10-2的近似根 ; (3)此迭代法的收敛阶是多少 ?说明之 . -2 3 (2)构造迭代格式 : , . . .2,1,0s i n11 kxx kk由于 |(x)|=| |1,故此迭代法收敛 . xx s i n2/c o s (3)因为 0/2,所以 () 取初值 x0=1.5, 计算得 x1=1.41333, x2=1.40983,由于|x2-x1|=0.003510-2 , 故可取根的近似值 x2=1.40983. s i n12/
5、cos 0 故 ,此迭代法线性收敛 (收敛阶为 1). 三、 (14分 )设线性方程组 (1)写出 Jacobi法和 SOR法的迭代格式 (分量形式 ); (2)讨论这两种迭代法的收敛性 . (3)取初值 x(0)=(0,0,0)T,若用 Jacobi迭代法计算时 , 预估误差 x*-x(10) (取三位有效数字 ). 36225124321321321xxxxxxxxx(2)因为 A是严格对角占优矩阵 ,但不是正定矩阵 ,故Jacobi法收敛 ,SOR法当 01时收敛 . 解 (1)Jacobi法和 SOR法的迭代格式分别为 216131525151412141)(2)(1)1(3)(3)(
6、1)1(2)(3)(2)1(1kkkkkkkkkxxxxxxxxx)216131()525151()412141()(3)1(2)1(1)(3)1(3)(3)(2)1(1)(2)1(2)(3)(2)(1)(1)1(1kkkkkkkkkkkkkkkxxxxxxxxxxxxxxx(3)由 (1)可见 B=3/4,且取 x(0)=(0,0,0)T,经计算可得 x(1)=(1/4,-2/5,1/2)T,于是 x(1)-x(0)=1/2,所以有 113.05.075.01 75.0110)0()1()10(* xxBBxx k四、 (13分 )已知 (0)=2,(1)=3,(2)=5,(1)=0.5,
7、解 (1)由 y0=2,y1=3,y2=5,y1=0.5,得 H3(x)=20(x)+31(x)+52(x)+0.51(x) 令 0(x)=c(x-1)2(x-2),可得 0(x)=-0.5(x-1)2(x-2), 于是 H3(x)=-(x-1)2(x-2)-3x(x-2)+2.5x(x-1)2 0.5x(x-1)(x-2) (1)试建立一个三次插值多项式 H3(x),使满足插值条件 : H3(0)=2,H3(1)=3,H3(2)=5,H3(1)=0.5; (2)设 y=(x)在 0,2上四次连续可微 ,试确定插值余项R(x)=(x)-H3(x). 令 2(x)=cx(x-1)2,可得 2(x
8、)=0.5x(x-1)2; 令 1(x)=x(x-2)(ax+b),可得 1(x)=-x(x-2), 令 1(x)=cx(x-1)(x-2),可得 1(x)=-x(x-1)(x-2), =x3-2.5x2 +2.5x+2 由于 ,R(0)=R(1)=R(2)=R(1)=0, 故可设 五、 (12分 )试确定参数 A,B,C及 ,使数值积分公式 4=A+B+C, 0=A-C, 16/3=A2+C2, 0=A3-C3 有尽可能高的代数精度 ,并问代数精度是多少 ?它是否是Gauss公式 ? 解 令公式对 (x)=1,x,x2,x3,x4都精确成立 ,则有 R(x)=C(x)x(x-1)2(x-2)
9、 构造函数 (t)=(t)-H3(t)-C(x)t(t-1)2(t-2) 于是 ,存在 x,使 (4)(x)=0,即 (4)(x)-4!C(x)=0 )2()1(!4 )()( 2)4( xxxfxR x 2 2 )()0()()( CfBfAfdxxf64/5=A4+C4 ,解得 :A=C=10/9,B=16/9,=(12/5)1/2 容易验证公式对 (x)=x5仍精确成立，故其代数精度为 5，是 Gauss公式。 六、 (12分 )设初值问题 (1)试证单步法 解 (1)由于 )(),(aybxayxfy021411323221,.2,1,0)3(),(,),(ynKKyyhKyhxfKy
10、xfKhnnnnnn是二阶方法 . (2)以此法求解 y=-10y, y(0)=1时 ,取步长 h=0.25,所得数值解 yn是否稳定 ?为什么 ? 于是有 而 ),( 132322 hKyhxfK nn 2 2 22 2 2 2 32222331 4 8 4 ( )2 9 9 9nnnnn n nnnfff h hfxyf f fh h f h f O hx x y y )(261)(214222222321hOfyffyxfxfhfyfxfhhfyynnnnnnnnnnn)()(6121)()(61)(21)()()(4324321hOxyhfyfxfhhfyhOxyhxyhxyhxyxy
11、nnnnnnnnnnn所以有 当 h=0.25时 ,有 )()( 311 hOyxy nn )320(301041 nnnnn hyyyhyy 所以此单步方法为二阶方法 . (2)此单步方法用于方程 y=-10y,则有 nyhh 50101 21625.1125.35.2150101 2 hh所以 ,所得数值解是不稳定的 . 七、 (6分 )设 n阶矩阵 A=(aij)nn,试证实数 ijnji an ,1m a xA为矩阵 A的一种范数 . 证明 对任意 n阶方阵 A,B和常数 ,有 所以 ,实数 A 是矩阵 A的范数 . 。时且仅当 0,0m a x,1 A0AA ijnji anAA ijnjiijnji anan ,1,1 m a xm a xBABA |m a x m a x,1,1 ijijnjiijijnjibanban1 , 1 , 1111 , 1 ,m a x m a x ( m a x )m a x m a xABABnnik k j ij iki j n i j n i nkkij iki j n i k nn a b n a bn a n b
