1、1椭圆、双曲线的离心率取值范围求解方法一、利用三角形三边的关系建立不等关系（但要注意可以取到等号成立）例 1：双曲线 的两个焦点为 ，若 为其上一点，且 ，2yx1a0,ba12F,P12PF则双曲线离心率的取值范围为（ ）A.(1,3) B. C.(3,+ ) D.,33,【解析】 ， ， （当且仅当 三点共线等号成12PF12PFa121PF12PF， ，立） ,选 Bc6ae3,ea又 3例 2、如果椭圆 上存在一点 P，使得点 P 到左准线的距离与它到右焦2yx1ab0点的距离相等，那么椭圆的离心率的取值范围为 （ ）A B C(0,2121,)D(0,3131,)解析设 ，由题意及椭
2、圆第二定义可知2PFm 1PFme12 aPF(e1)2me1（当且仅当 三点共线等号成立） ，把 代入化2112PF， ， c简可得 又 ,选 Bae2ce01e21二、利用三角函数有界性结合余弦定理建立不等关系例 1：双曲线 的两个焦点为 ，若 为其上一点，且21(,)xyab12,FP，则双曲线离心率的取值范围是（ ） 2PF (,3)(1,3(3,)3,)【解析】设 ， ，当 点在右顶点处 ，m12(0)FP 22(4cos54coscea1,(1,3e三、利用曲线的几何性质数形结合建立不等关系例 1：双曲线 的两个焦点为 ，若 为其上一点，且 ，2yx1a0,ba12F,P12PF则
3、双曲线离心率的取值范围为（ ）A.(1,3) B. C.(3,+ ) D.,33,解： , ,即在双曲线右支上恒存在点 使得 可知12PFa2PFaP2Fa， 又 ,选 B2A,OAccc3ae3e13例 2已知双曲线 的左、右焦点分别是 F1、F 2，P 是双曲线右支上21(0,)xyba一点，P 到右准线的距离为 d，若 d、|PF 2|、|PF 1|依次成等比数列，求双曲线的离心率的取值范围。2解：由题意得 因为 ，所以 ，从而 ，。又因为 P 在右支上，所以 。 。 。 例 3椭圆21()xyab的右焦点 F，其右准线与 x轴的交点为 A，在椭圆上存在点 P 满足线段 AP 的垂直平分
4、线过点 ，则椭圆离心率的取值范围是（ ） （ A） 20, （ B） 10,2 （ C） 21, （ D） 1,2解析：由题意，椭圆上存在点 P，使得线段 AP 的垂直平分线过点 ，即 F 点到 P 点与 A 点的距离相等，而|FA| w |PF|ac ,ac 于是 ac,a c即22abc 2bac c2b 2acc 2 m 又 e(0,1)故 e 答案：D22ac12ca或 1,2例 4、已知双曲线 的左、右焦点分别为 若双曲线21(0,)xyba12(,0)(,Fc上存在点 使 ，则该双曲线的离心率的取值范围是 P21sinFc【解析】 （由正弦定理得） ， ， 12is21Pace21
5、P又 ， ， ，由双曲线性质知 ，12()Fae2()Fa22Fca，即 ，得 ，又 ，得 ace10e(,)例 5、设椭圆 的左右焦点分别为 ，如果椭圆上存在点 P，使2()xyab12F、=900，求离心率 e 的取值范围。12FP解析：P 点满足F 1PF2=90，点 P 在以 F1F2为直径的圆上又P 是椭圆上一点，以F1F2为直径的圆与椭圆有公共点，F 1、F 2是椭圆 21(0)xyab的焦点以 F1F2为直径的圆的半径 r 满足：r=cb，两 边平方，3得 c2b 2 即 c2a 2-c2 由 此 可 得 ， ）e21四、利用圆锥曲线中 的范围建立不等关系、xy例 1、双曲线 的
6、右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则21(0,)ab双曲线离心率的取值范围是（ ） (1,22,)(1,2 ,)【解析】 22000(1)exaexacc0,x(1),aeac而双曲线的离心率 ，211 12ec(,e例 2、设点 P 在双曲线 的左支上，双曲线两焦点为 ，已知)0b,a(1yax2 21F、是点 P 到左准线 的距离 和 的比例中项，求双曲线离心率的取值范围。|F1ld|PF2解析：由题设 得： 。由双曲线第二定义 得：|F21|121ed|P1，由焦半径公式得： ，则 ，即 ，解得e|PF12exaae)(202e。归纳：求双曲线离心率取值范围时可先求出双曲线上
7、一点的坐标，再利用性质：若点 在双P曲线 的左支上则 ；若点 在双曲线 的右支上则 。1byax2axp1byax2ax例 2 设椭圆 的左右焦点分别为 ，如果椭圆上存在点 P，使2(0)yba12F、=900，求离心率 e 的取值范围。12FP解析 1：设 P（x，y） ，又知 ，则将这个方程与椭圆方程联立，消去 y，可解得4解析 2：由焦半径公式得例 3 已知椭圆 =1（ a b0）的左、右顶点分别为 A、 B，如果椭圆上存在点 P，使得2xy APB=1200，求椭圆的离心率 e 的取值范围解：设 P（ x0， y0） ，由椭圆的对称性，不妨令 0 x0 a, 0 y0 b A（ a，0
8、） ，B（ a，0） ， = ， = Aka0PBkaxy0 APB=1200，tan APB=- ，又 tan APB= = ， =31PBAk202ayx202ayx， 而点 P 在椭圆上， b2x02+a2y02=a2b2由、得3y0= 0 y0 b，0 b)(2ba)(32a a b0，2 ab （ a2-b2） ，即 4 a2b23 c4，整理得，3 e4+4e2-40考虑30 e1，可解得 e165四、利用判别式建立不等关系例 1、设椭圆 的左右焦点分别为 ，如果椭圆上存在点 P，使21(0)xyab12F、=900，求离心率 e 的取值范围。12FP解：由椭圆定义知例 2、已知双
9、曲线 与直线 ： 交于 P、Q 两个不同的点，求双曲线)0a(1yax2l1yx离心率的取值范围。解析：把双曲线方程和直线方程联立消去 得： 时，直0a1,y2)a( 22线与双曲线有两个不同的交点则 ， ，即 且0)a(4142，所以 ，即 且 。1a23a1ce26e五、利用均值不等式建立不等关系例 1、已知椭圆 (a b 0)的两个焦点为 F1，F 2，P 为椭圆上一点，21xyF 1PF2=60则椭圆离心率 e 的取值范围 ；6解：设|PF 1|=m，|PF 2|=n 则根据椭圆的定义，得 m+n=2a， 又F 1PF2中，F 1PF2=60由余弦定理，得 m2+n2-mn=4c2 联
10、解，得 mn24()3ac又 mn a2， a 2，化简整理，得 a24c 2，解之得 e 1()24()3ac例 2、已知点 在双曲线 的右支上，双曲线两焦点为 ，P21(0,)xyb 21F、最小值是 ，则双曲线离心率的取值范围 。|PF|21a8解析： ，由均值定理知：当且仅当a84|PFa|PF)a2(| 2221 时取得最小值 ，又 所以 ，则 。a|PF28c|2c3e1例 3、设椭圆 的左右焦点分别为 ，如果椭圆上存在点 P，使21(0)xyab12F、 =900，则离心率 e 的取值范围 。12FP解析：由椭圆定义，有 平方后得六、利用二次函数的性质建立不等关系设 ，则双曲线
11、的离心率 的取值范围是（ ）1a221()xyae (,)(,5)(2,5)(2,5)【解析】 ，根据二次函数值域可得22e 1,0a25七、利用非负数性质例 已知过双曲线 左焦点 的直线 交双曲线于 P、Q 两点，且)0b,a(1yax21Fl（ 为原点） ，则双曲线离心率的取值范围 。OQP7解析：设 ，过左焦点 的直线 方程： ，代入双曲线方程得：)y,x(Q),(P21、 1Flctyx，由韦达定理得： ，0btc2y)atb(42 221atby，由 OPOQ 得21212121241 c)(ctt)cty(tx,t ，即： ，解得： ，因为 ，0yx21 0atbat 2224 2
12、42bat0t2所以 ，则 ，所以 。cab24 53e,13e,c322424 15e练习1、设 F1，F 2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点 P 满足F 1PF2=120，则椭圆的离心率的取值范围是（ A ）A ，1) B.（ ，1 ) C.(0， ) D.(0， 33233解：设，P （x 1，y 1） ，F 1（-c，0） ，F 2（c，0） ，c 0，则|PF 1|=a+ex1，|PF 2|=a-ex1在PF 1F2中，由余弦定理得 cos120 ，解得 x12 221()()4aexcaex243caex 12（0，a 2，4c 2-3a20且 e21 e ，1)32、设 分别是椭
13、圆 的左、右焦点，若在其右准线上存在点 ，使12、F2(0)xyab P线段 的中垂线过点 ，则椭圆离心率的取值范围是（ ） P2F 2(0, 3(0,1)3,1)【解析】设若 为右准线与 轴的交点，可知 ，即 ，又 在右准线上可知x2ac213eP，所以离心率的取值范围为 2ac3,1)3、椭圆 的焦点为 ，两条准线与 轴的交点分别为 若 ，21xyb12,Fx,MN12F则该椭圆离心率的取值范围是（ ） (0,22(0,1)2,1)28【解析】因为两准线距离为 ，又因为 ，所以有 ，即 ，所以2ac12Fc24ac2c21e4、已知双曲线 的右焦点为 ，若过点 且倾斜角为 的直线与双曲2(
14、0,)xyabF60线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ） (1,2 (1,),)(2,)【解析】如图 与 分别为与双曲线 的渐近线平行的两条直线，直l2 1xyab线 为过 且倾斜角为 的直线，要使 与双曲线的右支有且只有一F60l个交点，则应使 tn3b2()ea5、设点 P 在双曲线 的右支上，双曲线两焦点 ，)0b,a(1yax2 21F、，求双曲线离心率的取值范围。|F4|21解析 1：由双曲线第一定义得： ，与已知 联立解得：a2|PF|1|P4|21，由三角形性质 得： 解得：a3|P,8|2| 21ca38。35e解析 2： ，点 P 在双曲线右支上由图
15、1 可知： ，a32|PF,8|1 ac|PF1，即 ，两式相加得： ，解acPF| caca35得： 。35e16、已知双曲线 的左、右焦点分别为 若双曲线上存21(0,)xyab12(,0)(,Fc在点 使 ，则该双曲线的离心率的取值范围是 P12sinFc【解析】因为在 中，由正弦定理得 则由已知，得 ，即122112sinsiPF121acPF，且知点 P 在双曲线的右支上，设点 由焦点半径公式，得12aPFc 0(,)xyxyl2l9则 解得 由双曲线的几何1020,PFaexa00()()exca0()(1)caexe性质知 ，整理得0(1)则解得 ，故椭圆的离心率2,e21(,)
16、ee， 又 (1,2)e7、若点 O 和点 分别是双曲线 的中心和左焦点,点 P 为双曲线右支上(,0)F2a0xy的任意一点,则 的取值范围为 ( )PA. B. C. D. 3-2,32,)7-,)47,)4解析: 因为 是已知双曲线的左焦点，所以 ，即 ，所以双曲线方程为(,0)F21a23a，设点 P ，则有 ，解得 ，因为213xy0,xy2001(3)3xyx201()xy， ，所以 =0(,)FP0(,)O 200()OPF0()203，此二次函数对应的抛物线的对称轴为 ，因为 ，所以当20413x 034x0x时， 取得最小值 ，故 的取值范围是0PF4321OPF，选 B。2
17、,)7、已知 分别是双曲线 的左、右焦点，过 作垂直于 轴的直线12、 210,xyab1x交双曲线于 A、B 两点，若 为锐角三角形，则双曲线的离心率的范围是（ A ）2FA B C. D1,21,12,2,18、已知 是椭圆 的一个焦点， 是短轴的一个端点，线段 的延长线交 于点 ，且FCBFCD，则 的离心率为 。D【解析】如图， ,作 轴于点 D1,则由 ，得2|Bbca1y2,所以 ,1|3OF13|2OFc20080418 xOyBF1D10即 ,由椭圆的第二定义得32Dcx223|()acFDea又由 ,得 ,整理得 . 两边都除以 ,得 ,解|BF23ca202a320e得 .
18、1()e舍 去 ， 或 e9、已知椭圆 的离心率为 ，过右焦点 且斜率为 的直线与2:1(0)xyCab 32F(0)k相交于 两点若 ，则 （ ） （A）1 （B） （C） AB、 3FBk23（D）2【解析】设直线 l 为椭圆的有准线，e 为离心率，过 A，B 分别作 AA1，BB 1垂直于 l，A 1，B为垂足，过 B 作 BE 垂直于 AA1与 E，由第二定义得， ，由 ，得 ，即 k= ，故选 B.2【解析】： A（ x1， y1） ， B（ x2， y2） ， ， y1=-3y2，3AFB e ， 设 a 2t， c t， b=t，33 x2+4y2-4t2=0， 直 线 AB 方 程 为 x sy+ t 代 入 消 去 x， 得 (s2+4)3y2+2 styt2 0，3 y1+y2 ， y1y2 ， 2y2 k= 故 选 B2s12
