1、 天津市部分区 2018 年高三质量调查试卷（二）数学（理工类）第卷（共 40 分）一、选择题：本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ，集合 ，则集合 （ ）1,23A|10BxNABA B C D , ,2,31,232.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的 的值为（ ）SA1364 B340 C84 D60 3.设变量 ， 满足约束条件 则目标函数 的最小值为（ ）xy1,02,xy4zxyA B C D 323464.要得到函数 的图象，只需将函数 图象上所有点的横坐标（ ）sin()12yx3s
2、in(2)yxA伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再将得到的图像向左平移 个单位长度4B伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再将得到的图象向右平移 个单位长度C伸长到原来的 倍（纵坐标不变） ，再将得到的图象向左平移 个单位长度1 52D伸长到原来的 倍（纵坐标不变） ，再将得到的图象向右平移 个单位长度 2 145.存在实数 ，使 成立的一个必要不充分条件是（ ）x|1|3|xaA B C D a226a6.已知函数 的图象关于直线 对称，且当 时， ，记(1)yfx1x0x3()ln(1)fxx， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）3(log6)af4log8b5(log0)cfa
3、bcA B C D cbaac7.设 ， 分别是双曲线 （ ， ）的左、右焦点， 为坐标原点，过左焦点 作1F221xyO1F直线 与圆 切于点 ，与双曲线右支交于点 ，且满足 ， ，1P2xyaEP1()2EP|3OE则双曲线的方程为（ ）A B C D 2612169xy2136xy231xy8.在平面直角坐标系内，如果两点 、 满足条件： 、 都在函数 的图象上； ， 关PQPQ()fPQ于原点对称，则称 是函数的一对“奇点” （奇点 与 看作是同一奇点） 已知函数()、 ()(、恰有两对“奇点” ，则实数 的取值范围是（ ）2,0()ln(),axf aA B C D ,(,1)(0,
4、1)(1,)第卷（共 110 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）9.已知 ， 是虚数单位，若复数 ，则复数 aRi 3aizRz10.曲线 的切线方程为 ，则实数 的值为 2xye260xy11.已知一个几何体的三视图如图所示（单位： ） ，则该几何体的体积为 cm3cm12.天津大学某学院欲安排 4 名毕业生到某外资企业的三个部门 、 、 实习，要求每个部分至少安排ABC一人，其中甲大学生不能安排到 部分工作的方法有 种（用数字作答） A13.在直角坐标系中，已知直线 的参数方程为 （ 为参数） ，以该直角坐标系的原点为极点，l1,xty轴的正半轴为极轴建立极
5、坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，则直线 被曲线 截得的x C2sin4coslC弦的长为 14.在 中， ， ， ，点 满足 ，点 在线段 上运动，ABC626A4BD3BCEAD若 ，则 取得最小值时，向量 的模为 E13AE三、解答题 （本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.已知函数 （ ）的图象上相邻的最高点间的距离是 231()cossin2fxx0（1）求函数 的解析式；f（2）在锐角 中，内角 ， ， 满足 ，求 的取值范ABCBC222sinsiinsiACAB()fA围16.某大学数学学院拟从往年的智慧队和理想队中选拔 4 名大学生
6、组成志愿者招募宣传队往年的智慧队和理想队的构成数据如表所示，现要求被选出的 4 名大学生中两队中的大学生都要有（1）求选出的 4 名大学生仅有 1 名女生的概率；（2）记选出的 4 名大学生中女生的人数为 ，求随机变量 的分布列和数学期望X17.如图，在四棱锥 中，侧棱 底面 ，底面 为长方形，且 ，PABCDPABCD1PDC是 的中点，作 交 于点 ECEFF（1）证明： 平面 ；PBDEF（2）若三棱锥 的体积为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值；A13BDEF（3）在（2）的条件下，求二面角 的余弦值PC18.已知抛物线 的焦点与椭圆 ： （ ）的一个顶点重合，且这个顶点与椭圆24xy
7、21xyab0a的两个焦点构成的三角形面积为 C3（1）求椭圆 的方程；（2）若椭圆 的上顶点为 ，过 作斜率为 （ ）的直线 交椭圆 于另一点 ，线段 的中点Ak0lCBA为 ， 为坐标原点，连接 并延长交椭圆于点 ， 的面积为 ，求 的值MOOMNABk19.已知数列 的奇数项构成公比为 2 的等比数列，偶数项依次成公差为 4 的等差数列，数列 的前na na项和为 ，且 ， nS63235a（1）求数列 的通项公式；n（2）令 ，求数列 的前 项和 21nbanbnT20.已知函数 ， ，若函数 有两个零点 ，()lxfe()2xhfea()hx1x， 21(xR（1）求实数 的取值范围
8、；a（2）求证：当 时， ；0x()0fx（3）求证： 21e天津市部分区 2018 年高三质量调查试卷（二）数学（理工类）答案一、选择题1-5: 6-8: CBDAADC二、填空题9. 10. 11.32162312. 13. 14.2485三、解答题15.解：（1） ，231()cossin2fxx31(cos2)sin2xxsin(2)6x因为函数 图象上相邻的两最高点间的距离是 ，所以 ，f T由 ，因为 ，所以 ，2|T01所以 ()sin)6fx（2）由 ，得 ，即 ，222isiniACAB22acb2acba ，21cosacbaBc又 ， ，(0,)3 是锐角三角形， ，AC
9、(,)62A ， ，7261sin1 1(),)f16.解：（1）选出的 4 人中智慧队和理想队的都要有，所以选法种数是：（种） ，32314468C选出的 4 名大学生仅有 1 名女生的选法有：从智慧队中选取 1 女生的选法共有 （种） ，1213369C从理想队中选取 1 女生的选法共有 （种） ，0212 3260C或者或排除法： （种） ，13529C所以，选出的 4 名大学生仅有 1 名女生的概率为 92068（2）随机变量 的取值可为 ， ， ， ，X03则 ， ，21325(0)68CP12133256029()688CPX， ，23509()68X15()所以，随机变量 的分布
10、列为0 1 2 3P568296896856852903()01368EX17.解：（1）证明： 底面 ， 平面 ， ，DABCABCPD由于底面 为长方形， ，而 ， 平面 ，ABCPDC 平面 ， ，DEPE ， 为 的中点， ， ， 平面 ，BC ，又 ， ，EPBFDEF 平面 （2）由题易知 、 、 两两垂直，以 为坐标原点，建立如图空间直角坐标系 ，可得ACP Dxyz， ， ，(0,)D(,01)P(,)设 则有 ， ，BCtABDPABV132t2t ， ， ，(2,)(,)(,)设直线 与平面 所成角为 ，且由（1）知 为平面 的法向量，EFBPDEF ，530sin|co,
11、|6|BDP所以直线 与平面 所成角的正弦值为 BDEF306（3）由（2）知 ， ， ，1(0,)2(2,1)BD(2,1)BP设平面 的法向量 ，由 ， ，则 ，P,nxyz0n 0,xyz令 ，则 ， ， ，1x2y0(1,2)由（1） 平面 ， 为平面 的法向量， ，DEBCDEPB1(0,)2DE设二面角 为 ，则 ，Pcos|5|n所以二面角 的余弦值为 DBC10518.解：（1）因为抛物线 的焦点 与椭圆 的一个顶点重合， ，24xy(,)C1b又椭圆 的顶点与其两个焦点构成的三角形的面积为 ，3 ， ， ，3bc22abc故椭圆的方程是 214xy（2）由题意设直线 的方程为
12、 （ ） ，设点 ，lkx00(,)Bxy由 得 ，21,4ykx2(1)8解得 ， ， ， ，028xk204ky2214(,)kB2241(,)kM ，22218|()()441ABkk直线 斜率 ，直线 的方程为 ，OM241kO14yxk由 得 ，21,4yxk2241(,)kN点 到直线 ： 的距离为：l10y，2 2224| |41|11kkkd ，228()|241ABNkSdk2(4)1k ， ，又 ， ，ABk2(1)k022()41k令 ，则 ，解得 241t240t 2t ， ，解得 或 （舍去） ，2k23k3k 的值为 19.解：（1）设数列 的奇数项的公比为 ，偶数
13、项的公差为 ，naqd由已知 ， ，得632aS352121(),adaq ， ， 解得4dq1268,a12,a为奇数时， ；n21n为偶数时， ，()(1)42nnd12,.4()nan、（2）由（1）知 即1,2,.4()nbn、1,2(),.8nbn、为偶数时，n351111)()()2235n nT ，1()241()8n192438()n为奇数时， ，n1 1(2)4()nnnTbn 912438n19,2438(),.nn、20.解：（1） ，定义域为 ， ，()lnhxa(0,)1(hxa当 时， ， 在 递增， 不可能有两个零点，0a0()x当 时， 时， ， 时， ，1(,
14、xah1(,)a()0x所以， 是函数 的极大值点，也是最大值点)又因为 0 时， ； 时， ，x(x()hx要使 有两个零点，只需 ，()h1()ln0ha 10ae（2） 在 是减函数，()xf(0,) ， ，10fe存在唯一的 ，使 ，即 ，所以 ，即 ，0(,)2x()fx01x0xe0lnx当 时， ， ；当 时， ，0(,)f0,)()f 是函数 的极大值点，也是最大值点，0x()fx ，0max00011()ln22()2xffex在 上， ， ，1(,)2010()x ，即 成立max()f0()2()0f（3）证明：由题意得 ， 是 两根， ， 12lnxa1lnxa2lnxa 得 ， ，得 ，1212ln()()xa122l()x21lx要证明 ，只需证 ，即证 ，12e1ln12a所以只需证 ，即 ，122lx122()lx12()x令 ，所以，只需证 在 成立即可，12xt()ln1t(,)t设 ， ，(1)()lntgt2() 0tg所以 在 是增函数，所以 ，t,)()1tg即 成立21xe
