1、第 77 页 第五章 微 分 方 程 模 型如果实际对象的某特性是随时间（或空间）变化的，那么分析它的变化规律，预测它的未来性态时，通常要建立此实际对象的动态模型，这就是微分方程模型.1 传 染 病 模 型建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，预报传染病高潮的到来等，一直是各国有关专家和官员关注的课题.考虑某地区的传染病的传染情况，设该地区人口总数为 ，既不考虑生死，也N不考虑迁移，时间以天为计量单位.一. SI 模 型假设条件：1. 人群分为易感染者( Susceptible)和已感染者( Infective)两类人，简称为健康人和病人，在时刻 这两类人在总人
2、数中所占比例分别记作 和 .t tsi2. 每个病人每天有效接触的平均人数是 (常数)， 称为日接触率，当病人与健康人有效接触时，使健康者受感染变为病人.试建立描述 变化的数学模型.ti解： 1sNtits由假设 2 知，每个病人每天可使 个健康者变为病人，又由于病人数为， 每天共有 个健康人被感染.tiNtiNs于是 就是病人数 的增加率，即有ii(1)sdt第 78 页 而 .isdti1i又记初始时刻( )病人的比例为 ，则0t0i01idt这就是 Logistic 模型，其解为 teiti10结果分析作出 和 的图形如下：tiid1. 当 时， 取到最大值 ，此时刻为21idtimdt
3、i1ln01itm2. 当 时， 即所有人终将被传染，全变为病人（这是不实际的）.t二. SIS 模 型在前面假设 1、2 之下，再考虑病人可以医治，并且有些传染病如伤风、痢疾等愈后免疫力很低，可以假定无免疫性，于是病人被治愈后变成健康者，健康者还可以被感染再变成病人，此模型称 SIS 模型.i0mtt21 21i0dtimti第 79 页 假设 1、2 同 SI 模型，增加假设:3. 病人每天被治愈的人数占病人总数的比例为 ，称为日治愈率.病人治愈后成为易感染者（健康人）.显然 是这种传染病的平均传染期.1解：在假设 1、2、3 之下，模型（1）修正为 iNisdtiN于是 01iit解得
4、,1,0 10it eiti t结果分析1. 令 .注意到 和 的含义，可知 是一个传染期内每个病人有效接触的平均人数，1称为接触数. 01i10t10ii 0t1i1第 80 页 2. 接触数 是一个阈值.1当 时，病人比例 越来越小，最终趋于零.ti当 时， 的增减性取决于 的大小，其极限值 .ti0i1i3. SI 模型是 SIS 模型中 的情形.三. SIR 模 型大多数传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很强的免疫力，所以病愈的人既非健康者,也非病人,他们已经退出传染系统，此时模型的假设为1.人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者三类，称为 SIR 模型.三类人在总人数 中占的比例分别记作 、 和 .Nistr1. 病人的日接解率为 ，日治愈率为 （与 SIS 模型相同） ，传染期接触数为.解：由假设 1，有trits 0dtrits由假设 2，得 iNdtNii又设isdtir0,0,ris于是(2)00s,idtsii第 81 页 我们在相平面上来讨论解的性质.相轨线的定义域为 1s,0s,iiiD由(2)式消去 ，得dt这里 0s01ii解得 (3)0sln-ii在定义域 内，(3)式表示的曲线即为相轨线.D
