1、. .word 版本中考复习专题 -圆的切线的判定与性质. .word 版本知识考点：1、掌握切线的判定及其性质的综合运用，在涉及切线问题时，常连结过切点的半径，切线的判定常用以下两种方法：一是连半径证垂直，二是作垂线证半径。2、掌握切线长定理的灵活运用，掌握三角形和多边形的内切圆，三角形的内心。精典例题：一、若直线 l 过O 上某一点 A，证明 l 是O 的切线，只需连 OA，证明 OAl 就行了，简称“连半径，证垂直” ，难点在于如何证明两线垂直.例 1 如图，在ABC 中，AB=AC ，以 AB 为直径的O 交 BC 于 D，交 AC 于 E，B 为切点的切线交 OD 延长线于 F.求证
2、：EF 与O 相切.例 2 如图，AD 是BAC 的平分线，P 为 BC 延长线上一点，且 PA=PD.求证：PA 与O 相切. .word 版本例 3 如图，AB=AC ，AB 是O 的直径，O 交 BC 于 D，DMAC 于 M求证：DM 与O 相切.例 4 如图，已知：AB 是O 的直径，点 C 在O 上，且CAB=30 0，BD=OB，D 在 AB 的延长线上.求证：DC 是O 的切线例 5 如图，AB 是O 的直径，CDAB，且 OA2=ODOP.求证：PC 是O 的切线. .word 版本例 6 如图，ABCD 是正方形，G 是 BC 延长线上一点， AG 交 BD 于 E，交 C
3、D 于 F.求证：CE 与CFG 的外接圆相切.二、若直线 l 与O 没有已知的公共点，又要证明 l 是O 的切线，只需作 OAl，A 为垂足，证明OA 是O 的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”例 7 如图，AB=AC ，D 为 BC 中点，D 与 AB 切于 E 点.求证：AC 与D 相切.例 8 已知：如图，AC，BD 与O 切于 A、B，且 ACBD，若COD=90 0.求证：CD 是O 的切线. .word 版本习题练习例 1 如图，AB 是O 的弦（非直径） ，C、D 是 AB 上两点，并且 OC=OD，求证：AC=BD 例 2 已知：如图，在ABC 中，AB=AC，以 AB 为
4、直径的O 与 BC 交于点 D，与 AC交于点 E，求证：DEC 为等腰三角形例 3 如图，AB 是O 的直径，弦 AC 与 AB 成 30角，CD 与O 切于 C，交 AB的延长线于 D，求证：AC=CD例 4 如图 20-12，BC 为O 的直径，ADBC，垂足为 D， ，BF 和 AD 交于 E，ABF求证：AE=BE例 5 如图，AB 是O 的直径，以 OA 为直径的O 1 与O 2 的弦相交于 D，DEOC ，垂足为 E（1）求证：AD=DC （2）求证：DE 是O 1 的切线. .word 版本A BC DEFGO例 6 如图，已知直线 MN 与以 AB 为直径的半圆相切于点 C，
5、A=28（1）求ACM 的度数 （2）在 MN 上是否存在一点 D，使 ABCD=ACBC，说明理由例 7 如图，在 RtABC 中， C=90 ，AC=5，BC=12，O 的半径为 3（1）若圆心 O 与 C 重合时， O 与 AB 有怎样的位置关系？（2）若点 O 沿 CA 移动，当 OC 等于多少时，O 与 AB 相切？19.如图，RtABC 内接于O，AC=BC ，BAC 的平分线 AD 与0 交于点 D，与 BC 交于点 E，延长BD，与 AC 的延长线交于点 F，连结 CD，G 是 CD 的中点，连结 0G(1) 判断 0G 与 CD 的位置关系，写出你的结论并证明；(2)求证：
6、AE=BF；（3）若 ，求O 的面积。3(2)ODE. .word 版本12、如图，割线 ABC 与O 相交于 B、C 两点，D 为O 上一点，E 为 的中点，OE 交 BC 于BCF， DE 交 AC 于 G，ADG AGD。（1）求证：AD 是O 的切线；（2）如果 AB2，AD4，EG2，求O 的半径。第 1题 图 MQPC O BA第 12题 图 DE FGCBA第 13题 图 ODE CBA13、如图，在ABC 中，ABC90 0，O 是 AB 上一点，以 O 为圆心，OB 为半径的圆与 AB 交于点E，与 AC 切于点 D，AD2，AE1，求 。BCDS. .word 版本1 如图
7、，等腰三角形 ABC 中， AC BC 10， AB 12。以 BC 为直径作 O 交 AB 于点 D，交 AC 于点G， DF AC，垂足为 F，交 CB 的延长线于点 E。(1)求证：直线 EF 是 O 的切线；(2)求 CF:CE 的值。2 如图，AB 是O 的直径，AC 是弦，BAC 的平分线 AD 交O 于点 D，DEAC，交 AC 的延长线于点 E，OE 交 AD 于点 F求证：DE 是O 的切线； 若 ，求 的值。35ACBF3 如图， RtABC 中， 90，以 AB为直径作 O 交 AC边于点 D， E是边 BC的中点，连接DE（1）求证：直线 E是 O 的切线；（2）连接
8、交 于点 F，若 C，求 tan的值FEDCBA OCEBA OFDABDCEFGO(第 22 题图). .word 版本4如图，点 O 在APB 的平分线上， O 与 PA 相切于点 C(1) 求证：直线 PB 与O 相切；(2) PO 的延长线与O 交于点 E若O 的半径为 3，PC=4求弦 CE 的长已知：如图，在 中， ，点 在 上，以 为圆心， 长为半径的圆与 分RtABC 90OABOAACB，别交于点 ，且 DE，（1）判断直线 与 的位置关系，并证明你的结论；O（2）若 ， ，求 的长:8:52D解：（1）（2）如图 18，四边形 ABCD内接于 OA， B是 的直径， AEC
9、D，垂足为 E， A平分 BDE（1）求证： E是 的切线；（2）若 301cm， ，求 的长DECBOA图 18DCOA BE. .word 版本如图所示， 是直角三角形， ，以 为直径的 交 于点 ，点 是 边的ABC 90ABC OACEDBC中点，连结 DE（1）求证： 与 相切；O（2）若 的半径为 ， ，求 3E24、如图，AB 是O 的直径，BAC=30，M 是 OA 上一点，过 M 作 AB 的垂线交 AC 于点 N，交 BC 的延长线于点 E，直线 CF 交 EN 于点 F，且ECF=E.（1）证明 CF 是O 的切线；（2）设O 的半径为 1，且 AC=CE，求 MO 的长
10、.（第 24 题）B D CEAO. .word 版本【例 1】如图，AC 为O 的直径， B 是O 外一点，AB 交O 于 E 点，过 E 点作O 的切线，交BC 于 D 点，DE DC，作 EFAC 于 F 点，交 AD 于 M 点。（1）求证：BC 是O 的切线；（2）EMFM。证明：【例 2】如图，ABC 中，ABAC，O 是 BC 的中点，以 O 为圆心的圆与AB 相切于点 D。求证：AC 是O 的切线。【例 3】如图，已知 AB 是O 的直径，BC 为O 的切线，切点为 B，OC 平行于弦 AD，OA 。r（1）求证：CD 是O 的切线；（2）求 的值；OCAD（3）若 ADOC
11、，求 CD 的长。r29探索与创新：【问题一】如图，以正方形 ABCD 的边 AB 为直径，在正方形内部作半圆，圆心为 O，CG 切半圆于 E，交 AD 于 F，交 BA 的延长线于 G，GA8。（1）求G 的余弦值；例 1图 321MFOEDCBA例 2图 EODCBA例 3图 321ODCBA 问 题 一 图 GFEODCBA. .word 版本（2）求 AE 的长。【问题二】如图，已知ABC 中，ACBC，CAB （定值） ，O 的圆心 O 在 AB 上，并分别与 AC、BC 相切于点 P、Q 。（1）求POQ；（2）设 D 是 CA 延长线上的一个动点，DE 与O 相切于点 M，点 E
12、 在 CB 的延长线上，试判断DOE 的大小是否保持不变，并说明理由。问 题 二 图 NQPEODCBA. .word 版本圆的切线证明及线段长求解在在中考中的常见题型1、已知：如图，在矩形 中，点 在对角线 上，以 的长为半径的 与 ， 分别交ABCDOBDOOADB于点 E、点 F，且 = E（1）判断直线 与 的位置关系，并证明你的结论；（2）若 ， ，求 的半径3sin22、已知：如图， O 的半径 OC 垂直弦 AB 于点 H，连接 BC，过点 A 作弦 AE BC，过点 C 作 CD BA交 EA 延长线于点 D，延长 CO 交 AE 于点 F（1）求证： CD 为 O 的切线；（
13、2）若 BC5， AB8 ，求 OF 的长3、如图， 是等腰三角形， ，以 为ABCACB直径的 与 交于点 ， ，垂足为 ，ODEE的延长线与 的延长线交于点 EDF（1）求证： 是 的切线；（2）若 的半径为 ， ，求 的值21cosOFE DCBAEOBHCAD FA BFCDEO第 3 题图. .word 版本NM OFECBA4、已知：如图， 是 的直径， 切 于 ， 交 于 ， 为 边的中点，连ABO BCOAC PDBC结 DP(1) 是 的切线；(2) 若 ， 的半径为 5， 求 的长. 3cos5 DP5、如图，在 中， ， 是角平分线，ABC AEBM平分 交 于点 ，经过
14、 两点的 交 于EMB， O C点 ，交 于点 ， 恰为 的直径GF（1）求证： 与 相切；O（2）当 时，求 的半径14cos3B， 6、如图，AB 是 的直径， ，M 是 OA 上一点，过 M 作 AB 的垂线交 AC 于点 N,交 BCO 30BAC的延长线于点 E,直线 CF 交 EN 于点 F,且 .EF（1）证明 CF 是 的切线(2) 设O 的半径为 1且 AC=CE,求 MO 的长.OPCDBAOBGECMA F. .word 版本A BC DEFOFOEDCBA（9 题图） 7、如图，已知 AB 为 O 的直径, DC 切 O 于点 C,过 D 点作 DE AB,垂足为 E,
15、DE 交 AC 于点 F. 求证： DFC 是等腰三角形. 8、在 Rt 中， F=90，点 B、 C分别在 AD、 FD上，以 AB为直径的半圆 O 过点 C， 联结 AC， 将 ADAFC 沿 AC翻折得 ，且点 E恰好落在直径AB上.（1）判断：直线 FC与半圆 O的位置关系是_；并证明你的结论.（2）若 OB=BD=2,求 CE的长9、已知：如图，在ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的O 分别交 BC、AC 于点 D、E，联结 EB 交 OD 于点 F（1）求证：ODBE；（2）若 DE= ，AB=5 ，求 AE 的长510、如图所示， AB 是 O 的直径， OD弦 BC 于点
16、 F，且交 O 于点 E，若 AEC= ODB（1）判断直线 BD 和 O 的位置关系，并给出证明；（2）当 AB=10， BC=8 时，求 BD 的长11、已知： AB 是 O 的弦， OD AB 于 M 交 O 于点 D， CB AB 交 AD 的延长线于 C. .word 版本（1）求证： AD DC；（2）过 D 作 O 的切线交 BC 于 E，若 DE2， CE=1，求 O 的半径12、 如图， 为 的直径， 平分 交 于点 ，ABOADBCOD的延长线于点 ， 交 的延长C交DEEF线于点 ，F（1）求证： 是 的切线；（2）若 的半径为 5，求 的长,3B13、如图，等腰三角形
17、ABC 中， AC BC6， AB8以 BC 为直径作 O 交 AB 于点 D，交 AC 于点G， DF AC，垂足为 F，交 CB 的延长线于点 E（1）求证：直线 EF 是 O 的切线；（2）求 sin E 的值FEDCBA O. .word 版本14、如图， AB为半圆 O的直径，点 C 在半圆 O上，过点 作 BC的平行线交 A于点 E，交过点 A的直线于点 D，且 .（1）求证： 是半圆 O 的切线；（2）若 2C， E，求 AD的长.15、已知：如图，在ABC 中，AB=BC，D 是 AC 中点，BE 平分ABD 交 AC 于点 E，点 O 是 AB 上一点，O 过 B、E 两点,
18、 交 BD 于点 G，交 AB 于点 F（1）求证：AC 与O 相切；（2）当 BD=2，sinC= 时，求O 的半径1216、如图，AB 是O 的直径，点 C 在O 上，M 是 的中点，OM 交O 的BC 切线 BP 于点 P（1）判断直线 PC 和O 的位置关系，并证明你的结论（2）若 sinBAC 0.8 ，O 的半径为 2，求线段 PC 的长17、如图，在 O 中， AB 是直径， AD 是弦， ADE = 60， C = 30（1）判断直线 CD 是否为 O 的切线，并说明理由；（2）若 CD = 3 ，求 BC 的长BAED A FDOEBGCOBCDEA. .word 版本DCB
19、AO18、 已知，如图，直线 MN 交O 于 A,B 两点， AC 是直径，AD 平分 CAM 交O 于 D，过 D 作 DEMN 于 E（1）求证： DE 是O 的切线；（2）若 cm， cm，求O 的半径.6E3A19、已知：如图， 为 的直径，弦 , 切 于 ,联结 ABODAC/BOD（1）判断 是否为 的切线，若是请证明；若不是请说明理由CD（2）若 , ,求 的半径2620、 如图， O 的直径 AB=4， C、 D 为圆周上两点，且四边形 OBCD 是菱形，过点 D 的直线 EF AC，交 BA、 BC 的延长线于点 E、 F（1）求证： EF 是 O 的切线；（2）求 DE 的
20、长21、 已知：在O 中，AB 是直径，AC 是弦，OEAC于点 E，过点 C 作直线 FC，使FCAAOE，交AB 的延长线于点 D.（1）求证：FD 是O 的切线；（2）设 OC 与 BE 相交于点 G，若 OG2，求O半径的长；（3）在（2 ）的条件下，当 OE3 时，求图中阴影部分的面积.OFED CBAFB DEOAC. .word 版本A CEOBDFO F EDCBA22、已知：如图，点 是 上一点，半径 的延长线与过点 的直线交于点 ， ，AOCABCOBC21（1）求证： 是 的切线；（2）若 ， ，求弦 的长45D2DAD CBO第 19题 23、如图，点 D 是 O 直径
21、 CA 的延长线上一点，点 B 在 O 上，且 AB AD AO（1）求证： BD 是 O 的切线；（2）若点 E 是劣弧 BC 上一点，弦 AE 与 BC 相交于点 F，且 CF9，cos BFA 32，求 EF 的长24、如图，已知 AB 为 O 的弦， C 为 O 上一点， C= BAD，且 BD AB 于 B. （1）求证： AD 是 O 的切线；（2）若 O 的半径为 3， AB=4，求 AD 的长.25、已知：如图， AB 是 O 的直径， E 是 AB 延长线上的一点， D 是 O 上的一点，且 AD 平分 FAE， ED AF 交 AF 的延长线于点 C（1）判断直线 CE 与
22、 O 的位置关系，并证明你的结论；（2）若 AF FC=53， AE=16，求 O 的直径 AB 的 长ABCDO. .word 版本FOEDC AB26、已知：如图，在 ABC 中， AB = AC，点 D 是边 BC 的中点以 BD 为直径作圆 O，交边 AB 于点P，联结 PC，交 AD 于点 E（1）求证： AD 是圆 O 的切线；（2）若 PC 是圆 O 的切线， BC = 8，求 DE 的长27、 已知：如图，在 ABC 中， ， ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D， DE DB90ACB交 AB 于点 E， 过 B、D、 E 三点作 O（1 ）求证 :AC 是 O 的切线
23、；（2 ）设 O 交 BC 于点 F， 连结 EF， 若 BC=9， CA=12. 求 的值.EFAC28、在 Rt ABC 中，C=90 ， BC=9， CA=12， ABC 的平分线 BD 交 AC于点 D， DE DB 交 AB 于点 E， O 是 BDE 的外接圆，交 BC 于点 F（1）求证: AC 是 O 的切线;（2）联结 EF， 求 的值FAC14、如图，AB 是半圆（圆心为 O）的直径，OD 是半径，BM 切半圆于 B，OC 与弦 AD 平行且交 BM于 C。（1）求证：CD 是半圆的切线；（2）若 AB 长为 4，点 D 在半圆上运动，设 AD 长为 ，点 A 到直线 CD
24、 的距离为 ，试求出 与xy之间的函数关系式，并写出自变量 的取值范围。xxAB CDPEO（第 26 题）A C E O B FD （第 28 题）. .word 版本第 14题 图 MODCBA15、如图，AB 是O 的直径，点 C 在O 的半径 AO 上运动， PCAB 交O 于 E，PT 切O于 T，PC2.5 。（1）当 CE 正好是O 的半径时， PT2 ，求O 的半径；（2）设 ， ，求出 与 之间的函数关系式；yP2xAyx（3）PTC 能不能变为以 PC 为斜边的等腰直角三角形？若能，请求出 PTC 的面积；若不能，请说明理由。 第 15题 图 TEPOC BA. .word
25、 版本. .word 版本1120. 已知： AB 是 O 的弦， OD AB 于 M 交 O 于点 D， CB AB 交 AD 的延长线于 C（1）求证： AD DC；（2）过 D 作 O 的切线交 BC 于 E，若 DE2， CE=1，求 O 的半径. .word 版本A BC DEFOFOEDCBA（20 题图）20在 Rt 中， F=90，点 B、 C分别在 AD、 FD上，以 AB为直径的半圆 AD O 过点 C， 联结AC， 将 AFC 沿 AC翻折得 ，且点E恰好落在直径AB上. A（1）判断：直线 FC与半圆 O的位置关系是_；并证明你的 结论.（2）若 OB=BD=2,求 C
26、E的长）20如图所示， AB 是 O 的直径， OD弦 BC 于点 F，且交 O 于点 E，若 AEC= ODB（1）判断直线 BD 和 O 的位置关系，并给出证明；（2）当 AB=10， BC=8 时，求 BD 的长20已知：如图，在ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的 O 分别交 BC、AC于点 D、E，联结 EB 交 OD 于点 F（1）求证：ODBE；（2）若 DE= ，AB=5，求 AE 的长5. .word 版本NM OFECBA20. 如图，AB 是 的直径， ，M 是 OA 上一点，过 M 作 AB 的垂线交 AC 于点 N,交 BCOA30BAC的延长线于点 E,直线
27、CF 交 EN 于点 F,且 .EF（1）证明 CF 是 的切线(2) 设O 的半径为 1且 AC=CE,求 MO 的长. . .word 版本20. 已知： AB 是 O 的弦， OD AB 于 M 交 O 于点 D， CB AB 交 AD 的延长线于 C（1）求证： AD DC；（2）过 D 作 O 的切线交 BC 于 E，若 DE2， CE=1，求 O 的半径. .word 版本A BC DEFO20在 Rt 中， F=90，点 B、 C分别在 AD、 FD上，以 AB为直径的半圆 AD O 过点 C， 联结AC， 将 AFC 沿 AC翻折得 ，且点E恰好落在直径AB上. A（1）判断：
28、直线 FC与半圆 O的位置关系是_；并证明你的 结论.（2）若 OB=BD=2,求 CE的长. .word 版本FOEDCBA（20 题图）NM OFECBA20如图所示， AB 是 O 的直径， OD弦 BC 于点 F，且交 O 于点 E，若 AEC= ODB（1）判断直线 BD 和 O 的位置关系，并给出证明；（2）当 AB=10， BC=8 时，求 BD 的长20 （本小题满分 5 分）已知：如图，在 ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的O 分别交 BC、AC 于点 D、E，联结 EB 交 OD 于点 F（1）求证：ODBE；（2）若 DE= ，AB=5，求 AE 的长520. 如
29、图，AB 是 的直径， ，M 是 OA 上一点，过 M 作 AB 的垂线交 AC 于点 N,交 BCO 30BAC的延长线于点 E,直线 CF 交 EN 于点 F,且 .EF（1）证明 CF 是 的切线(2) 设O 的半径为 1且 AC=CE,求 MO 的长. . .word 版本1.如图，AB 为O 的直径，AD 平分BAC 交O 于点 D，DEAC 交 AC 的延长线于点E，FB 是O 的切线交 AD 的延长线于点 F。（1 ）求证：DE 是O 的切线；（2 ）若 DE=3，O 的半径为 5，求 BF 的长。2 如图，已知ABC 内接于 O,AC 是直径，D 是弧 AB 的中点，过点 D
30、作直线 BC 的垂线，分别交CB、 CA 的延长线于 E、 F（1 ）求证： EF 是 O 的切线.（2 ）若 EF8 ， EC6，求 O 的半径. .word 版本3 已知 是O 的直径， 是O 的切线， A 是切点，BP 与0 交于点 C.（）ABAP如图，若 AB=2， ，求 的长（结果保留根号） ；30（）如图，若 D 为 AP 的中点，求证直线 CD 是O 的切线.4 如图，已知ABC 中，AB=BC ，以 AB 为直径的O 交 AC 于点 D，过 D 作 DEBC，垂足为 E，连结 OE，CD= ，ACB=30.3（1 ）求证：DE 是O 的切线；（2 ）分别求 AB，OE 的长；ABCOP图ABCOPD图
