1、习题 3一、填空题1设 ，则 有_个根，它们分别位于_区间；2函数 在 上满足拉格朗日定理条件的 ；函数 与 在区间 上满足柯西定理条件的；4函数 在 上满足拉格朗日中值定理条件的 ； ；6 ；7 ;8函数 的单调减区间是 ；9设 在 可导，则 是 在点 处取得极值的 条件；10函数 在 及 取得极值，则；11. 函数 的极小值是 ;12函数 的单调增区间为 ；13. 函数 的极小值点是 ；14. 函数 在 上的最大值为 ，最小值为；14. 函数 在 的最小值为 ;15. 设点 是曲线 的拐点,则 ;16. 曲线 的下凹区间为 ,曲线的拐点为 ;17. 曲线 的上凹区间为 ;18. 曲线 的拐
2、点为 ;19. 若 是 的四次多项式函数 ,它有两个拐点 ,并且在点处的切线平行于 轴,那么函数 的表达式是 ;20. 曲线 的拐点为 ;21. 曲线 的水平渐近线的方程是 ,垂直渐近线的方程是 ;22. 的垂直渐近线为 ; 水平渐近线为 ;23. 曲线 在 的曲率 ;24. 曲线 的曲率计算公式为 ;25. 抛物线 在顶点处的曲率为 ;二. 单项选择题1. 罗尔定理中的三个条件; 在 上连续,在 内可导,且是 在 内至少存在一点 ,使得 成立的( ).必要条件 充分条件 充要条件 既非充分也非必要2. 函数 ，则（ ）.在任意闭区间 上罗尔定理一定成立； 在 上罗尔定理不成立；在 上罗尔定理
3、成立 ； 在任意闭区间上，罗尔定理都不成立；3. 设函数 在区间 上连续,在开区间 上可导,且 ,则必有( ).; ; 4. 下列函数在 上满足拉格朗日中值定理条件的是( ).; ; ;5. 函数 ,它在 内( ).不满足拉格朗日中值定理的条件; 满足拉格朗日中值定理的条件,且 ;满足中值定理的条件,但无法求出 的表达式;不满足中值定理条件,但有 满足中值定理的结论.6. 若 在开区间 内可导,且 是 内任意两点,则至少存在一点使得下式成立( ).;7. 设 是 内的可导函数 , 是 内的任意两点,则( ) .在 之间恰有一个 ,使得在 之间至少存在一点 ,使得对于 与 之间的任一点 ,均有8
4、. 若 在开区间 内可导,且对 内任意两点 恒有,则必有( ).(常数)9. 已知函数 ,则方程 有( ).分别位于区间 内的三个根;四个根,它们分别为 ;四个根,分别位于分别位于区间 内的三个根;10. 若 为可导函数, 为开区间 内一定点 ,而且有,则在闭区间 上必总有( ).11. 若 ,则方程 ( ).无实根 有唯一实根 有三个实根 有重实根 12. 若 在区间 上二次可微,且 (),则方程 在 上( ).没有实根 有重实根 有无穷多实根 有且仅有一个实根13. 求极限 时,下列各种方法正确的是( ). 用洛必达法则后,求得极限为 0;因为 不存在,所以上述极限不存在;原式=因为不能用
5、洛必达法则,故极限不存在;14. 设 为未定型 , 则 存在是 也存在的( ).必要条件 充分条件 充要条件 既非充分也非必要条件15. 若 与 可导, , 且 ,则( ).必有 存在,且 必有 存在,且如果 存在,且 如果 存在,不一定有16. 函数 在( ).单调增加 单调减少 单调增加,其余区间单调减少 单调减少,其余区间单调增加17. 已知 在 上连续,在 内可导,且当 时,有 ,又,则( ).在 上单调增加, 且 ;在 上单调增加, 且 ;在 上单调减少, 且 ;在 上单调增加, 但 正负符号无法确定.18. 当 时,有不等式( )成立.当 时 ,当 时当 时 ,当 时19. 函数
6、的图形 ,在( ).处处是凸的; 处处是凹的;为凸的,在 为凹的 为凹的 ,在 为凸的.20. 若在区间 内,函数 的一阶导数 ,二阶导数 ,则函数 在此区间内是( ).单调减少,曲线上凹; 单调增加,曲线上凹;单调减少,曲线下凹 单调增加,曲线下凹.21. 曲线 的凹凸区间是( ).为其凹区间; 为其凸区间; 当 时,曲线是凸的, 时是凹的;当 时,曲线是凹的, 时是凸的;22. 曲线 ( ).有一个拐点; 有二个拐点; 有三个拐点; 无拐点;23. 若点 为曲线 的拐点,则( ).必有 存在且等于零; 必有 存在但不一定等于零;如果 存在,必等于零; 如果 存在 ,必不等于零.24. 设函
7、数 在 处有 ,在 处 不存在,则( ).及 一定都是极值点; 只有 是极值点;及 都可能不是极值点; 及 至少有一个点是极值点.25. 曲线 ( ).有极值点 ,但无拐点; 有拐点 ,但无极值点;是极值点, 是拐点; 既无极值点又无拐点.26. 若连续函数在闭区间上有唯一的极大值和极小值,则( ).极大值一定是最大值,极小值一定是最小值;极大值一定是最大值,或极小值一定是最小值;极大值不一定是最大值,极小值不一定是最小值;极大值必大于极小值.27. 函数 在区间 上的最小值为 ( ).; 0 ; 1 ; 无最小值.28. 指出曲线 的渐近线( ).没有水平渐近线,也没有斜渐近线;为垂直渐近线
8、,无水平渐近线;既有垂直渐近线,又有水平渐近线;只有水平渐近线.29. 曲线 的渐近线有( ).1 条 ; 2 条 ; 3 条 ; 4 条 ;30. 设 在 内可导 ,且对于任意 ,当 时有 ,则( ).对于任意 ; 对于任意 ; 函数 单调增加 ; 函数 单调增加.31. 设函数 在 上 则 或 的大小顺序是( ).; ; .32. 设 有二阶连续导数,且 ,则( ).是 的极大值; 是 的极小值; 是曲线 的拐点; 不是 的极值, 不是曲线 的拐点.33. 在区间 内,方程 ( ).无实根 ; 有且仅有一个实根; 有且仅有两个实根; 有无穷多个实根34. 设 时, 与 是同阶无穷小,则 为
9、( ).1 ; 2 ; 3 ; 4 .35. 函数 不可导点的个数是( ).3 ; 2 ; 1 ; 0 .36. 设函数 在 的某个邻域内连续，且 为其极大值，则存在当 时，必有（ ）。； ；37 函数 在 取得极值，则 （ ）。0 ； ； 1 ； 2 。38 下列曲线集邮水平渐近线，又有垂直渐近线的是（ ）。； ； 。39 设 为正整数，则 （ ）。； 1 ； 0 ； 40 =（ ）。1 ； ； ； 。三. 计算题1. 求下列极限 2.求极限: 3.求极限: 4. 求极限: 5. 求极限: 6. 求极限: 7. 求极限: 8. 求极限: 9. 求极限: 10. 求极限: 11. 求极限: 1
10、2. 求极限: 13. 求极限: 14. 求极限: 按( x4)的幂展开多项式 x45x3x23x4 16. 应用麦克劳林公式按 x 幂展开函数 f(x)(x23x1)3 17. 求函数 按( x4)的幂展开的带有拉格朗日型余项的 3 阶泰勒公式18 求函数 按( x1)的幂展开的带有拉格朗日型余项的 n 阶泰勒公式求函数 f(x)tan x 的带有拉格朗日型余项的 3 阶麦克劳林公式20. 判定函数 f(x)arctan xx 单调性 21. 判定函数 f(x)xcos x (0x2)的单调性22. 确定下列函数的单调区间 y2x36x218x723. 确定下列函数的单调区间 (x0) 24
11、. 确定下列函数的单调区间 25. 确定下列函数的单调区间 y(x1)(x1)326. 确定下列函数的单调区间 27. 确定下列函数的单调区间 yxnex (n0x0)28. 确定下列函数的单调区间 yx|sin 2x| 29. 判定下列曲线的凹凸性 y4xx230. 判定下列曲线的凹凸性: (x0)31. 判定下列曲线的凹凸性: yx arctan x 32 求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间 yx35x23x5 33. 求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间 : yxex 34. 求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间: y(x1)4ex 35. 求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间 : yln(x
12、21)36. 试决定曲线 yax3bx2cxd 中的 a、 b、 c、 d使得 x2 处曲线有水平切线 (1 10)为拐点且点(2 44)在曲线上 37. 试决定 yk(x23)2中 k 的值使曲线的拐点处的法线通过原点38. 求函数的极值 y2x36x218x7 39. 求函数的极值 yxln(1x) 40. 求函数的极值 41. 求函数的极值 42. 求函数的极值 yex cos x 43. 求函数的极值 44. 求函数的极值 yxtan x 45. 试问 a 为何值时 函数 在 处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值46. 求下列函数的最大值、最小值 y=2x33x2 1x4 47
13、. 问函数 y2x36x218x7(1x4)在何处取得最大值？并求出它的最大值48. 问函数 (x0)在何处取得最小值？49. 问函数 (x0)在何处取得最大值？50. 求椭圆 4x2+y2=4 在点(0 2)处的曲率51. 求曲线 y=lnsec x 在点( x y)处的曲率及曲率半径52. 求抛物线 y=x24x+3 在其顶点处的曲率及曲率半径 53. 求曲线 xa cos3t ya sin 3t 在 tt0处的曲率四.证明题1 验证罗尔定理对函数 yln sin x 在区间 上的正确性2 验证拉格朗日中值定理对函数 y4x35x2x2 在区间01上的正确性3 对函数 f(x)sin x
14、及 F(x)x cos x 在区间 上验证柯西中值定理的正确性4 不用求出函数 f(x)(x1)(x2)(x3)(x4)的导数，说明方程 f (x)0 有几个实根并指出它们所在的区间 5证明恒等式 (1x1) 6若方程 a0xna1xn1 an1x0 有一个正根 x0证明方程a0nxn1a1(n1)xn2 an1 0 必有一个小于 x0的正根7设 ab0n1 证明nbn1(ab)a 时, | f(x)f(a)|g(x)g(a). 19设函数 在 上连续，在 内具有二阶导数，且连接点和 的直线与 交于点 ，证明：存在 ，使.20. 设 在 内连续, 在 内可导, ,且 为单调增函数,令,证明:
15、在 为单调增函数.21. 设函数 对一切 ,满足方程,证明:当 在点 处取得极值,则此极值必是极小值.22. 证明: 当 时, .五.应用题1. 某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋 现有存砖只够砌 20cm 长的墙壁 问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？2. 某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆 截面的面积为 5m2 问底宽 x 为多少时才能使截面的周长最小 从而使建造时所用的材料最省？ 3. 从一块半径为 的圆铁片上挖去一个扇形做成一漏斗(如图) 问留下的扇形的中心角 取多大时 做成的漏斗的容积最大？4. 求内接于椭圆 且两边分别平行于坐标轴的面积最大的矩形.5. 欲作一个容积为 300
16、0 的无盖圆柱形蓄水池,已知池底单位面积造价为池壁单位面积造价的 3 倍,问蓄水池的尺寸怎样设计才能使得总造价最省?6. 已知球的半径为 ,试在它的内接圆柱体中,求出具有最大侧面积的圆柱体的底半径与高.7. 求点 到曲线 的最短距离.8. 一艘停泊在海之中的军舰,离海岸垂直距离 9 ,离海岸上的兵营 ,今欲从舰上送信到兵营,已知送信人步行的速度为 ,划船速度是 ,问送信人应该在何处上岸,才能使信在最短的时间内到达兵营.(假定海岸线是直的)9. 与码头位于一条东西向直线形河流的同一侧,河岸边的 厂离码头 10公里, 厂在码头的正北方 4 公里,今要在两厂之间修一条公路,如果延河岸筑路费用为 3 千元/公里,不沿河岸筑路费用为 5 千元/公里,问此公路沿河岸修筑几公里,才使筑路总费用最省?
