1、东北师大附中四模理科数学试题2018届高三第四次模拟考试理科数学一、选择题: 本题共 12小题，每小题 5分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只一项是符合题目要求的.1.已知集合 1xA， 02xB，则（ ）A B B C 1xBA D 0xBA2.已知 Ra， i为虚数单位，若 ia1为实数， a则的值为（ ）A4 B3 C2 D13.孙子算经是我国古代的数学名著，书中有如下问题:“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗.问: 五人各得几何?”其意思为: 有 5个人分 60个橘子，他们分得的橘子数成公差为 3的等差数列，问 5人各得多少个橘子.这个问题中，得到橘子最多的人所得的橘子个
2、数是（ ）A15 B16 C18 D 214.已知 31a， 2lnb， 413logc则（ ）A c B a C. acb D cab5. 一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的外接球的表面积为（ ）A 34 B 25 C. 41 D 506. 执行如图所示的程序框图，若输出结果为 15，则判断框中应填入的条件 M为（ ）A 16k B 8k C. 16k D 8k7. 商场一年中各月份的收入.支出(单位:万元)情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（ ）A.2 至 3 月份的收入的变化率与 11至 12月份的收入的变化率相同B.支出最高值与支出最低值的比是 1:6C.第三季度平均收入为 5
3、0万元D.利润最高的月份是 2月份8.学校艺术节对同一类的 DCBA,四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下: 甲说:“ C或 D作品获得一等奖” ； 乙说:“ 作品获得一等奖” ；丙说:“ A, 两项作品未获得一等奖” ； 丁说:“ C作品获得一等奖”.若这四位同学只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是（ ）A 作品 B 作品 C. 作品 D 作品9.设抛物线 02pxy的焦点为 F，过点 0,pM且倾斜角为 45的直线与抛物线交于 BA,两点，若 1F,则抛物线的准线方程为（ ）A 0x B 2x C. 12x D 032x10.若函
4、数 fsinsin30 满足 ,1f2f且 21x的最小值为 4，则函数 xf的单调递增区间为（ ）A 62,5kZ B Zkk12,52 C. ,3 D ,111已知双曲线 12byax0,b在左，右焦点分别为 21,F，以 O为圆心，以 F1为半径的圆与该双曲线的两条渐近线在 轴左侧交于 BA,两点，且 AB2是等边三角形.则双曲线的离心率为（ ）A2 B 2 C. 13 D 312.已知函数 xfxea1，若对区间 ,0内的任意实数 1x， 2， 3，都有 21xff3f则实数 的取值范围是（ ）A 2,1 B 4,e C. 4,1 D 4,2e二、填空题: 本题共 4 小题，每小题 5
5、分，共 20 分.13.二项式621x的展开式中的常数项为 14.若 y,满足约束条件 023yx，则 yxz2的取值范围是 15.已知向量 AB与 C的夹角为 1，且 AB， 3C若 ACBP，且 BP,则实数 的值为 16. 已知在数列 na中， 21， nna21则数列 n的通项公式为 三、解答题: 共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.17.在 ABC中，内角 ,所对的边分别为 cba,，且 Bcos2Cb.(1)求角 的大小:(2)若点 D为的 中点，且 AD,求的值 CAsi
6、n的值18.如图 1,在正方形 BC中， E是 B的中点，点 F在线段 B上,且 BCF41.若将 AED, CF分别沿 E,折起，使 ,两点重合于点 M,如图 2.(1)求证: 平面 M;(2)求直线 与平面 FD所成角的正弦值19. 从甲、乙两种棉花中各抽测了 25根棉花的纤维长度(单位: m) 组成一个样本，且将纤维长度超过315m的棉花定为一级棉花.设计了如下茎叶图:20. 已知椭圆 2byaxC01的焦点坐标分別为 0,1F, 2, P为椭圆 C上一点，满足2153PF且 53cos1(1) 求椭圆 的标准方程:(2) 设直线 mkxyl:与椭圆 C交于 BA,两点，点 0,41Q，
7、若 BQA，求 k的取值范围.21. 已知函数 baxefx2，曲线 xfy在点 ,f处的切线方程为 0324yx(1) 求 ba,的值；(2) 证明: xfln.(二) 选做题: 共 10分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy中，以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C的极坐标方程为2cos0ina，过点 2,1P的直线 l的参数方程为 tyx21（ 为参数） ， l与 交于 BA,两点(1) 求 C的直角坐标方程和 l的普通方程；(2) 若 P, , 成等比数列，求 a的值.2
8、3.选修 4-5: 不等式选讲 已知定义在 R上的函数 xkxf2. N.存在实数 0x使 2f成立，(1) 求实数 k的值:(2)若 21m， n且求证 10nfm，求证 3169nm试卷答案一、选择题1-5: BACBA 6-10: ADBAD 11、12：AC二、填空题13. 60 14. ,4 15. 712 16. n2三、解答题17.解：（1）在 ABC中， CbBcaosos2由正弦定理得 csin2iniAsini，,0， 0，则 21s， ,0， 3在 ABD中，由余弦定理得 caADBaos2ac2142，在 C中，由余弦定理得 22bc，b， ac2 ac14，整理得 a
9、2143， 3，由正弦定理得 3sinA18.（1）证明：设正方形 BCD的边长为 4，由图 1知, BEA, ,1CF22EDE5, 2FE5, 2D52F, 90,即 D由题意知，在图 2中， M, , 平面 ME, F平面 E,且ME, 平面 E, F平面 , .又 D平面 , 平面 ,且 , 平面 D（2）解：由（1）知 F平面 D，则建立如图所示空间直角坐标系，过点 作 EMN，垂足为N在 MERt中， 54EN, 2MNE5,从而 0,54,2,0, 0,F, 0,52D,EM, 4,M, 0,52F.设平面 FD的一个法向量为 zyxn,，则 0524yxz，令 2x，则 1y，
10、 4z， 2,1.设直线 EM与平面 FD所成角为 ,则 EMcosin, n35.直线 EM与平面 FD所成角的正弦值为 3519. 解: (1) 1.乙种棉花的纤维平均长度大于甲种棉花的纤维平均长度(或:乙种棉花的纤维长度普遍大于甲种棉花的纤维长度).2.甲种棉花的纤维长度较乙种棉花的纤维长度更分散.(或:乙种棉花的纤维长度较甲种棉花的纤维长度更集中(稳定)，甲种棉花的纤维长度的分散程度比乙种棉花的纤维长度的分散程度更大.)3.甲种棉花的纤维长度的中位数为 307m.乙种棉花的纤维长度的中位数为 318m.4.乙种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在中间(均值附近).甲种棉花的纤维
11、长度除一个特殊值(352) 外，也大致对称，其分布较均匀.(2) 记事件 A为“从样本中随机抽取甲、乙两种棉花各 2根，其中恰有 3根一级棉花”.则 P251010C4(3) 由题意知， X的可能取值是 0,1,2,其相应的概率为2630, 1P25132, 2563XP,所以 的分布列为 X0 1 225625356XE251360120.解：（1）由题意设 1rPF， 2r则 213r，又 ar21， r41， a32在 21PF中，由余弦定理得， 21cosPF21rFa435225，解得 a， c， 322cab， 所求椭圆方程为 14yx（2）联立方程 mkxy1342，消去 y得
12、24xk028m，则 21x28， 214k，且 32设 AB的中心为 0,yxM，则 210x243km， 2043kmxy，Q, ,即， QMk12k，解得 把代入得2243k，整理得 038164，即 03422k解得 ,1,k21.（1）解： axexf2，由题意有2301bfa，解得 23,1b（2）证明：（方法一）由（1）知， 2xefx.设 xxehln2则只需证明 23xhxex11 xex12，设 xegx12则 02gx， g在 ,0上单调递增441e， 0321e3,0x，使得 00xg且当 0,时， x，当 ,时， 0xg当 x时， h， 单调递减当 ,0时， 0x，
13、单调递增0minhx020lnxe，由 0120xex，得 210xe，100x020l 002ln，设 ln2， 31,4x， xx1x12当 31,4x时， 0x， 在 31,4单调递减，0h231ln23l97，因此 23xh（方法二）先证当 x时， 2xexf ，即证 0e设 exg2， 0则 1g，且 0gx， x在 ,单调递增， x在 ,0单调递增，则当 时， 2ex（也可直接分析 232xex 001xe显然成立）再证 xln32设 xh，则 xh1，令 h，得 2x且当 21,0x时， 0， 单调递减；当 ,时， xh， 单调递增.xhln2302ln1，即 xln23又 3x
14、efx ， xfl22.解：（1）由 sinco2a，两边同乘 ，得 sincos2a化为普通方程为 )0(yx将 tyx21消去参数 t，得直线 l的普通方程为 01yx（2）把 tyx21代入 ayx2，整理得 028)1(2att21t)(a， 81t，由 2)1(8a0)(4，得 2a或 0， a， 2， 02821atPA, B, 成等比数列， PBA由 t的几何意义得 2121tt，即 21215tt2a)8(5，即 04a，解得 03a又 ， 210323.（1）解： 存在实数 0x使 2f成立， 2minxfkx2kk，则 ik解得 ， N， 1（2）证明：由（1）知， xxf2， 1， 2n，mf214m，同理， 14f0n， 104n，即 393n93 369210nm当且仅当 nm，又 ，得 4m， 3时取等号.
