1、 2018北京卷高考压轴卷数学（文）本试卷共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题纸交回。第一部分（选择题， 共 40 分）一、 选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项（1）设集合2|0Ax，2|1Bx，则 ABA. 21xB. 1xC. D. （2） “ 3x且 y”是“ 6xy”成立的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D即不充分也不必要条件（3） 已知函数 )0(12ln)(xaxf， 且有 )(xf2a恒成立，则实数 a的取值范围为A .0，2e
2、2 B. 0，2e 3C(0，2e 2 D(0，2e 3（4）已知正项等比数列 na的前 项和为 nS，且 1632a， 4与 6a的等差中项为 32，则 5S（ ）A5312B30 C.31 D54（5）将函数 2cos()6fx图像上所有点的横坐标缩短到原来的 12倍（纵坐标不变） ，得到函数yg的图像，则函数 ygx的图像的一个对称中心是（ ）A 1(,0)2 B (,0)6 C.(,0)12 D 5(,0)12（6）在 C 中， A， 3C， 是 ABC 所在平面上的一点. 若 3BCD，则 BAA. 1B. 2C. 5D. 92（7）在 B中， D为 的中点，点 F在线段 D（不含端
3、点）上，且满足 AFxy，若不等式 21atxy对 2,恒成立，则 a的最小值为（ ）A 4 B C.2 D4（8）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A 16243 B 163 C. 83 D 1683第二部分（非选择题， 共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分（9 ）已知复数 z满足 34ii，则 z （10 ）在一个容量为 5 的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为 10，但墨水污损了两个数据，其中一个数据的十位数字 1 未污损，即 9，10，11， ，那么这组数据的方差 s2 可能的最大值是 （11 ）已知函数 f（x）= x2e，f（x）
4、为 f（x）的导函数，则 f（0）的值为 （12 ）已知 O为坐标原点，双曲线21yab( ,ab)的右焦点为 F，以 O为直径的圆交双曲线的一条渐近线于异于原点的 A，若点 与 OF中点的连线与 垂直，则双曲线的离心率 e为 （13 ）已知圆 C：（x3） 2+（y4） 2=1 和两点 A（m ，0） ，B（m，0） （m0） ，若圆上存在点 P，使得APB=90，则 m 的取值范围是 （14 ）已知函数 ()gx对任意的 R，有 2()gx设函数2()xfg，且 ()f在区间0,)上单调递增，若 (20fa，则实数 a的取值范围为 三、解答题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演
5、算步骤或证明过程（15 ） （本小题 13 分）在 ABC 中，角 ,所对的边分别是 ,abc，且 sinsinABCbc+=.(1)求 tan的值；(2)若 228bc+-=，求 ABC 的面积.（16 ） （本小题 13 分）已知在递增等差数列 na中， 12， 3a是 1和 9的等比中项.（1）求数列 n的通项公式；（2）若 1()nnba， S为数列 nb的前 项和，求 10S的值.（17 ） （本小题 14 分）某市对大学生毕业后自主创业人员给予小额贷款补贴，贷款期限分为 6 个月、12 个月、18 个月、24 个月、36 个月五种，对于这五种期限的贷款政府分别补贴 200 元、30
6、0 元、300 元、400 元、400 元，从 2016 年享受此项政策的自主创业人员中抽取了 100 人进行调查统计，选取贷款期限的频数如表：贷款期限 6 个月 12 个月 18 个月 24 个月 36 个月频数 20 40 20 10 10（）若小王准备申请此项贷款，求其获得政府补贴不超过 300 元的概率（以上表中各项贷款期限的频率作为 2017 年自主创业人员选择各种贷款期限的概率） ；（）若小王和小李同时申请此项贷款，求两人所获得政府补贴之和不超过 600 元的概率（18 ） （本小题 13 分）如图，在多面体 ABCDEF中， 是正方形， BF平面 ACD， E平面 ABCD， F
7、E，点M为棱 的中点.（1）求证：平面 /BMD平面 EFC；（2）若 12A， ,求三棱锥 A的体积.（19 ） （本小题 14 分）已知椭圆2:1(0)xyCab的离心率为 32，上顶点 M到直线 340xy的距离为 3.（）求椭圆 的方程；（）设直线 l过点 4,2且与椭圆 C相交于 ,AB两点， l不经过点 ，证明：直线 MA 的斜率与直线 MB的斜率之和为定值.（20 ） （本小题 13 分）已知曲线 2()1ln()yfxaxR与 轴有唯一公共点 A.（）求实数 a的取值范围；（）曲线 ()f在点 A处的切线斜率为 27a.若两个不相等的正实数 1x， 2满足12()fx，求证：
8、12x.数学（文）试卷答案及评分参考一、选择题：1.【 答案】C2.【 答案】A3.【 答案】B4.【 答案】.C5.【 答案】B6.【 答案】A7.【 答案】B8.【 答案】D二、填空题： 9.【 答案】110.【 答案】36【 解析】设这组数据的最后 2 个分别是：10+x，y，则 9+10+11+（10+x）+y=50，得：x+y=10，故 y=10x，故 S2= 1+0+1+x2+（x） 2= + x2，显然 x 最大取 9 时，S 2 最大是 36，故答案为：3611.【 答案】2【 解析】 = ； 故答案为：212.【 答案】 213.【 答案】4，6【 解析】圆 C：（x3） 2
9、+（y4） 2=1 的圆心 C（3，4） ，半径为 1，圆心 C 到 O（0，0）的距离为 5，圆 C 上的点到点 O 的距离的最大值为 6，最小值为 4，再由APB=90，以 AB 为直径的圆和圆 C 有交点，可得 PO= AB=m，故有 4m6，故答案为：4，614.【 答案】 1a三、解答题：15 （本小题满分 13 分）【 答案】(1) sincosABCab+=，由正弦定理得 sincosinABC+=， 1ta2=.(2)由 228bc-，得228aba-=， 4csb， 14sinsint1coABCSaC= .16 （本小题满分 13 分）【 答案】 （）由 n为等差数列，设公
10、差为 d，则 1()nad. 3a是 1和 9的等比中项，2319a，即 2()(8)d，解之，得 0（舍） ，或 2. nn.（） 11()()2()nnban.1210nS 1)30 50()21.17 （本小题满分 13 分）【 答案】 （1）由题意，所求概率为（2）记 a，b，c，d，e 分别为选择 6 个月、12 个月、18 个月、24 个月、36 个月贷款，由题意知小王和小李的所有选择有：aa，ab，ac，ad，ae，ba，bb，bc，bd，be，ca，cb，cc，cd，ce，da，db，dc，dd，de，ea，eb，ec，ed，ee，共 25 种，其中使得小王和小李获补贴之和不超
11、过 600 的有aa，ab，ac，ad，ae，ba，bb，bc，ca，cb，cc，da，ea，共 13 种，所以所求概率为 【 解析】 （1）由题意，所求概率为 P= （2）记 a，b，c，d，e 分别为选择 6 个月、12 个月、18 个月、24 个月、36 个月贷款，由题意知小王和小李的所有选择有：aa，ab，ac，ad，ae，ba，bb，bc，bd，be，ca，cb，cc，cd，ce，da，db，dc，dd，de，ea，eb，ec，ed，ee，共 25 种，得出其中使得小王和小李获补贴之和不超过 600 的有 13 种，即可得出所求概率18 （本小题满分 13 分）【 答案】 （1）证明
12、：设 AC与 BD交于点 N，则 为 AC的中点， /MNEC. 平面 EFC，EC平面 F， /MN平面 EF. B平面 ， 平面 ，且 DE， /BF， D为平行四边形， /B. 平面 EFC， 平面 EFC， /平面 C.又 MNB，平面 /DM平面 .（2）连接 ,.在正方形 AB中， BD，又 F平面 ABD， FAC. BD,平面 DEF，且垂足为 N， 1122333ACEFVS,三棱锥 CE的体积为 23.19 （本小题满分 14 分）【 答案】 （）解:由题可得， 223,4, ceabc，解得 4,2ab，所以椭圆 C的方程为 164xy.（）易知直线 l斜率恒小于 0，设
13、直线 l方程： 24,0kx，且 1k， 12,AxyB，联立2, 164ykx得 216640x，则121226,4kkx，因为 12112144MABxkxy，所以 124ABkkx 6214kk（为定值）.20 （本小题满分 14 分）【 答案】 （）解：函数 ()f的定义域为 (0,). (10f.由题意，函数 ()fx有唯一零点 1. 2afx.（1）若 0a，则 .显然 ()恒成立，所以 ()fx在 ,)上是增函数.又 ()f，所以 符合题意.（2）若 0a，2()xaf. ()02afx； ()02afxx.所以 ()fx在 ,)2上是减函数，在 (,)上是增函数.所以 min(
14、)()ff1ln2a.由题意，必有 ()0af（若 ()02af，则 ()0fx恒成立， ()fx无零点，不符合题意）若 ()2f，则 1ln.令 l(0)aga，则 1()ln2ag1ln2a.()02； ().所以函数 ga在 (,上是增函数，在 (2,)上是减函数.所以 max()0.所以 )0ga，当且仅当 2a时取等号.所以， 2f，且 2.取正数1in,abe，则 2()1lnlfbab1()0a；取正数 c，显然 c.而 2()lfcx，令 ()lnhx，则 1()hx.当 x时，显然 1()0h.所以 ()hx在 1,)上是减函数.所以，当 1时， ln()10h，所以 lnx
15、.因为 c，所以 2()1fcac2()1acc.又 ()fx在 0,a上是减函数，在 (,)上是增函数，则由零点存在性定理， ()fx在 0,)2a、 (,)上各有一个零点.可见， 02a，或 不符合题意.注： 时，若利用 0lim()xf， ()02af， lim()xf，说明 ()fx在 0,)2a、(,)2a上各有一个零点.若 ()0f，显然 12a，即 2.符合题意.综上，实数 a的取值范围为 |0,a或 .（）由题意， 2(1)7f.所以 29，即 3a.由（）的结论，得 3. ()13lnfxx， ()f在 0,)上是增函数.()0fxx； 0.由 12()f，不妨设 12x，则 12x.从而有 x，即 2(3ln)3ln.所以 21123ln01212x.令 ()ptt，显然 ()pt在 ,)上是增函数，且 (1)0p.所以 0.从而由 12123ln0x，得 12x.
