1、第 1 页（共 43 页）【考点训练 】三角形的形状判断 -2(扫描二维码可查看试题解析)一、选择题（共 20 小题）1 （2014 静安区校级模拟）若 ，则ABC 为（ ）A等腰三角形 B直角三角形 C锐角三角形 D不能判断2 （2014 秋 郑州期末）若 ABC 的三个内角 A、B、C 满足 6sinA=4sinB=3sinC，则ABC（ ）A一定是锐角三角形B一定是直角三角形C一定是钝角三角形D可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形3 （2014 秋 祁县校级期末） A 为三角形 ABC 的一个内角，若 sinA+cosA= ，则这个三角形的形状为（ ）A锐角三角形 B钝角三角形C等腰直角
2、三角形D等腰三角形4 （2014 天津学业考试）在 ABC 中，sinAsinBcosAcosB，则这个三角形的形状是（ ）A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D等腰三角形5 （2014 春 禅城区期末）已知：在 ABC 中， ，则此三角形为（ ）A直角三角形 B等腰直角三角形第 2 页（共 43 页）C等腰三角形 D等腰或直角三角形6 （2014 南康市校级模拟）已知 ABC 满足 ，则ABC 是（ ）A等边三角形 B锐角三角形 C直角三角形 D钝角三角形7 （2014 马鞍山二模）已知非零向量 与 满足 且= 则ABC 为（ ）A等边三角形 B直角三角形C等腰非等边三角形D三边均不相
3、等的三角形8 （2014 蓟县校级二模）在 ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 所对的边，且2c2=2a2+2b2+ab，则ABC 是（ ）A钝角三角形 B直角三角形 C锐角三角形 D等边三角形9 （2014 黄冈模拟）已知在 ABC 中，向量 与 满足（ + ） =0，且 = ，则ABC 为（ ）A三边均不相等的三角形B直角三角形C等腰非等边三角形D等边三角形10 （2014 奉贤区二模）三角形 ABC 中，设 = ， = ，若 （ + ）0，则三角形 ABC 的形状是（ ）A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D无法确定第 3 页（共 43 页）11 （2015 温江区校级模
4、拟）已知向量，则ABC 的形状为（ ）A直角三角形 B等腰三角形 C锐角三角形 D钝角三角形12 （2014 秋 景洪市校级期末）在 ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为a、b、c，且 ，则 ABC 的形状为（ ）A等边三角形 B等腰直角三角形C等腰或直角三角形D直角三角形13 （2014 咸阳三模） ABC 的三个内角 A、B 、C 成等差数列，则ABC 一定是（ ）A直角三角形 B等边三角形C非等边锐角三角形D钝角三角形14 （2014 奎文区校级模拟）在 ABC 中，P 是 BC 边中点，角 A、B 、C 的对边分别是 a、b、c，若 ，则 ABC 的形状是（ ）A等边三角形B钝角
5、三角形C直角三角形D等腰三角形但不是等边三角形15 （2014 秋 正定县校级期末）在 ABC 中，tanAsin 2B=tanBsin2A，那么ABC一定是（ ）A 锐角三角形 B 直角三角形第 4 页（共 43 页） C等腰三角形 D等腰三角形或直角三角形16 （2014 漳州四模）在 ABC 中的内角 A、B 、C 所对的边分别为 a，b，c，若b=2ccosA，c=2bcosA 则ABC 的形状为（ ）A直角三角形 B锐角三角形C等边三角形 D等腰直角三角形17 （2014 云南模拟）在 ABC 中，若 tanAtanB1，则ABC 是（ ）A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D
6、无法确定18 （2013 秋 金台区校级期末）双曲线 =1 和椭圆=1（a0，mb0）的离心率互为倒数，那么以 a，b，m 为边长的三角形是（ ）A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D等腰三角形19 （2014 红桥区二模）在 ABC 中， “ ”是“ABC 为钝角三角形”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件20 （2014 秋 德州期末）在 ABC 中，若 acosA=bcosB，则ABC 的形状是（ ）A等腰三角形 B直角三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形二、填空题（共 10 小题） （除非特别说明，请填准确值）第 5 页（共 43 页）2
7、1 （2014 春 沭阳县期中）在 ABC 中，已知 sinA=2sinBcosc，则ABC 的形状为 22 （2014 秋 思明区校级期中）在 ABC 中，若 a=9，b=10，c=12，则ABC 的形状是 23 （2013 文峰区校级一模）已知 ABC 中，AB= ，BC=1，tanC= ，则 AC等于 24 （2013 春 广陵区校级期中）在 ABC 中，若 2cosBsinA=sinC，则ABC 的形状一定是 三角形25 （2014 秋 潞西市校级期末）在 ABC 中，已知 c=2acosB，则ABC 的形状为 26 （2014 春 常熟市校级期中）在 ABC 中，若 ，则ABC 的形
8、状是 27 （2014 春 石家庄期末）在 ABC 中，若 sin2A+sin2Bsin 2C，则该 ABC 是 三角形（请你确定其是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形） 28 （2013 春 遵义期中） ABC 中，b= a，B=2A ，则 ABC 为 三角形29 （2013 秋 沧浪区校级期末）若 ABC 的三个内角满足sinA：sinB ：sinC=5 ：11：13，则ABC 为 （填锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 ）30 （2014 春 宜昌期中）在 ABC 中，sinA=2cosBsinC，则三角形为 三角形第 6 页（共 43 页）【考点训练】三角形的形状判断-2参考答案与试
9、题解析一、选择题（共 20 小题）1 （2014静安区校级模拟）若 ，则ABC 为（ ）A等腰三角形 B直角三角形 C锐角三角形 D不能判断考点： 三角形的形状判断菁优网版权所有专题： 计算题分析： 利用平方差公式，由，推出AB=AC，即可得出ABC 为等腰三角形解答： 解：由，得：，故 AB=AC，ABC 为等腰三角形，故选 A点评： 本小题主要考查向量的数量积、向量的模、向量在几何中的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合第 7 页（共 43 页）思想、化归与转化思想属于基础题2 （2014 秋郑州期末）若 ABC 的三个内角 A、B、C 满足 6sinA=4sinB=3sinC，
10、则ABC（ ）A一定是锐角三角形B一定是直角三角形C一定是钝角三角形D可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形考点： 三角形的形状判断菁优网版权所有专题： 计算题；解三角形分析： 根据题意，结合正弦定理可得a：b：c=4：6：8，再由余弦定理算出最大角 C 的余弦等于 ，从而得到ABC 是钝角三角形，得到本题答案解答： 解： 角A、B、C 满足6sinA=4sinB=3sinC，根据正弦定理，得 6a=4b=3c，整理得a：b：c=4：6：8设a=4x，b=6x，c=8x，由余弦定第 8 页（共 43 页）理得：cosC=C 是三角形内角，得C（0，） ，由cosC= 0，得 C 为钝角因此，AB
11、C是钝角三角形故选：C点评： 本题给出三角形个角正弦的比值，判断三角形的形状，着重考查了利用正、余弦定理解三角形的知识，属于基础题3 （2014 秋祁县校级期末）A 为三角形 ABC 的一个内角，若 sinA+cosA= ，则这个三角形的形状为（ ）A锐角三角形 B钝角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形考点： 三角形的形状判断菁优网版权所有专题： 计算题；解三角形分析： 将已知式平方并利用sin2A+cos2A=1第 9 页（共 43 页），算出sinAcosA=0，结合 A（0，）得到 A 为钝角，由此可得ABC是钝角三角形解答： 解：sinA+cosA=，两边平方得（sinA+cosA）2
12、= ，即sin2A+2sinAcosA+cos2A=，sin2A+cos2A=1，1+2sinAcosA=，解得sinAcosA= （1）= 0，A（0 ，）且sinAcosA0，A（ ，） ，可得ABC 是钝角三角形故选：B点评： 本题给出三角形的内角 A 的正弦、余弦的第 10 页（共 43 页）和，判断三角形的形状着重考查了同角三角函数的基本关系、三角形的形状判断等知识，属于基础题4 （2014天津学业考试）在 ABC 中，sinA sinBcosAcosB，则这个三角形的形状是（ ）A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D等腰三角形考点： 三角形的形状判断；两角和与差的余弦函数菁优
13、网版权所有专题： 计算题分析： 对不等式变形，利用两角和的余弦函数，求出 A+B 的范围，即可判断三角形的形状解答： 解：因为在ABC 中，sinAsinBcosAcosB，所以cos（A+B ）0，所以A+B（0，） ，C ，所以三角形是钝角三角形故选 B点评： 本题考查三角形的形状的判定，两角和的余弦函数的应用，注意角的第 11 页（共 43 页）范围是解题的关键5 （2014 春禅城区期末）已知：在 ABC 中， ，则此三角形为（ ）A直角三角形 B等腰直角三角形C等腰三角形 D等腰或直角三角形考点： 三角形的形状判断菁优网版权所有专题： 计算题分析： 由条件可得sinCcosB=cos
14、CsinB，故sin（CB）=0，再由CB，可得 CB=0，从而得到此三角形为等腰三角形解答： 解：在ABC中，则 ccosB=bcosC，由正弦定理可得 sinCcosB=cosCsinB，sin（C B）=0，又CB，CB=0，故此三角形为等腰三角形，第 12 页（共 43 页）故选 C点评： 本题考查正弦定理，两角差的正弦公式，得到sin（CB）=0 及CB，是解题的关键6 （2014南康市校级模拟）已知 ABC 满足 ，则 ABC 是（ ）A等边三角形 B锐角三角形 C直角三角形 D钝角三角形考点： 三角形的形状判断菁优网版权所有专题： 计算题；平面向量及应用分析： 根据向量的加减运算
15、法则，将已知化简得= + ，得 =0结合向量数量积的运算性质，可得 CACB，得ABC 是直角三角形解答： 解：ABC 中，第 13 页（共 43 页）= （ ）+ = + 即 = + ，得 =0 即CACB，可得ABC 是直角三角形故选：C点评： 本题给出三角形 ABC 中的向量等式，判断三角形的形状，着重考查了向量的加减法则、数量积的定义与运算性质等知识，属于基础题7 （2014马鞍山二模）已知非零向量 与 满足 且= 则ABC 为（ ）A等边三角形 B直角三角形C等腰非等边三角形D三边均不相等的三角形考点： 三角形的形状判断菁优网版权所有专题： 计算题分析： 通过向量的数量积为 0，判断
16、第 14 页（共 43 页）三角形是等腰三角形，通过=求出等腰三角形的顶角，然后判断三角形的形状解答： 解：因为，所以BAC的平分线与 BC垂直，三角形是等腰三角形又因为，所以BAC=60，所以三角形是正三角形故选 A点评： 本题考查向量的数量积的应用，考查三角形的判断，注意单位向量的应用，考查计算能力8 （2014蓟县校级二模）在 ABC 中，a ，b，c 分别是角 A，B，C 所对的边，且2c2=2a2+2b2+ab，则ABC 是（ ）A钝角三角形 B直角三角形 C锐角三角形 D等边三角形考点： 三角形的形状判断菁优网版权所有专题： 计算题第 15 页（共 43 页）分析： 整理题设等式，
17、代入余弦定理中求得 cosC 的值，小于 0 判断出 C 为钝角，进而可推断出三角形为钝角三角形解答： 解：2c2=2a2+2b2+ab，a2+b2c2= ab，cosC= 0则ABC 是钝角三角形故选 A点评： 本题主要考查了三角形形状的判断，余弦定理的应用一般是通过已知条件，通过求角的正弦值或余弦值求得问题的答案9 （2014黄冈模拟）已知在 ABC 中，向量 与 满足（ + ） =0，且 = ，则ABC 为（ ）A三边均不相等的三角形B直角三角形C等腰非等边三角形D等边三角形第 16 页（共 43 页）考点： 三角形的形状判断菁优网版权所有专题： 计算题分析： 设，由 =0，可得ADBC
18、，再根据边形 AEDF是菱形推出EAD=DAC，再由第二个条件可得BAC=60，由ABHAHC，得到AB=AC，得到ABC 是等边三角形解答： 解：设，则原式化为 =0，即 =0，ADBC四边形 AEDF是菱形， |=| | |cosBAC= ，第 17 页（共 43 页）cosBAC=，BAC=60，BAD=DAC=30，ABHAHC，AB=ACABC 是等边三角形点评： 本题考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，三角形形状的判断，属于中档题10 （2014奉贤区二模）三角形 ABC 中，设 = ， = ，若 （ + ）0，则三角形ABC 的形状是（ ）A锐角三角形 B钝角三角形 C直
19、角三角形 D无法确定考点： 三角形的形状判断菁优网版权所有专题： 计算题；解三角形分析： 依题意，可知+ = ；利用向量的数量积即可判断三角形 ABC 的形状解答： 解： = ，= ， + = + =第 18 页（共 43 页）； （ + ）0， 0，即| | |cosBAC0，| | |0，cosBAC0，即BAC90三角形 ABC为钝角三角形故选 B点评： 本题考查三角形的形状判断，+ = 的应用是关键，考查转化思想与运算能力，属于中档题11 （2015温江区校级模拟）已知向量，则ABC 的形状为（ ）A直角三角形 B等腰三角形 C锐角三角形 D钝角三角形考点： 三角形的形状判断；数量积表
20、示两个向量的夹角菁优网版权所有专题： 平面向量及应用分析： 由数量积的坐标运算可得0，而第 19 页（共 43 页）向量的夹角=B，进而可得 B 为钝角，可得答案解答： 解：由题意可得：=（cos120， sin120）（cos30 ，sin45）=（ ，）（ ， ）= 0，又向量的夹角=B，故cos（ B）0，即cosB0，故 B为钝角，故ABC 为钝角三角形故选 D点评： 本题为三角形性质的判断，由向量的数量积说明角的范围是解决问题的关键，属中档题第 20 页（共 43 页）12 （2014 秋 景洪市校级期末）在 ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且，则ABC 的形
21、状为（ ）A等边三角形 B等腰直角三角形C等腰或直角三角形D直角三角形考点： 三角形的形状判断菁优网版权所有专题： 计算题分析： 利用二倍角的余弦函数公式化简已知等式的左边，整理后表示出cosA，再利用余弦定理表示出 cosA，两者相等，整理后得到a2+b2=c2，根据勾股定理的逆定理即可判断出此三角形为直角三角形解答： 解： cos2 =， =，cosA= ，又根据余弦定理得：cosA=，第 21 页（共 43 页）= ，b2+c2a2=2b2，即 a2+b2=c2，ABC 为直角三角形故选 D点评： 此题考查了三角形形状的判断，考查二倍角的余弦函数公式，余弦定理，以及勾股定理的逆定理；熟练
22、掌握公式及定理是解本题的关键13 （2014咸阳三模） ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列， ，则ABC 一定是（ ）A直角三角形 B等边三角形C非等边锐角三角形D钝角三角形考点： 三角形的形状判断菁优网版权所有专题： 计算题；解三角形分析： 由，结合等腰三角形三线合一的性质，我们易判断ABC为等腰三角形，又由ABC 的三个内角第 22 页（共 43 页）A、B、C 成等差数列，我们易求出 B=60，综合两个结论，即可得到答案解答： 解：ABC 的三个内角A、B、C 成等差数列，2B=A+C又A+B+C=180，B=60设 D 为 AC 边上的中点，则+ =2 又， 即ABC 为等腰三
23、角形，AB=BC，又 B=60，故ABC 为等边三角形故选：B点评： 本题考查的知识点是平面向量的数量积运算和等差数列的性质，其中根据平面向量的数量积运算，判断ABC 为等腰三角形是解答本题的关键第 23 页（共 43 页）14 （2014奎文区校级模拟）在 ABC 中，P 是 BC 边中点，角 A、B 、C 的对边分别是a、b、c，若 ，则 ABC 的形状是（ ）A等边三角形B钝角三角形C直角三角形D等腰三角形但不是等边三角形考点： 三角形的形状判断菁优网版权所有专题： 计算题；解三角形分析： 将 c +a +b= 转化为以与 为基底的关系，即可得到答案解答： 解： = ， = ，c +a
24、+b=c a +b（ ）=即c +b （a+b） = ，P 是 BC 边中点， = （ +） ，c +b （a+b）（ + ）第 24 页（共 43 页）= ，c （a+b ）=0且 b （a+b）=0，a=b=c故选 A点评： 本题考查三角形的形状判断，突出考查向量的运算，考查化归思想与分析能力，属于中档题15 （2014 秋 正定县校级期末）在 ABC 中，tanA sin2B=tanBsin2A，那么ABC 一定是（ ）A锐角三角形 B直角三角形C等腰三角形 D等腰三角形或直角三角形考点： 三角形的形状判断菁优网版权所有专题： 综合题分析： 把原式利用同角三角函数间的基本关系变形后，得到
25、sin2A=sin2B，由 A 和 B 为三角形的内角，得到 2A 与 2B相等或互补，从而得到 A 与B 相等或互余，即三角形为等腰三角形或直角三角形解答： 解：原式tanAsin2B=tanBsin2A，变形为：第 25 页（共 43 页）=，化简得：sinBcosB=sinAcosA，即sin2B= sin2A，即sin2A=sin2B，A 和 B 都为三角形的内角，2A=2B 或2A+2B=，即 A=B 或A+B= ，则ABC 为等腰三角形或直角三角形故选 D点评： 此题考查了三角形形状的判断，熟练掌握三角函数的恒等变换把原式化为sin2A=sin2B 是解本题的关键16 （2014漳
26、州四模）在 ABC 中的内角 A、B、C 所对的边分别为 a，b，c，若b=2ccosA，c=2bcosA 则ABC 的形状为（ ）A直角三角形 B锐角三角形C等边三角形 D等腰直角三角形考点： 三角形的形状判断菁优网版权所有专题： 计算题分析： 通过两个等式第 26 页（共 43 页）推出 b=c，然后求出 A 的大小，即可判断三角形的形状解答： 解：因为在ABC 中的内角A、B、C 所对的边分别为a，b，c，若b=2ccosA，c=2bcosA所以，所以b=c，2bcosA=c，所以cosA= ，A=60，所以三角形是正三角形故选 C点评： 本题考查三角形的形状的判断，三角函数值的求法，考
27、查计算能力17 （2014云南模拟）在 ABC 中，若 tanAtanB1，则 ABC 是（ ）A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D无法确定考点： 三角形的形状判断菁优网版权所有专题： 综合题分析： 利用两角和的正切函数公式表示出tan（A+B） ，根据 A 与 B 的范围以及tanAtanB1，得到 tanA 和第 27 页（共 43 页）tanB 都大于0，即可得到 A与 B 都为锐角，然后判断出tan（A+B）小于 0，得到A+B 为钝角即C 为锐角，所以得到此三角形为锐角三角形解答： 解：因为 A 和B 都为三角形中的内角，由tanAtanB1，得到1tanAtanB0，且得到
28、tanA0，tanB0，即 A，B为锐角，所以tan（A+B）=0，则 A+B（ ， ） ，即 C都为锐角，所以ABC 是锐角三角形故答案为：锐角三角形点评： 此题考查了三角形的形状判断，用的知识有两角和与差的正切函数公式解本题的思路是：根据第 28 页（共 43 页）tanAtanB1 和A 与 B 都为三角形的内角得到 tanA 和 tanB都大于 0，即A 和 B 都为锐角，进而根据两角和与差的正切函数公式得到tan（A+B）的值为负数，进而得到 A+B 的范围，判断出C 也为锐角18 （2013 秋 金台区校级期末）双曲线 =1 和椭圆 =1（a0，mb0）的离心率互为倒数，那么以 a
29、，b，m 为边长的三角形是（ ）A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D等腰三角形考点： 三角形的形状判断；椭圆的简单性质；双曲线的简单性质菁优网版权所有专题： 计算题分析： 求出椭圆与双曲线的离心率，利用离心率互为倒数，推出a，b，m 的关系，判断三角形的形状解答： 解：双曲线=1 和椭圆=1（a第 29 页（共 43 页）0，mb0）的离心率互为倒数，所以，所以b2m2a2b2b4=0即 m2=a2+b2，所以以a，b，m 为边长的三角形是直角三角形故选 C点评： 本题是中档题，考查椭圆与双曲线基本性质的应用，三角形形状的判断方法，考查计算能力19 （2014红桥区二模）在 ABC 中
30、， “ ”是“ABC 为钝角三角形”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件考点： 三角形的形状判断菁优网版权所有专题： 计算题分析： 利用平面向量的数量积运算法则化简已知的不等式，得到两向量的夹角为锐角，从而得到三角形的内角为钝角，即可得到三角形为钝角三角第 30 页（共 43 页）形；反过来，三角形 ABC 若为钝角三角形，可得 B 不一定为钝角，故原不等式不一定成立，可得前者是后者的充分不必要条件解答： 解：，即| | |cos0，cos0，且（0，） ，所以两个向量的夹角 为锐角，又两个向量的夹角 为三角形的内角 B 的补角，所以 B 为钝角，所以ABC 为钝角三角形，反过来，ABC为钝角三角形，不一定 B 为钝角，则“ ”是“ABC 为钝角三角形”的充分条件不必要条件故选 A点评： 此题考查了三角形形状的判断，涉及的知
