1、2018 年石景山区高三统一测试数学（理）试卷第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1.设集合 |(1)20Ax，集合 |13Bx，则 AB（ ）A |3 B |1x C |2 D |3x2.下列函数中既是奇函数，又在区间 (0,)上单调递减的函数为（ ）A yx B 3yxC 12log D 11,iS3.执行如图所示的程序框图，则输出的 S的值是（ ）A B 2C 4 D 74.在 B 中， 60， 4AC，23，则 的面积为（ ）A 4 BC D 25.若某多面体的三视图（单位： cm）如图所示，
2、则此多面体的体积是（ ）A. 378cm B. 2C. 356c D. 12m6.现有 4种不同颜色对如图所示的四个部分进行涂色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的涂色方法共有（ ）是开始否3i输出 S结束1SiiA 24种 B 30种 C 36种 D 48种7.设 ,abR，则“ ab”是“ ab”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件8.如图，已知线段 上有一动点 D（ 异于 AB、 ）,线段 CDAB,且满足 2CADB（ 是大于0且不等于 1的常数），则点 C的运动轨迹为（ ）A圆的一部分 B椭圆的一部分C双曲线的一部分 D抛物线的一部
3、分第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9.双曲线21xy的焦距是_,渐近线方程是_.10.若变量 ,x满足2,390,xy 则 2xy的最大值是_.11.已知圆 C的参数方程为cos,in2y（ 为参数），以原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为 ss1，则直线截圆 C所得的弦长是_12. 已知函数 31,()xf，若关于 x的方程 ()fxk有两个不同零点，则 k的取值范围是_13.如图所示：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”若某勾股树含有 10
4、23个正方形，且其最大的正方形的边长为 2，则其最小正方形的边长为_14.设 W是由一平面内的 (n ） 个向量组成的集合若 aW，且 的模不小于 中除 a外的所有向量和的模则称 a是 的极大向量.有下列命题：BACD若 W中每个向量的方向都相同，则 W中必存在一个极大向量；给定平面内两个不共线向量 ,ab，在该平面内总存在唯一的平面向量 cab，使得 =,Wabc中的每个元素都是极大向量；若 123213=,=,a，中的每个元素都是极大向量，且 12,中无公共元素，则 12中的每一个元素也都是极大向量其中真命题的序号是_三、解答题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过
5、程15 （本小题共 13 分）已知函数 2()cos3sinco1fxx.（）求函数 的最小正周期;（）求函数 ()fx在区间 ,2上的最小值和最大值.16 （本小题共 13 分）抢“微信红包” 已经成为中国百姓欢度春节时非常喜爱的一项活动小明收集班内20 名同学今年春节期间抢到红包金额 x（元）如下（四舍五入取整数）：102 52 41 121 72 162 50 22 158 4643 136 95 192 5999 22 68 98 79对这 20 个数据进行分组，各组的频数如下：组别 红包金额分组 频数A 0x40 2B 40 x80 9C 80x120 mD 120 x160 3E
6、160 x200 n（）写出 m，n 的值，并回答这 20 名同学抢到的红包金额的中位数落在哪个组别；（）记 C 组红包金额的平均数与方差分别为 1v、 2s，E 组红包金额的平均数与方差分别为 2v、 s，试分别比较 1v与 2、 1s与 2的大小；（只需写出结论）（）从 A，E 两组的所有数据中任取 2 个数据，记这 2 个数据差的绝对值为 ，求 的分布列和数学期望17 （本小题共 14 分）如图，四边形 ABCD是正方形， PA平面 BCD， E/ PA， 4B， 2E， F为 PD的中点（）求证： FP；（）求证： /平面 E；（）求二面角 DC的大小18 （本小题共 13 分）在平面
7、直角坐标系 xOy中，动点 E到定点 (1,0)的距离与它到直线 1x的距离相等（）求动点 E的轨迹 C的方程；（）设动直线 :lkb与曲线 相切于点 P，与直线 x相交于点 Q证明：以 PQ为直径的圆恒过 x轴上某定点19 （本小题共 14 分）已知 2()xfea，曲线 ()yfx在 1,()f处的切线方程为 1ybx.（）求 ,b的值；（）求 ()f在 0,1上的最大值；（）当 xR时，判断 ()yfx与 1yb交点的个数.（只需写出结论，不要求证明）FEBADC20 （本小题共 13 分）对于项数为 m（ 1）的有穷正整数数列 na,记 12max,kkb （ 1,2m ） ，即 kb
8、为12,ka中的最大值，称数列 nb为数列 的“创新数列”.比如 ,35的“创新数列”为 1,35.（）若数列 na的“创新数列” 为 1,2,3,4,4，写出所有可能的数列 na；（）设数列 b为数列 n的“创新数列” ，满足 1208kmab（ 1,2km ） ，求证： kab（1,2km） ；（）设数列 n为数列 na的“创新数列” ，数列 n中的项互不相等且所有项的和等于所有项的积，求出所有的数列 .2018 年石景山区高三统一测试数学（理）试卷答案及评分参考一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 A B C C A D C B二、
9、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分（两空 题目，第一空 2 分，第 二空 3 分）三、解答题 共 6 小题，共 80 分15 （本小题共 13 分）解：（） 2()cos3sinco1fxx132(cosin2)xxin)65 分所以周期为 2T. 6 分（）因为 x，所以 713266. 7 分所以当 x时，即 x时 max()1f.当 326时,即 2时 in2. 13 分16 （本小题共 13 分）解：（）m=4，n =2，B； 3 分（） 1v 2， 1s 2； 6 分（） 的可能取值为 0，30，140，170，0 30 140 170P16161313的数学期望为 2
10、5034073E 13 分17 （本小题共 14 分）（）证明：依题意， PA平面 BCD 题号 9 10 11 12 13 14答案 23， 2yx1020,1（ ） 32如图，以 A为原点，分别以 AD、 B、 P的方向为 x轴、 y轴、 z轴的正方向建立空间直角坐标系 2 分依题意，可得 (0,)， (,40)， (,)C， (4,0)， (,4)P， (0,2)E， (,0)F 因为 2,AF， ,P，所以 80()C 5 分所以 . 6 分（）证明：取 P的中点 M，连接 E因为 (2,)， (2,0)， (4,0)BD，所以 BDE，所以 / 8 分又因为 M平面 PC， B平面
11、PEC，所以 /平面 9 分（）解：因为 AFD， ，P，所以 平面 C，故 (2,0)AF为平面 PCD的一个法向量10 分设平面 E的法向量为 ,nxyz，因为 (4,)P， (0,42)P，所以 0,nCE即 ,xyz令 1y，得 ， 2z，故 (1,2)n 12 分所以 043cos,6AFn， 13 分所以二面角 DPCE的大小为 5 14 分18 （本小题共 13 分）（）解：设动点 E 的坐标为 (,)xy，由抛物线定义知，动点 E 的轨迹是以 (1,0)为焦点， 1x为准线的抛物线，z yxMFEPBADC所以动点 E 的轨迹 C 的方程为 24yx 5 分（）证明：由 24y
12、kxb，消去 x得： 0kb因为直线 l 与抛物线相切，所以 16-k，即 1bk 8 分所以直线 l 的方程为 ykx令 1x，得 1所以 Q ,k 10 分设切点坐标 0(,)Pxy，则 204+0kyk，解得： 21,k， 11 分设 (,0)Mm， 2121()()kQPmk 221=mk所以当 =0-，即 0MQP时 ，所以 MP所以以 PQ 为直径的圆恒过 x轴上定点 (1,) 13 分19 （本小题共 14 分）解：（） ()2xfea,由已知可得 (1)fb， (1)1feab解之得 ,2abe 3 分（）令 ()xgxf则 2xe, 5 分故当 0ln时， ()0gx， ()
13、在 ,ln2)单调递减；当 l21x时， ， 在 ,1单调递增；所以 min()(l2)ln0g， 8 分故 ()fx在 0,1单调递增，所以 ma()fe 11 分（）当 xR时， ()yfx与 1yb有两个交点. 14 分20 （本小题共 13 分）解：（）所有可能的数列 na为 1,234； ,2； 1,34；1,2343 分（）由题意知数列 nb中 1k. 又 1208kma，所以 2018kmkab 4 分1()(1)0kmkkkmkbb所以 ka，即 ka（ ,2 ） 8 分（）当 2时，由 121b得 2()1b，又 12,bN所以 12，不满足题意；当 3m时，由题意知数列 nb中 1n，又 123123bb当 1b时此时 3， 123,而 36，所以等式成立 1；当 2时此时 b， ,b而 12b，所以等式成立 2b；当 1b， 2得 3，此时数列 na为 ,3. 当 4m时， 1mbb ，而 12(1)!mmbb ，所以不存在满足题意的数列na.综上数列 n依次为 1,23. 13 分【注：若有其它解法，请酌情给分】
