1、2017 年北京市西城区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1已知全集 U=R，集合 A=x|x2，B=x |x0，那么 A UB=（ ）Ax |0x2 Bx|0x2 Cx|x0 Dx|x 22在复平面内，复数 对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3函数 f（x）=sin 2xcos2x 的最小正周期是（ ）A B C D24函数 f（x）=2 x+log2|x|的零点个数为（ ）A0 B1 C2 D35在ABC 中，点 D 满足 =3 ，则（ ）A = B = + C
2、= D = +6在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示如果小正方形网格的边长为 1，那么该四面体最长棱的棱长为（ ）A B C6 D7数列a n的通项公式为 则“c1”是“a n为递增数列”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件8将五个 1，五个 2，五个 3，五个 4，五个 5 共 25 个数填入一个 5 行 5 列的表格内（每格填入一个数） ，使得同一行中任何两数之差的绝对值不超过 2考察每行中五个数之和，记这五个和的最小值为 m，则 的最大值为（A） 8（B） 9（C ） 10（D） 19.在（1+2x） 5 的展开式中， x2 的系数等于 （
3、用数字作答）10设等比数列a n的前 n 项和为 Sn若 a1=3，S 2=9，则 an= ；S n= 11执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为 12曲线 （ 为参数）与直线 x+y1=0 相交于 A，B 两点，则|AB|= 13实数 a，b 满足 0a2，b 1若 ba 2，则 的取值范围是 14如图，正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 2，点 P 在正方形 ABCD 的边界及其内部运动平面区域 W 由所有满足 的点 P 组成，则 W 的面积是 ；四面体 PA1BC 的体积的最大值是 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15（1
4、3 分）在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b ，c ，且 atanC=2csinA（）求角 C 的大小；（）求 sinA+sinB 的取值范围16（14 分）如图，在正四棱锥 PABCD 中，PA=AB，E，F 分别为 PB，PD 的中点（）求证：AC平面 PBD；（）求异面直线 PC 与 AE 所成角的余弦值；（）若平面 AEF 与棱 PC 交于点 M，求 的值17（13 分）在测试中，客观题难度的计算公式为 ，其中 Pi 为第 i 题的难度，R i 为答对该题的人数，N 为参加测试的总人数现对某校高三年级 240 名学生进行一次测试，共 5道客观题测试前根据对学生的了解，预
5、估了每道题的难度，如表所示：题号 1 2 3 4 5考前预估难度 Pi 0.9 0.8 0.7 0.6 0.4测试后，随机抽取了 20 名学生的答题数据进行统计，结果如下：题号 1 2 3 4 5实测答对人数 16 16 14 14 4（）根据题中数据，估计这 240 名学生中第 5 题的实测答对人数；（）从抽样的 20 名学生中随机抽取 2 名学生，记这 2 名学生中第 5 题答对的人数为 X，求X 的分布列和数学期望；（）试题的预估难度和实测难度之间会有偏差设 为第 i 题的实测难度，请用 Pi 和设计一个统计量，并制定一个标准来判断本次测试对难度的预估是否合理18（13 分）已知函数 设
6、 l 为曲线 y=f（x）在点 P（x 0，f（x 0）处的切线，其中 x01，1（）求直线 l 的方程（用 x0 表示）；（）设 O 为原点，直线 x=1 分别与直线 l 和 x 轴交于 A，B 两点，求AOB 的面积的最小值19（14 分）如图，已知椭圆 的离心率为 ，F 为椭圆 C 的右焦点A（a ，0 ），|AF|=3 （）求椭圆 C 的方程；（）设 O 为原点，P 为椭圆上一点，AP 的中点为 M直线 OM 与直线 x=4 交于点 D，过 O且平行于 AP 的直线与直线 x=4 交于点 E求证：ODF=OEF 20（13 分）如表，将数字 1，2，3， ，2n （n3）全部填入一个
7、2 行 n 列的表格中，每格填一个数字第一行填入的数字依次为 a1，a 2， ，a n，第二行填入的数字依次为b1，b 2， bn记 a1 a2 anb1 b2 bn（）当 n=3 时，若 a1=1，a 2=3，a 3=5，写出 S3 的所有可能的取值；（）给定正整数 n试给出 a1，a 2，a n 的一组取值，使得无论 b1，b 2，b n 填写的顺序如何，S n 都只有一个取值，并求出此时 Sn 的值；（）求证：对于给定的 n 以及满足条件的所有填法，S n 的所有取值的奇偶性相同2017 年北京市西城区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5
8、分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1已知全集 U=R，集合 A=x|x2，B=x |x0，那么 A UB=（ ）Ax |0x2 Bx|0x2 Cx|x0 Dx|x 2【考点】1H：交、并、补集的混合运算【分析】根据题意，由集合 B 以及补集的定义可得 UB=x|x0，又由集合 A，结合交集的定义计算可得 A UB，即可得答案【解答】解：根据题意，全集 U=R，B= x|x0，则 UB=x|x0，又由 A=x|x 2，则 A UB=x|0x2；故选：A【点评】本题考查集合的混合运算，关键是掌握集合交、并、补集的意义2在复平面内，复数 对应的点位于（ ）A第一象限 B
9、第二象限 C第三象限 D第四象限【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义【分析】先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母变成一个实数，分子进行复数的乘法运算，整理成复数的标准形式，写出对应点的坐标，看出所在的象限【解答】解：复数 = = = ，复数对应的点的坐标是（ ， ）复数 在复平面内对应的点位于第一象限，故选 A【点评】本题考查复数的实部和虚部的符号，是一个概念题，在解题时用到复数的加减乘除运算，是一个比较好的选择或填空题，可能出现在高考题的前几个题目中3函数 f（x）=sin 2xcos2x 的最小正周期是（ ）A B C D2【考点】H1：三角函数的周期性及其求法
10、【分析】利用二倍角的余弦公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性得出结论【解答】解：函数 f（x） =sin2xcos2x=cos2x，它的最小正周期是 =，故选：B【点评】本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，余弦函数的周期性，属于基础题4函数 f（x）=2 x+log2|x|的零点个数为（ ）A0 B1 C2 D3【考点】52：函数零点的判定定理【分析】由题意可得，本题即求函数 y=2x 的图象和函数 y=log 2|x|的图象的交点个数，数形结合可得结论【解答】解：函数 f（x） =2x+log2|x|的零点个数，即为函数 y=2x 的图象和函数 y=log 2|x|的图象的交点个数如
11、图所示：数形结合可得，函数 y=2x 的图象和函数 y=log 2|x|的图象的交点个数为 2，故选 C【点评】本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题5在ABC 中，点 D 满足 =3 ，则（ ）A = B = + C = D = +【考点】9F：向量的线性运算性质及几何意义【分析】根据三角形法则，写出 的表示式，根据点 D 的位置，得到 与 之间的关系，根据向量的减法运算，写出最后结果【解答】解：点 D 满足 =3 ， = + = + = + （ ）= + ，故选：D【点评】本题考查向量的加减运算，考查三角形法则，是一个基础题，是解决其他问题的基础
12、，若单独出现在试卷上，则是一个送分题目6在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示如果小正方形网格的边长为 1，那么该四面体最长棱的棱长为（ ）A B C6 D【考点】L!：由三视图求面积、体积【分析】由三视图可得，该几何体为三棱锥，直观图为侧棱垂直于底面，侧棱长为 4，底面为底边长，为 4，高为 4 的等腰三角形，即可求出该多面体的最长的棱长【解答】解：由三视图可得，该几何体为三棱锥，直观图为侧棱垂直于底面，侧棱长为 4，底面为底边长，为 4，高为 4 的等腰三角形，多面体的最长的棱长为 =6故选 C【点评】三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，本题考
13、查了学生的空间想象力，识图能力及计算能力7数列a n的通项公式为 则“c1”是“a n为递增数列”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】利用等差数列为递增数列的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行求解【解答】解：数列a n的通项公式为 ，若“a n为递增数列”，则 an+1an=|n+1c|nc|0，即（n+1c ） 2（nc） 2，解得 cn+ ，n+ c1”是“a n为递增数列充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查递增数列的性质以及充分条件和必要条件的应用，比较基础8将五个 1，五
14、个 2，五个 3，五个 4，五个 5 共 25 个数填入一个 5 行 5 列的表格内（每格填入一个数） ，使得同一行中任何两数之差的绝对值不超过 2考察每行中五个数之和，记这五个和的最小值为 m，则 的最大值为（A） 8（B） 9（C ） 10（D） 18.C9.（2017西城区一模）在（1+2x ） 5 的展开式中，x 2 的系数等于 40 （用数字作答）【考点】DA：二项式定理【分析】在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于 2，求出 r 的值，即可求得 x2 的系数【解答】解：由于（1+2x ） 5 的展开式的通项公式为 Tr+1= （2x） r，令 r=2 求得 x2 的系数等于
15、 22=40，故答案为 40【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题10设等比数列a n的前 n 项和为 Sn若 a1=3，S 2=9，则 an= 32 n1 ；S n= 3（2 n1） 【考点】88：等比数列的通项公式【分析】由等比数列的前 n 项和公式求出公比 q=2，由此能求出结果【解答】解：等比数列a n的前 n 项和为 Sna 1=3，S 2=9，S 2=3+3q=9，解得 q=2， ，Sn= =3（2 n1）故答案为：32 n1；3（2 n1）【点评】本题考查等比数列的通项公式和前 n 项和公式的求法，是基础题，解题时要认真审题，
16、注意等比数列的性质的合理运用11执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为 6 【考点】EF：程序框图【分析】根据程序框图进行模拟计算即可得到结论【解答】解：第一次循环，k=2，S=20 2=18，k5 不成立，第二次循环，k=4，S=184=14，k5 不成立，第三次循环，k=8，S=148=6，k5 成立，输出 S=6，故答案为：6【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，根据程序框图进行模拟计算是解决本题的关键12曲线 （ 为参数）与直线 x+y1=0 相交于 A，B 两点，则|AB|= 2 【考点】QK：圆的参数方程【分析】根据题意，将曲线的参数方程变形可得其普通方程，求出其圆心坐标及半
17、径，分析可得圆心在直线上，则|AB|=2r，即可得答案【解答】解：根据题意，曲线 的普通方程为 x2+（y 1） 2=1，圆心坐标为（0，1），半径 r=1，而直线的方程为 x+y1=0，圆心在直线上，则 AB 为圆的直径，故|AB|=2r=2；故答案为：2【点评】本题考查圆的参数方程，涉及直线与圆的位置关系，关键是将圆的参数方程化为普通方程13实数 a，b 满足 0a2，b 1若 ba 2，则 的取值范围是 【考点】R3：不等式的基本性质【分析】利用换元法，结合条件，即可求出 的取值范围【解答】解：设 t= ，则 b=at，ba 2，ata 2，ta，t 2，b1，at1，t ，t ， 的取值范围是
