1、2017 年北京市朝阳区高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1已知 i 为虚数单位，则复数 z=（1+i）i 对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2已知 xy，则下列不等式一定成立的是（ ）A Blog 2（xy）0 Cx 3y 3 D3执行如图所示的程序框图，则输出的 S 值是（ ）A15 B29 C31 D634 “x0，y0”是“ ”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件5将函数 f（x）=cos2x 图象上所有点向右平
2、移 个单位长度后得到函数 g（x）的图象，若 g（x）在区间上单调递增，则实数 a 的最大值为（ ）A B C D6某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱长为（ ）A B C3 D7已知过定点 P（2，0）的直线 l 与曲线 相交于 A，B 两点，O 为坐标原点，当AOB 的面积最大时，直线 l 的倾斜角为（ ）A150 B135 C120 D308 “现代五项”是由现代奥林匹克之父顾拜旦先生创立的运动项目，包含射击、击剑、游泳、马术和越野跑五项运动已知甲、乙、丙共三人参加“现代五项” 规定每一项运动的前三名得分都分别为a，b，c（abc 且 a，b，cN *） ，选手最终得分为各项得分
3、之和已知甲最终得 22 分，乙和丙最终各得 9 分，且乙的马术比赛获得了第一名，则游泳比赛的第三名是（ ）A甲 B乙C丙 D乙和丙都有可能二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9已知集合 A=x|2x1 1，B=x|x（x2）0，则 AB= 10在平面直角坐标系中，已知点 A（1，0） ，B（1，2） ，C（3，1） ，点 P（x，y）为ABC 边界及内部的任意一点，则 x+y 的最大值为 11平面向量 、 满足 ，且| |=2，| |=4，则 与 的夹角等于 12设函数 则 f（1）= ；若 f（x）在其定义域内为单调递增函数，则实数 a的取值范围是 13已知双曲线 与
4、抛物线 y2=8x 有一个公共的焦点 F设这两曲线的一个交点为 P，若|PF|=5，则点 P 的横坐标是 ；该双曲线的渐近线方程为 14设 P 为曲线 C1上动点，Q 为曲线 C2上动点，则称|PQ|的最小值为曲线 C1，C 2之间的距离，记作d（C 1，C 2） 若 C1：x 2+y2=2，C 2：（x3） 2+（y3） 2=2，则 d（C 1，C 2）= ；若C3：e x2y=0，C 4：lnx+ln2=y，则 d（C 3，C 4）= 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 abc，
5、c2bsinC=0（）求角 B 的大小；（）若 b= ，c=1，求 a 和ABC 的面积16已知数列a n是首项 ，公比 的等比数列设 （nN *） （）求证：数列b n为等差数列；（）设 cn=an+b2n，求数列c n的前 n 项和 Tn17某中学随机选取了 40 名男生，将他们的身高作为样本进行统计，得到如图所示的频率分布直方图观察图中数据，完成下列问题（）求 a 的值及样本中男生身高在（单位：cm）的人数；（）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，通过样本估计该校全体男生的平均身高；（）在样本中，从身高在（单位：cm）内的男生中任选两人，求这两人的身高都不低于 185cm 的
6、概率18如图，在三棱柱 ABCA 1B1C1中，AA 1底面 ABC，ACB=90，AC=BC=1，AA 1=2，D 是棱 AA1的中点 （）求证：B 1C1平面 BCD；（）求三棱锥 BC 1CD 的体积；（）在线段 BD 上是否存在点 Q，使得 CQBC 1？请说明理由19已知椭圆 W： （b0）的一个焦点坐标为 （）求椭圆 W 的方程和离心率；（）若椭圆 W 与 y 轴交于 A，B 两点（A 点在 B 点的上方） ，M 是椭圆上异于 A，B 的任意一点，过点 M 作MNy 轴于 N，E 为线段 MN 的中点，直线 AE 与直线 y=1 交于点 C，G 为线段 BC 的中点，O 为坐标原点
7、求OEG 的大小20已知函数 f（x）=xlnx，g（x）= +xa（aR） （）若直线 x=m（m0）与曲线 y=f（x）和 y=g（x）分别交于 M，N 两点设曲线 y=f（x）在点 M 处的切线为 l1，y=g（x）在点 N 处的切线为 l2（）当 m=e 时，若 l1l 2，求 a 的值；（）若 l1l 2，求 a 的最大值；（）设函数 h（x）=f（x）g（x）在其定义域内恰有两个不同的极值点 x1，x 2，且 x1x 2若 0，且 lnx 21lnx 1恒成立，求 的取值范围2017 年北京市朝阳区高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5
8、 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1已知 i 为虚数单位，则复数 z=（1+i）i 对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【考点】A5：复数代数形式的乘除运算【分析】先将复数化简，整理出实部和虚部，写出复数对应的点的坐标，判断出所在的象限【解答】解：由题意知 z=i（1+i）=1+i，复数 Z 对应的点的坐标是（1，1） ，在第二象限，故选：B2已知 xy，则下列不等式一定成立的是（ ）A Blog 2（xy）0 Cx 3y 3 D【考点】R3：不等式的基本性质【分析】根据特殊值代入判断 A、B、C，根据指数函数的性质判断 D【解答】解
9、：对于 A，令 x=1，y=1，显然不成立，对于 B，由 xy，得 xy0，log 2（xy）有意义，当 xy1 时，不成立；对于 C，令 x=2，y=1，显然不成立，对于 D，由 ，得 2x 2 y ，即xy，即 xy，故 D 成立，故选：D3执行如图所示的程序框图，则输出的 S 值是（ ）A15 B29 C31 D63【考点】EF：程序框图【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，依次写出每次循环得到的 S，k的值，当 S=31 时不满足条件 S20，退出循环，输出 S 的值为 31【解答】解：模拟程序的运行，可得k=0，S=0满足条件 S20，执行循环体，S=1，k
10、=1满足条件 S20，执行循环体，S=1+2=3，k=2满足条件 S20，执行循环体，S=3+4=7，k=3满足条件 S20，执行循环体，S=7+8=15，k=4满足条件 S20，执行循环体，S=15+16=31，k=5不满足条件 S20，退出循环，输出 S 的值为 31故选：C4 “x0，y0”是“ ”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】 “x0，y0”“ ”，反之不成立，例如取 x=y=1【解答】解：“x0，y0”“ ”，反之不成立，例如取 x=y=1x0，y0”是“ ”的充分而不必要条
11、件故选：A5将函数 f（x）=cos2x 图象上所有点向右平移 个单位长度后得到函数 g（x）的图象，若 g（x）在区间上单调递增，则实数 a 的最大值为（ ）A B C D【考点】HJ：函数 y=Asin（x+）的图象变换【分析】由条件根据诱导公式、函数 y=Asin（x+）的图象变换规律，求得 g（x）的解析式，利用正弦函数的单调性即可得解【解答】解：将函数 f（x）=cos2x 的图象向右平移 个单位后得到函数 g（x）=cos2（x ）=sin2x 的图象，令 2k 2x2k+ ，kZ，解得：k xk+ ，kZ，故当 k=0 时，g（x）在区间上单调递增，由于 g（x）在区间上单调递增
12、，可得：a ，即实数 a 的最大值为 故选：B6某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱长为（ ）A B C3 D【考点】L!：由三视图求面积、体积【分析】如图所示，该几何体为三棱锥 PABC过点 P 作 PO平面 ABC，垂足为 O 点，连接 OB，OC，则四边形 ABOC 为平行四边形OAOB【解答】解：如图所示，该几何体为三棱锥 PABC过点 P 作 PO平面 ABC，垂足为 O 点，连接 OB，OC，则四边形 ABOC 为平行四边形OAOB则最长棱为 PC= =3故选：C7已知过定点 P（2，0）的直线 l 与曲线 相交于 A，B 两点，O 为坐标原点，当AOB的面积最大时，直线
13、l 的倾斜角为（ ）A150 B135 C120 D30【考点】J9：直线与圆的位置关系【分析】曲线 y= 为圆 x2+y2=2 的上半圆，由题意和三角形的面积公式可得当AOB=90时，AOB 的面积取到最大值，O 到直线 l 的距离 OD=1，在直角三角形中由三角函数定义和倾斜角的定义可得【解答】解：曲线 y= 为圆 x2+y2=2 的上半圆，由题意可得AOB 的面积 S= OAOBsinAOB= sinAOB=sinAOB，当 sinAOB=1 即AOB=90时，AOB 的面积取到最大值，此时在 RTAOB 中易得 O 到直线 l 的距离 OD=1，在 RTPOD 中，易得 sinOPD=
14、 = ，可得OPD=30，直线 l 的倾斜角为 150故选：A8 “现代五项”是由现代奥林匹克之父顾拜旦先生创立的运动项目，包含射击、击剑、游泳、马术和越野跑五项运动已知甲、乙、丙共三人参加“现代五项” 规定每一项运动的前三名得分都分别为a，b，c（abc 且 a，b，cN *） ，选手最终得分为各项得分之和已知甲最终得 22 分，乙和丙最终各得 9 分，且乙的马术比赛获得了第一名，则游泳比赛的第三名是（ ）A甲 B乙C丙 D乙和丙都有可能【考点】F4：进行简单的合情推理【分析】甲最终得 22 分，乙和丙最终各得 9 分，得 5（a+b+c）=22+9+9a+b+c=8，即每个项目三个名次总分
15、是 8 分每个项目的三个名次的分值情况只有两种：5 分、2 分、1 分；4 分、3 分、1 分；在各种情况下，对甲乙丙的得分合理性一一判定即可【解答】解：甲最终得 22 分，乙和丙最终各得 9 分，5（a+b+c）=22+9+9a+b+c=8即每个项目三个名次总分是 8 分每个项目的三个名次的分值情况只有两种：5 分、2 分、1 分；4 分、3 分、1 分；对于情况5 分、2 分、1 分：乙的马术比赛获得了第一名，5 分，余下四个项目共得 4 分，只能是四个第三名；余下四个第一名，若甲得三个第一名，15 分，还有两个项目得 7 分不可能，故甲必须得四个第一名，一个第二名，余下一个第三名，四个第
16、二名刚好符合丙得分，由此可得乙和丙都有可能得第三名对于情况4 分、3 分、1 分；同上分析故选：D二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9已知集合 A=x|2x1 1，B=x|x（x2）0，则 AB= x|1x2 【考点】1E：交集及其运算【分析】解指数不等式求得 A，解一元二次不等式求得 B，再根据两个集合的交集的定义求得 AB【解答】解：由 2x1 1=2 0，解得 x1，即 A=x|x1，B=x|x（x2）0=x|0x2，则 AB=x|1x2，故答案为：x|1x210在平面直角坐标系中，已知点 A（1，0） ，B（1，2） ，C（3，1） ，点 P（x，y）为ABC
17、 边界及内部的任意一点，则 x+y 的最大值为 3 【考点】7C：简单线性规划【分析】由三角形三个顶点的坐标作出平面区域，令 z=x+y，化为 y=x+z，数形结合顶点最优解，把最优解的坐标代入得答案【解答】解：ABC 三个顶点坐标分别为 A（1，0） ，B（1，2） ，C（3，1） ，如图，令 z=x+y，化为 y=x+z，可知当直线 y=x+z 过 B 时，直线在 y 轴上的截距最大，z 有最大值为 3故答案为：311平面向量 、 满足 ，且| |=2，| |=4，则 与的夹角等于 【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角；9R：平面向量数量积的运算【分析】求两向量的夹角需要求出两向量的内积与两向量的模的乘积，由题意两向量的模已知，故所给的条件 求出两个向量的模的乘积即可【解答】解：由题设 得 816+ =4，故 =4所以，两向量夹角的余弦为可求得两向量夹角大小是故答案为
