1、（满分 150 分，完卷时间 120 分钟）一填空题（本大题满分 54 分）本大题共有 12 题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第 16 题每个空格填对得 4 分，第 712 题每个空格填对得 5 分，否则一律得零分1. 已知 ，则 _【答案】【解析】令 ，解得 ，由反函数定义可得 ，故答案为 2.2. 已知集合 则 _【答案】【解析】解：因为 M=x|-2 x 0,N=-1,0,1则3. 若复数 （ 是虚数单位），且 为纯虚数,则实数 =_【答案】【解析】 ，由 为纯虚数得： ，解得 ，故答案为 1.4. 直线 （ 为参数）对应的普通方程是_【答案】【解析】两式相加消去 可得
2、： ，故答案为 .5. 若 ，且 ，则 的值为_【答案】【解析】由二项式定理可得： ， ，故 ，得 ，故 的系数为 ，故答案为 .6. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是_【答案】【解析】观察三视图可知：该几何体为底面半径为 2，高为 6 的圆锥，则母线长为 ，故侧面积为 ，故答案为 .7. 若函数 在区间 上有零点，则实数 的取值范围是_【答案】【解析】函数 在区间 上有零点， ，即 ，得 ，故答案为 .8. 在约束条件 下，目标函数 的最大值为_【答案】【解析】作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：由 得： ，平移直线 ，由图象可知当直线 经过点 时，直线 的截距最大
3、，此时 也最大，联立 ，得 ，代入目标函数 ，即目标函数的最大值为 ，故答案为 9.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标 函数的最值，关键是画出不等式所表示的区域，属中档题.求目标函数最值的一般步 骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.9. 某学生在上学的路上要经过 2 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，则这名学生在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是_111【答案】
4、【解析】设“这名学生在上学路上到第二个路口首次遇到红灯”为事件 ，则所求概率为，故答案为 .10. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，记 若此椭圆上存在点 ，使到直线 的距离是 与 的等差中项，则 的最大值为_【答案】【解析】设点 的坐标为 ，其中 ，由椭圆的定义可得： ， 到直线 的距离是 与 的等差中项， 到直线 的距离 ，即 ，由 知当 最小时， 最大，而当 时， ， ，故答案为.11. 如图同心圆中，大、小圆的半径分别为 2 和 1，点 在大圆上， 与小圆相切于点 ， 为小圆上的点，则 的取值范围是_ 【答案】【解析】如图所示：不失一般性建立直角坐标系，则可得 ， ， ， ，点 在小圆上
5、，故可设为 ，则 ，则 ，则 的取值范围是 ，故答案为 .点睛：本题主要考查了解析法在向量数量积中的应用，圆的参数方程与三角函数的性质在求最值的应用，建立坐标系是解决该题的关键所在，难度一般；以圆心为原点，将点 放在 轴负半轴，根据圆的参数方程可得 ，将向量的数量积用坐标表示为关于 的三角函数，结合辅助角公式可得其最值.12. 已知递增数列 共有 项，且各项均不为零， ，如果从 中任取两项 ，当 时，仍是数列 中的项，则数列 的各项和 _【答案】【解析】当 时， 仍是数列 中的项，而数列 是递增数列，111 ，所以必有 ， ，利用累加法可得：，故 ，得 ，故答案为 .点睛：本题主要考查了数列的
6、求和，解题的关键是单调性的利用以及累加法的运用，有一定难度；根据题中条件从 中任取两项 ，当 时， 仍是数列 中的项，结合递增数列必有 ，利用累加法可得结果.二、选择题 (本大题满分 20 分)本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分. 13. 设 分别是两条异面直线 的方向向量，向量 夹角的取值范围为 ， 所成角的取值范围为 ，则“ ”是“ ”的A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C14. 将函数 图像上的点 向左平移 个单位，得到点 ，若 位于函数的图
7、像上，则A. ， 的最小值为 B. ， 的最小值为C. ， 的最小值为 D. ， 的最小值为【答案】A【解析】由题意得 ，则 ，向左平移 个单位得到点 ，则 ，位于函数 的图像上， ，即 ，故 的最小值为 ，故选 A. 15. 某条公共汽车线路收支差额 与乘客量 的函数关系如图所示（收支差额 车票收入 支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议()不改变车票价格，减少支出费用；建议()不改变支出费用，提高车票价格，下面给出的四个图形 中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则 A. 反映了建议（），反映了建议（）B. 反映了建议（），反映了建议（）C. 反映了建议
8、（），反映了建议（）D. 反映了建议（），反映了建议（）【答案】B【解析】建议()是不改变车票价格，减少支出费用；也就是 增大，车票价格不变，即平行于原图象，反映了建议()；建议()是不改变支出费用，提高车票价格，也就是图形增大倾斜度，提高价格，反映了建议（），故选 B.点睛：此题主要考查了函数图象的性质，读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程是做题的关键；观察函数图象可知，函数的横坐标表示乘客量，纵坐标表示收支差额，根据题意得；（I）的平行于原图象，（II）与原图象纵截距相等，但斜率变大，进而得到答案.16. 设函数 的定义域是 ，对于以下四个命题：(1) 若 是奇函
9、数，则 也是奇函数；(2) 若 是周期函数，则 也是周期函数；(3) 若 是单调递减函数，则 也是单调递减函数；(4) 若函数 存在反函数 ，且函数 有零点，则函数 也有零点其中正确的命题共有A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个【答案】C三解答题（本大题满分 76 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域 内写出必要的步骤17. 直三棱柱 中，底面 为等腰直角三角形， ， ， ， 是侧棱 上一点，设 (1) 若 ，求 的值；(2) 若 ，求直线 与平面 所成的角 【答案】（1） （2）【解析】试题分析：（1）以 为坐标原点，以射线 、 、 分别为 、
10、 、 轴建立空间直角坐标系，求出 ， ，利用 ，求出 的值；（2）求出直线 的方向向量与平面 的法向量，求出向量的夹角的余弦值可得结果.试题解析：（1）以 为坐标原点，以射线 、 、 分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则 , ， ， ， 由 得 ，即解得 (2) 解法一：此时设平面 的一个法向量为由 得 所以 设直线 与平面 所成的角为则 所以直线 与平面 所成的角为 解法二：联结 ，则 ， 平面 平面所以 是直线 与平面 所成的角； 在 中， 所以 所以所以直线 与平面 所成的角为点睛：本题主要考查了空间向量在立体几何中的应用之利用空间向量的数量积证明垂直关系，利用空间向量求直
11、线与平面所成的角角；两直线垂直等价于直线的方向向量互相垂直即数量积为 0，直线与平面所成的角 与直线的方向向量与平面的法向量之间所成的角相加为 或相减为 ，且满足 .18. 设函数 ，函数 的图像与函数 的图像关于 轴对称(1)若 ，求 的值；(2)若存在 ，使不等式 成立，求实数 的取值范围【答案】（1） （2）【解析】试题分析：（1）依题意知 ，经过整理解出即可求得 的值；(2)由得 ，移项可得 ，结合基本不等式，故而可求得实数的取值范围.试题解析：（1）由 得 所以 （舍）或 ， 所以 （2）由 得 而 ，当且仅当 时取等号所以 ，所以 19. 如图所示， 是某海湾旅游区的一角，其中 ，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定在直线海岸 和 上分别修建观光长廊 和 AC，其中 是宽长廊，造价是 元/米， 是窄长廊，造价是 元/米，两段长廊的总造价为 120 万元，同时在线段 上靠近点 的三等分点 处建一个观光平台，并建水上直线通道 （平台大小忽略不计），水上通道的造价是 元/米(1) 若规划在三角 形 区域内开发水上游乐项目，要求 的面积最大，那么 和 的长度分别为多少米？(2) 在(1)的条件下，建直线通道 还需要多少钱？【答案】（1） 和 AC 的长度分别为 750 米和 1500 米（2） 万元
