1、1.1.3 集合的基本运算,思考：,类比引入,两个实数除了可以比较大小外，还可以进行加法运算，类比实数的加法运算，两个集合是否也可以“相加”呢？,思考：,类比引入,考察下列各个集合，你能说出集合C与集合A、B之间的关系吗？,（1） A=1，3，5， B=2，4，6，C=1，2，3，4，5，6,（2）A=x|x是有理数， B=x|x是无理数， C=x|x是实数,集合C是由所有属于集合A或属于B的元素组成的,一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集（Union set）,记作：AB（读作：“A并B”）即： AB =x| x A ， ( ) x B,Venn图表示
2、：,说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B 的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）,并集概念,或,例1设A=4，5，6，8，B=3，5，7，8，求AUB,解：,例2设集合A=x|-1x2，B=x|1x3，求AUB,并集例题,解：,可以在数轴上表示例2中的并集，如下图：,集合运算常用数轴画图观察,并集性质,AA ； A ； ABA B_A,并集的交换律,并集的结合律,并集的相关性质：,思考：,类比引入,考察下面的问题，集合C与集合A、B之间有什么关系吗？,（1） A=2，4，6，8，10， B=3，5，8，12，C=8,（2）A=x|x是新华中学2004年9月入学的女同学
3、，B=x|x是新华中学2004年9月入学的高一年级同学，C=x|x是新华中学2004年9月入学的高一年级女同学,集合C是由那些既属于集合A且又属于集合B的所有元素组成的,一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集（intersection set）,记作：AB（读作：“A交B”）即： A B =x| x A（ ）x B,Venn图表示：,说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B 的公共元素组成的集合,交集概念,且,交集性质,AA ； A ； ABA A_B,(1)设A1，2，B2，3，4，则AB (2)设Ax|x2，则AB .,2,D,(4)设A1,2
4、，Ba,3，若AB1，则a ；若AB，则a .(5)设Ax|x1，Bx|x2，则AB .,1,1或2,类比并集的相关性质,例题：,例题：,解：,5,A,0,B,例题：,解：,0,B,10,C,例题：,解：,5,A,0,B,10,C,例题：,AB A, B AB，AB A AB B，AB AB,问题：,在下面的范围内求方程 的解集：,（1）有理数范围；（2）实数范围,并回答不同的范围对问题结果有什么影响？,解：（1）在有理数范围内只有一个解2，即：,（2）在实数范围内有三个解2， ， ，即：,一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe se
5、t）通常记作U,全集概念,实例引入,请看下例： A=班上所有参加足球队同学 B=班上没有参加足球队同学 U=全班同学 那么U、A、B三个集合之间有什么关系？,A=1,2,3,4 B=5,6,7,8 U=1,2,3,4,5,6,7,8 那么U、A、B三个集合之间有什么关系？,全集,1,2, 5,63,4 7,8,U,1,23,4,对于一个集合A ，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集U 的补集（complementary set）,简称为集合A的补集,补集概念,记作： A即： A=x| x U 且x A,U,A,A,说明：补集是与全集同时存在的。补集的概念必须要有全
6、集的限制,Venn图表示：,补集的性质,(1)、A( A )= .,(2)、A( A )=,补集例题,例1设U=x|x是小于9的正整数，A=1，2，3，B=3，4，5，6，求 A， B,解：根据题意可知：U=1，2，3，4，5，6，7，8， 所以： A=4，5，6，7，8， B=1，2，7，8,说明：可以结合Venn图来解决此问题,补集例题,例2设全集U=x|x是三角形，A=x|x是锐角三角形，B=x|x是钝角三角形.求AB， （AB）,解：根据三角形的分类可知,AB ，,AB x|x是锐角三角形或钝角三角形，,（AB）x|x是直角三角形,例3. 设全集为R,求 A , B,解 ： A,5,A
7、,A,A,例. 设全集为R,求 A , B,解 ： B,3,B,B,小结,说明: (1)涉及不等式,常用数轴法.注意标明实心,空心,例4.已知集合UxR|1x7，AxR|2x5，BxR|3x7，求(1)(UA)(UB)；(2)U(AB)；(3)(UA)(UB)；(4)U(AB)(5)观察上述结果你能得出什么结论,解析 利用数轴工具，画出集合U、A、B的示意图，如下图所示可以得到，ABxR|3x5ABxR|2x7，UAxR|1x2或5x7，UBxR|1x3或x7,从而可求得 (1)(UA)(UB)xR|1x27 (2)U(AB)xR|1x27 (3)(UA)(UB)xR|1x3或5x7 (4)U
8、(AB)xR|1x3或5x7 (5)认真观察不难发现： U(AB)(UA)(UB)； U(AB)(UA)(UB),设U1,2,3,4,5,6,7,8，A3,4,5，B4,7,8，求UA，UB，(UA)(UB)，(UA)(UB)答案 UA1，2，6，7，8， UB1，2，3，5，6， (UA)(UB)1，2，6， (UA)(UB)1，2，3，5，6，7，8,练习,一些性质（补充）：(AB)CA(BC)；(AB)CA(BC)；A(BC)(AB)(AC)；A(BC)(AB)(AC),练习：1. 判断正误（1）若U=四边形，A=梯形，则CUA=平行四边形,（2）若U是全集，且AB，则CUACUB,（3
9、）若U=1，2，3，A=U，则CUA=,错,错 如图利用数轴,对,2.如果全集UN，那么N*的补集UN* ,0,3已知U1，2，3，4，5，6，A1， 3，5， 则UA_.,2，4，6,4已知UR，Ax|x15，则UA ,x|x15,5已知全集U1,2,3,4,5，A1,2,3，B2,3,4，则U(AB)( )A2,3 B1,4,5C4,5 D1,5答案 B解析 AB2,3，U(AB)1,4,5,6.设UR，Ax|x0，Bx|x1，则AUB( )Ax|0x1答案 B 解析 Bx|x1，UBx|x1， AUBx|x0x|x1x|0x1 故选B.,解答题 1已知：Ax|xa|4，Bx|x1或x5，
10、且ABR，求实数a的范围,2.已知xR，集合A=-3,x2,x1,B=x3,2x1,x21 如果AB=-3，求AB。,3. 已知集合A=x |2x4,B=x| xa 若AB=,求实数a的取值范围; 若AB=A,求实数a的取值范围,4.Ax |2x5,Bx | m1x2m1，若ABA，求m的取值范围.,5你会求解下列问题吗？集合Ax|2xm，AB，则m的取值范围是 .(2)若Bx|xm，AB，则m的取值范围是 .(3)若Bx|xm5且x2m1，AB，则m的取值范围是 .,m2,m1,1m3,2利用数形结合的思想，将满足条件的集合用韦恩图或数轴一一表示出来，从而求集合的交集、并集，这是既简单又直观
11、且是最基本、最常见的方法，要注意灵活运用 3集合元素的互异性在解决集合的相等关系、子集关系、交集等时常遇到，忽视它很多时候会造成结果失误，解题时要多留意解决集合问题时，常常要分类讨论，要注意划分标准的掌握，做到不重、不漏，注意检验,若已知xAB，那么它包含三种情形： xA且xB； xB且xA； xA且xB，这在解决与并集有关问题时应引起注意,在求AB时，只要搞清两集合的公共元素是什么或公共元素具有怎样的性质即可反之，若已知aAB，那么就可以断定aA且aB；若AB，说明集合A与B没有公共元素,例 (09全国)设集合MmZ|3m2，NnZ|1n3，则MN( ) A0,1 B1,0,1 C0,1,2
12、 D1,0,1,2解析 M2，1,0,1，N1,0,1,2,3，MN1,0,1，故选B.,B,若集合Ax|2x3，Bx|x4，则集合AB等于( )Ax|x3或x4 Bx|1x3Cx|3x4 Dx|2x1答案 D解析 将集合A、B表示在数轴上，由数轴可得ABx|2x1，故选D.,例3 已知A(x，y)|4xy6，B(x，y)|3x2y7，则AB_.,已知：Ax|2x2axb0，Bx|bx2(a2)x5b0，且AB ，求AB.,例3 已知Ax|x3，Bx|xa (1)若AB，问RBRA是否成立？ (2)若RARB，求a的取值范围解析 (1)AB，如图(1) a3，而RBx|xa，RAx|x3 RB
13、RA.即RBRA成立,(2)如图(2)， RAx|x3，RBx|xa RARB，a3. 故所求a的取值范围为a|a3,总结评述：解决这类问题一要注意数形结合，以形定数，才能相得益彰，二要注意验证端点值，做到准确无误，不然功亏一篑,已知全集U2,0,3a2，P2，a2a2，且UP1，则实数a_.答案 2 解析 由PUPU知，,已知全集U=1，2，3，4，5， 非空集 A=xU|x25x+q=0，求CUA及q的值。,解：集合A非空，则x25x+q=0一定有解.,由根及韦达定理知：,x1x25，254q0，q x1x2.,x1，x2的组合可以是：1和4，2和3.,即A1，4，2，3., CUA2，3
14、，5，q4； or CUA1，4，5，q6.,解：不等关系一般都会借助于数轴。,前面几个例题都是等式关系，接下来我们来思考不等关系。,在数轴上画出集合A的区域如下所示：,例 已知集合Ax|x24mx2m60，Bx|x0，若AB，求实数m的取值范围分析 集合A是由方程x24mx2m60的实根组成的集合，AB说明方程的根可能为：(1)两负根；(2)一负根一零根；(3)一负根一正根三种情况，分别求解十分麻烦，这时我们从求解问题的反面考虑，采用“正难则反”的解题策略，先由0求出全集U，然后求方程两根均为非负时m的取值范围，最后再利用“补集”求解,1求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合,知识小结,3注意结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法,2区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件,
