1、2016 年上海市宝山区高考数学二模试卷（理科）一、填空题1设集合 A=x|x|2 ，x R，B=x|x 24x+30，x R，则 AB= 2已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 =i，则|z|= 3设 a0 且 a1 ，若函数 f（x ）=a x1+2 的反函数的图象经过定点 P，则点 P 的坐标是 4计算： = 5在平面直角坐标系内，直线 l：2x+y 2=0，将 l 与两坐标轴围成的封闭图形绕 y 轴旋转一周，所得几何体的体积为 6已知 sin2+sin=0， （ ， ） ，则 tan2= 7定义在 R 上的偶函数 y=f（x） ，当 x0 时，f（x）=2 x4，则不等式 f（x）0
2、的解集是 8在平面直角坐标系 xOy 中，有一定点 A（1，1） ，若 OA 的垂直平分线过抛物线C： y2=2px（p0）的焦点，则抛物线 C 的方程为 9直线 （t 为参数）与曲线 （ 为参数）的公共点的坐标为 10记 的展开式中第 m 项的系数为 bm，若 b3=2b4，则 n= 11从所有棱长均为 2 的正四棱锥的 5 个顶点中任取 3 个点，设随机变量 表示这三个点所构成的三角形的面积，则其数学期望 E= 12若数列a n是正项数列，且 + + =n2+3n（n N*） ，则 + + = 13甲、乙两人同时参加一次数学测试，共 10 道选择题，每题均有四个选项，答对得 3 分，答错或
3、不答得 0 分，甲和乙都解答了所有试题，经比较，他们只有 2 道题的选项不同，如果甲乙的最终得分的和为 54 分，那么乙的所有可能的得分值组成的集合为 14已知 a0，函数 f（x ）=x （x 1，2）的图象的两个端点分别为 A、B，设 M 是函数f（x）图象上任意一点，过 M 作垂直于 x 轴的直线 l，且 l 与线段 AB 交于点 N，若|MN|1恒成立，则 a 的最大值是 二、选择题15sinx=0 是 cosx=1 的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件16下列命题正确的是（ ）A若直线 l1平面 ，直线 l2平面 ，则 l1l 2B若直线 l
4、上有两个点到平面 的距离相等，则 lC直线 l 与平面 所成角的取值范围是（0， ）D若直线 l1平面 ，直线 l2平面 ，则 l1l 217已知 、 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 满足（ ）（ ）=0，则| |的最大值是（ ）A1 B2 C D18已知函数 f（x ）= ，若存在实数 x1，x 2，x 3，x 4 满足 f（x 1）=f（x 2）=f（x 3）=f（x 4） ，其中 x1x 2x 3x 4，则 x1x2x3x4 取值范围是（ ）A （60 ，96 ） B （45， 72） C （30，48） D （15，24）三、解答题19如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，
5、ABC 是等腰直角三角形，AC=BC=AA 1=2，D 为侧棱AA1 的中点（1）求证：BC平面 ACC1A1；（2）求二面角 B1CDC1 的大小（结果用反三角函数值表示）20已知函数 f（x ）= sinx+cos（x+ ）+cos（x ）1（ 0） ，x R，且函数的最小正周期为 ：（1）求函数 f（x）的解析式；（2）在ABC 中，角 A、B 、C 所对的边分别是 a、 b、c，若 f（B）=0， = ，且a+c=4，试求 b 的值21定义在 D 上的函数 f（x） ，若满足：对任意 xD，存在常数 M0，都有|f （x）|M 成立，则称 f（x）是 D 上的有界函数，其中 M 称为函
6、数 f（x）的上界（1）设 f（x）= ，判断 f（x ）在 ， 上是否有有界函数，若是，说明理由，并写出f（x）上所有上界的值的集合，若不是，也请说明理由；（2）若函数 g（x）=1+2 x+a4x 在 x0，2上是以 3 为上界的有界函数，求实数 a 的取值范围22如图，设 F 是椭圆 + =1 的下焦点，直线 y=kx4（k0）与椭圆相交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 P（1）若 = ，求 k 的值；（2）求证：AFP=BF0；（3）求面积ABF 的最大值23已知正项数列a n， bn满足：对任意正整数 n，都有 an，b n，a n+1 成等差数列，bn，a n+1，b n+1 成
7、等比数列，且 a1=10，a 2=15（）求证：数列 是等差数列；（）求数列a n，b n的通项公式；（） 设 ，如果对任意正整数 n，不等式 恒成立，求实数 a的取值范围2016 年上海市宝山区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题1设集合 A=x|x|2 ，x R，B=x|x 24x+30，x R，则 AB= （2，1 【考点】交集及其运算【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可【解答】解：A=x|x |2，xR =x|2x 2，B=x|x24x+30 ，x R=x|x3 或 x1，则 AB=x |2x1，故答案为：（2，12已知 i 为虚数单位，复数 z
8、满足 =i，则|z|= 1 【考点】复数代数形式的混合运算【分析】设出 z=a+bi，得到 1abi=b+（a+1）i，根据系数相等得到关于 a，b 的方程组，解出a， b 的值，求出 z，从而求出 z 的模【解答】解：设 z=a+bi，则 = =i，1 abi=b+（a+1）i， ，解得 ，故 z=i，|z|=1，故答案为：13设 a0 且 a1 ，若函数 f（x ）=a x1+2 的反函数的图象经过定点 P，则点 P 的坐标是 （3，1） 【考点】反函数【分析】由于函数 f（x） =ax1+2 经过定点（1，3） ，再利用反函数的性质即可得出【解答】解：函数 f（x ）=a x1+2 经过
9、定点（1，3） ，函数 f（x ）的反函数的图象经过定点 P（3，1） ，故答案为：（3，1） 4计算： = 【考点】极限及其运算【分析】先利用排列组合公式，将原式化简成 的形式，再求极限【解答】解： = = 故答案为： 5在平面直角坐标系内，直线 l：2x+y 2=0，将 l 与两坐标轴围成的封闭图形绕 y 轴旋转一周，所得几何体的体积为 【考点】用定积分求简单几何体的体积【分析】由题意此几何体的体积可以看作是：V= ，求出积分即得所求体积，方法二由题意可得绕 y 轴旋转，形成的是以 1 为半径，2 为高的圆锥，根据圆锥的体积公式，即可求得所得几何体的体积【解答】解：由题意可知：V= ，V=
10、（ y3 ） ，= 方法二：由题意可知绕 y 轴旋转，形成的是以 1 为半径，2 为高的圆锥，则 V= 122= ，故答案为 6已知 sin2+sin=0， （ ， ） ，则 tan2= 【考点】同角三角函数基本关系的运用【分析】由已知等式化简可得 sin（2cos+1）=0 ，结合范围 （ ，） ，解得 cos= ，利用同角三角函数基本关系式可求 tan，利用二倍角的正切函数公式可求 tan2的值【解答】解：sin2+sin=0，2sincos+sin=0，sin（2cos+1）=0， （ ， ） ，sin 0，2cos+1=0，解得：cos= ，tan= = ，tan2= = 故答案为：
11、7定义在 R 上的偶函数 y=f（x） ，当 x0 时，f（x）=2 x4，则不等式 f（x）0 的解集是 2， 2 【考点】函数奇偶性的性质【分析】根据条件判断函数的单调性和函数的零点，利用函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化求解即可【解答】解：当 x0 时，由 f（x）=2 x4=0 得 x=2，且当 x0 时，函数 f（x）为增函数，f（ x）是偶函数，不等式 f（x）0 等价为 f（|x|）f（2） ，即|x|2，即2x2，即不等式的解集为2，2，故答案为：2，28在平面直角坐标系 xOy 中，有一定点 A（1，1） ，若 OA 的垂直平分线过抛物线C： y2=2px（p0）的焦点
12、，则抛物线 C 的方程为 y 2=4x 【考点】抛物线的简单性质【分析】先求出线段 OA 的垂直平分线方程，然后表示出抛物线的焦点坐标并代入到所求方程中，进而可求得 p 的值，即可得到抛物线方程【解答】解：点 A（1，1） ，依题意我们容易求得直线的方程为 x+y1=0，把焦点坐标（ ，0）代入可求得焦参数 p=2，从而得到抛物线 C 的方程为： y2=4x故答案为：y 2=4x9直线 （t 为参数）与曲线 （ 为参数）的公共点的坐标为 （0，1） ， （ ，2） 【考点】参数方程化成普通方程【分析】消去参数，点到直线和曲线的普通方程，联立方程组解方程即可【解答】解：先求参数 t 得直线的普通
13、方程为 2x+y=1，即 y=12x消去参数 得曲线的普通方程为 y2=1+2x，将 y=12x 代入 y2=1+2x，得（12x） 2=1+2x，即 14x+4x2=1+2x，则 4x2=6x，得 x=0 或 x= ，当 x=0 时，y=1，当 x= 时，y=12 =13=2，即公共点到 坐标为（0，1） ， （ ，2）故答案为：（0，1） ， （ ，2）10记 的展开式中第 m 项的系数为 bm，若 b3=2b4，则 n= 5 【考点】二项式系数的性质【分析】根据题意，结合二项式定理可得，2 n2Cn2=22n3Cn3，解可得答案【解答】解：根据二项式定理，可得 ，根据题意，可得 2n2C
14、n2=22n3Cn3，解得 n=5，故答案为 511从所有棱长均为 2 的正四棱锥的 5 个顶点中任取 3 个点，设随机变量 表示这三个点所构成的三角形的面积，则其数学期望 E= 【考点】离散型随机变量的期望与方差【分析】所有棱长均为 2 的正四棱锥 SABCD 中，ABCD 是边长为 2 的正方形，推导出 的可能取值为 ，分别求出相应的概率，由此能求出其数学期望 E【解答】解：如图所有棱长均为 2 的正四棱锥 SABCD 中，ABCD 是边长为 2 的正方形，SO底面 ABCD，SO=AO= ，SSAB =SSBC =SSCD =SSAD = = ，SABD =SBCD =SADC =SABD = =2，SSBD =SSAC = =2， 的可能取值为 ，P（= ）= ，P（=2 ）= ，E= = 故答案为： 12若数列a n是正项数列，且 + + =n2+3n（n N*） ，则 + + = 2n2+6n 【考点】数列的求和【分析】根据题意先可求的 a1，进而根据题设中的数列递推式求得+ + =（n1） 2+3（n 1）与已知式相减即可求得数列a n的通项公式，进而求得数列 的通项公式，可知是等差数列，进而根据等差数列的求和公式求得答案【解答】解：令 n=1，得 =4，a 1=16当 n2 时，+ + =（n1） 2+3（n 1）
