1、2016届上海市南洋模范中学高三 10月检测（三）数学试题（解析版）2015-10-12 _班，_号，姓名_一、填空题（本大题满分 56分，每小题 4分）1. 若实数 a、 b满足 a2b21，则 ab的取值范围是_【答案】 【解析】因为实数 满足 ，解得 的取值范围是 ，故答案为 .2. 设 是一元二次方程 的两个实根，则 的最小值为_【答案】8【解析】根据题意得 ，即 ， 或 ，当 时， ，当 时， 的最小值 ，故答案为 .3. 设 f(x)为定义在 R上的奇函数，当 x0 时， f(x)2x2xb（ b为常数） ，则 f(1)_【答案】3【解析】因为 为定义在 上的奇函数，所以 ，解得
2、，所以当时 ， ，又因为 为定义在 上的奇函数，所以，故答案为 . 4. 已知集合 A(x,y) |2” ，结论仍然成立的是（ ）A. 如果 ， ，那么 B. 如果 ，那么C. 如果 ， ，那么 D. 如果 ， ，那么【答案】D【解析】把下列命题中的“=”改为“”, 对于选项 ，如果 ，那么 ，若 时，不成立，对于选项 ，如果 ，那么 ，取 时， 不成立，对于选项 ，如果 ，取 不成立，对于选项 ，如果 ，那么根据不等式的性质可知 正确，故选 D.16. 设 p,q是两个命题， ， ，则 p是 q（ ）A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件【答案】
3、B【解析】 可化为 ，可得 ，显然后者可以推出前者，前者不能推出后者，所以 是 必要非充分条件，故选 B.17. 定义在 上的函数 ，当 时， ，且对任意的 满足 （常数） ，则函数 f(x)在区间 的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】当 ，所以 ； 当 ，所以 ；当 ，所以；所以当 时， ，故选 D.18. 如图放置的边长为 1的正方形 沿 轴滚动（向右为顺时针，向左为逆时针） 设顶点 的轨迹方程是 ，则关于 的最小正周期 及 在其两个相邻零点间的图像与 x轴所围区域的面积 S的正确结论是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】从某一个顶点（比如 ）落在 轴上的
4、时候开始计算， 到下一次 点落在 轴上，这个过程中四个顶点依次落在了 轴上，而每两个顶点间距离为正方形的边长 ,因此该函数的周期为 .下面考查点 的运动轨迹,不妨考查正方形向右滚动， 点从 轴上开始运动的时候，首先是围绕 点运动个圆，该圆半径为 ，然后以点为中心，滚动到 点落地，其间是以 为半径旋转 ，再以 为圆心，旋转 ,这时候以 为半径,因此最终构成图象如下：所以两个相邻零点间的图象与 轴所围成区域的面积 ，故选A.三、解答题（本大题满分 74分）19. 已知函数 ，且 (1) 求实数 c的值；(2) 解不等式 【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）函数求值时首先确定自变量的值对
5、应的取值范围，进而代入相应的函数解析式；（2 ）解不等式 时需分 与 两种情况分别代入函数式求解试题解析：（1）因为 ，所以 ；由 ，即 ， （2 ）由（1 ）得由 得，当 时，解得 ，当 时，解得 ，所以 的解集为 考点：分段函数求值及解不等式20. 已知函数 (1) 若 ，求 x的取值范围；(2) 若 是以 2为周期的偶函数，且当 时，有 ，求函数 的反函数【答案】(1) (2) ，【解析】试题分析：（1）考虑对数函数的定义域，结合对数运算法则。结合对数函数的单调性列不等式组，进行求解即可；（2）结合函数的奇偶性和反函数知识先求原函数的值域即为反函数的定义域，再根据对数指数的运算求解即可.
6、试题解析：（1）由 ，得 .由 得 . 因为 ，所以 ， .由 得 . （2）当 时， ，因此 . 由单调性可得 .因为 ，所以所求反函数是 ， .21. 已知函数 (1) 当 时，求 在区间 上的取值范围；(2) 当 时， ，求 的值【答案】(1) (2) 【解析】解：（1）当 时，又由 得 ，所以 ，从而 .（2 ） 由 得 ，所以 ，得 22. 已知函数 ，其中 为常数，且 (1) 若 是奇函数，求 的取值集合 ；(2) 当 时，设 的反函数为 ，且函数 的图像与 的图像关于 对称，求 的取值集合 ；(3) 对于问题(1)(2)中的 ，当 时，不等式 恒成立，求 的取值范围【答案】(1)
7、 (2) (3) 【解析】试题分析: （1）由 求得 的值，在验证 是奇函数即可得结果；(2) 根据指数对数的运算法则可得 ，从而可得 ，求其反函数可得 的解析式，进而可得结果；(3)根据对数函数的单调性，结合对数函数的定义域，列不等式组求解即可 .试题解析：（1）由必要条件所以 ， 下面 证充分性，当 a=-1时， ，任取 ，恒成立， 由 。 （2）法一，当 a=-1时，由互换 x，y 得 则 ， 从而 所以 即 法二、当 时，由 互换 得 所以 即（3）原问题转化为恒成立，则 或 则 的取值范围为 .23. 对于函数 、 、 ，如果存在实数 使得 ，那么称 为 、的生成函数(1) 下面给出
8、两组函数， 是否分别为 、 的生成函数？并说明理由；第一组： ， ，第二组： ， ， ；(2) 设 ， ， ，生成函数 若不等式 在上有解，求实数的取值范围；(3) 设 ， ，取 ，生成函数 图像的最低点坐标为 若对于任意正实数 ，且 ，试问是否存在最大的常数 ，使 恒成立？如果存在，求出这个 的值；如果不存在，请说明理由【答案】(1)见解析 (2) (3) 为 289【解析】试题分析：（1）由条件利用生成函数的定义，判断生成函数 是否分别为是 、的生成函数，从而得出结论；（2） 有解等价于 在 上有解，只需小于函数 在 的最大值即可；（3）先求出函数 的最小值为 289，只需即可.试题解析：(1)第一组： 是 、 的生成函数，因为存在 使 第二组： 不是 、 的生成函数，因为若存在 使得 ，则有故 ，而此方程无解，所以 不是 、 的生成函数 . (2) 依题意，有 在 上有解化简得： 即 在 上有解函数 在 的最大值为故实数的取值范围为 (3) 存在最大的常数 为 289依题意， ，由 当且仅当 即 时等号成立得：，解得： ，故
