1、小升初奥数几何部分辅导讲义讲义编号：学员编号: 年 级：小六 课时数：3学员姓名: 辅导科目：奥数 学科教师：课 题 平面图形面积问题授课时间： 备课时间：教学目标 1. 掌握五大模型的特征，会从复杂图形中找出基本模型.2. 灵活运用五大模型求直线型图形的面积和线段长度.教学内容【专题知识点概述】一、等积变换模型等底等高的两个三角形面积相等；两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；baS2S1DCBA如左图 12:a夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图 ；ACDBS 反之，如果 ，则可知直线 平行于 ACDBS 正方形的面积等于对角线长度平方的一半
2、；三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；二、鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 如图在 中， 分别是 上的点如图 （或 在 的延长线上， 在 上） ，则ABC ,DE,ABCDBAEAC:():()ES EDCBA EDCBA图 图推理过程连接 ，再利用等积变换模型即可BE三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：S4S3S2S1ODCBA 或者 1243:1324S1243:AOCSS蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径通过构造模型，一方
3、面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：AB CDObaS3S2 S1S4 213:a ；24:Sab梯形 的对应份数为 2四、相似模型相似三角形性质：GF EAB CD（金字塔模型） AB CDE FG （沙漏模型） ；ADEAFBCG 2:BS ：所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；五
4、、燕尾定理模型SABG SAGC SBGE SEGC BE EC；:SBGA SBGC SAGF SFGC AF FC；SAGC SBCG SADG SDGB AD DB；:【习题精讲】【例 1】 （难度等级 ）用四种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形【例 2】 （难度等级 ）如右图，已知在ABC 中，BE=3AE，CD=2AD若ADE 的面积为 1 平方厘米求三角形 ABC 的面积【例 3】 （难度等级 ）如图，长方形 的面积是 平方厘米，点 、 、 分别是长方形 边上的中点， 为 边上的ABCD56EFGABCDHAD任意一点，求阴影部分的面积G FEDCBAHGFEDC
5、BA【例 4】 （难度等级 ）如图，在三角形 ABC 中， ，D 为 BC 的中点，E 为 AB 上的一点，且 BE= AB,已知四边形 EDCA 的面积是 35，求三13角形 ABC 的面积. 【例 5】 （难度等级 ）(2008 年四中考题)如右图， ， ，已知阴影部分面积为 5 平方厘米， 的面积是 ADBEFC ABC平方厘米FEDCBA【举一反三】 （难度等级 ）如右图，在平行四边形 ABCD 中，E、F 分别是 AC、BC 的三等分点，且 SABCD=54 平方厘米，求 SBEF【例 6】 （难度等级 ）图 30-10 是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米问：阴影部分的面积是多少
6、平方厘米?【例 7】 （难度等级 ）如图在 中， 分别是 上的点，且 ， ， 平方厘米，求ABC ,DE,ABC:2:5ADB:4:7AEC16ADES的面积 EDCBA【举一反三】 （难度等级 ）如图，三角形 中， 是 的 5 倍， 是 的 3 倍，如果三角形 的面积等于 1，那么三角形AADCAEADE的面积是多少？CEDCBA【例 8】 （难度等级 ）如图在 中， 在 的延长线上， 在 上，且 ， ， 平方厘A DBAEAC:5:2BAD:3:2EC12ADES米，求 的面积EDCBA【例 9】 （难度等级 ）如图所示，在平行四边形 ABCD 中，E 为 AB 的中点， ，三角形 AFE
7、(图中阴影部分)的面积为 8 平方2AFC厘米平行四边形的面积是多少平方厘米？EFD CBA【例 10】 （难度等级 ）已知 的面积为 平方厘米， ，求 的面积DF 7,2,3ECADBFABCFEDCBA【例 11】 （难度等级 ）(2007 年”走美”五年级初赛试题)如图所示，正方形 边长为 6 厘米， ， 三角形ABCD13AEC13FB的面积为_平方厘米DEFFEDCBA【例 12】 （难度等级 ）如图，在 中，延长 至 ，使 ，延长 至 ，使 ， 是 的中点，若A BDABCE12BCFA的面积是 ，则 的面积是多少？BC 2EFAB CDEF【例 13】 （难度等级 ）如图所示，已
8、知 求图中阴影部分的面积.1.,2ABCSEDBC【举一反三】 （难度等级 ）下图中阴影部分甲的面积与阴影部分乙的面积哪个大？【例 14】 （难度等级 ）右图是一块长方形耕地，它由四个小长方形拼合而成，其中三个小长方形的面积分别为 15、18、30 公顷，问图中阴影部分的面积是多少？【例 15】 （难度等级 ）梯形 ABCD 的上底长为 3 厘米，下底长为 9 厘米，而三角形 ABO 的面积为 12 平方厘米。则整个梯形的面积为多少？【例 16】 （难度等级 ）在图中，正方形 ADEB 和正方形 ECFG 底边对齐，两个正方形边长分别为 6 和 4三角形 ACG 和三角形 BDF 的面积分别是
9、多少？【例 17】 （难度等级 ）如右图，梯形 ABCD 的面积是 45 平方米，高 6 米，AED 的面积是 5 平方米，BC=10 米，求阴影部分面积.【例 18】 （难度等级 ）在 ABC 中 BD：DC=2:1,AE：EC=1:3 求 BO：OE。【例 19】 （难度等级 ）图中的四边形土地总面积为 52 公顷，两条对角线把它分成了 4 个小三角形，其中 2 个小三角形的面积分别是 6公顷和 7 公顷。那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？【例 20】 （难度等级 ）梯形 ABCD 被两条对角线分成了四个三角形 S1、S 2、S 3、S 4。已知 S1=2 厘米 2，S 2=6 厘米
10、2。求梯形ABCD 的面积。（小学数学奥林匹克通讯赛决赛试题）【例 21】 （难度等级 ）右图中 ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单位：平方厘米） ，阴影部分的面积是多少平方厘米？【例 22】 （难度等级 ）OAB D CE如下图，已知 ABCD 是长方形，A、D、E 和 F 在一条直线上，AB7，BC5，DG3。（单位：厘米），求 DE 的长。【例 23】 （难度等级 ）将三角形 ABC 的 BA 边延长 1 倍到 D；CB 边延长 2 倍到 E，AC 边延长 3 倍到 F，如果三角形 ABC 的面积等于 1，那么三角形 DEF 的面积是多少？（08 年三帆
11、考题）【作业】1、如图，三角形 ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分， ， ， ，乙部分面积是甲4BDC3BE6A部分面积的几倍？乙乙ED CBA2、已知三角形 ABC 的面积为 1，BE=2AB，BC=CD，求三角形 BDE 的面积？3、如右图，在梯形 ABCD 中，AC 与 BD 是对角线，其交点 O，求证：AOB 与COD 面积相等4、如右图，已知在ABC 中，BE=3AE，CD=2AD若ADE 的面积为 1 平方厘米求三角形 ABC 的面积5、一块长方形的土地被分割成 4 个小长方形，其中三块的面积如图所示（单位：平方米） ，剩下一块的面积应该是多少平方米？6.下图中大正方形的边长为 3 厘米，小正方形的边长为 2 厘米，求阴影部分的面积。7、如右图所示，已知三角形 ABC 面积为 1，延长 AB 至 D，使 BD=AB；延长 BC 至 E，使 CE=2BC；延长 CA 至 F，使 AF=3AC，求三角形 DEF 的面积。8、如下图，已知 D 是 BC 的中点，E 是 CD 的中点，F 是 AC 的中点，且 的面积比 的面积大 6 平方ADGEF厘米。 ?的 面 积 是 多 少 平 方 厘 米ABCBCDEFG
