1、 1 光线与对称性 2018 12 一、单选题（共 12题；共 24分）1.（ 2013湖南）在等腰直角三角形 ABC中， AB=AC=4，点 P是边 AB边上异于 AB的一点，光线从点 P出发，经 BC， CA反射后又回到点 P（如图），若光线 QR经过ABC的重心，则 AP等于（ ） A. 2 B. 1 C. D. 2.若点 到点 及 的距离之和最小，则 m的值为 ( ) A. 2 B. C. 1 D. 3.光线被曲线反射，等效于被曲线在反射点处的切线反射已知光线从椭圆的一个焦点出发，被椭圆反射后要回到椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点出发被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点发
2、出；如题 10图，椭圆 C： 与双曲线有公共焦点，现一光线从它们的左焦点出发，在椭圆与双曲线间连续反射，则光线经过 次反射后回到左焦点所经过的路径长为 ( ) A. k(a+m) B. 2k(a+m) C. k(a-m) D. 2k(a-m) 4.（ 2015山东）一条光线从点 射出，经 轴反射后与圆 相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 2 5.一束光线从点 出发，经 x轴反射到圆 上的最短路径是（ ） A. 4 B. 5 C. D. 6.如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，棱 AB的中点为 P，若光线从点 P出发，依次经三个侧面 BCC1
3、B1， DCC1D1， ADD1A1反射后，落到侧面 ABB1A1（不包括边界），则入射光线PQ与侧面 BCC1B1所成角的正切值的范围是（ ） A. （ ， ） B. （ ， 4） C. （ ， ） D. （ ， ） 7.抛物线有光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线折射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出现已知抛物线 y2=2px（ p 0）的焦点为 F，过抛物线上点 P（ x0， y0）的切线为 l，过 P点作平行于 x轴的直线 m，过焦点 F作平行于 l的直线交 m于 M，则 |PM|的长为（ ） A. B. p C. +x0D. p+x0 8.椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射
4、光线，经椭圆反射后，反 射光线经过椭圆的另一个焦点现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程： ， 点 A、B是它的两个焦点，当静止的小球放在点 A处，从点 A沿直线出发，经椭圆壁（非椭圆长轴端点）反弹后，回到点 A时，小球经过的最短路程是（ ） A. 20 B. 18 C. 16 D. 以上均有可能 9.如图，从点 M(x0,4)发出的光线，沿平行于抛物线 的对称轴方向射向此抛物线上的点P，经 抛 物 线 反 射 后 ，穿 过 焦 点 射 向 抛 物 线 上 的 点 Q，再 经 抛 物 线 反 射 后 射 向 直 线上的点 N，经直线反射后又回到点 M，则 等于 ( ) 3 A. 5 B.
5、 6 C. 7 D. 8 10.如图所示，汽车前灯反光镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反光镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点处已知灯口的直径是 24cm，灯深 10cm，那么灯泡与反光镜的顶点（即截得抛物线的顶点）距离为（ ） A. 10cm B. 7.2cm C. 3.6cm D. 2.4cm 11.（ 2014江西）如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1中， AB=11， AD=7， AA1=12一质点从顶点 A射向点 E（ 4， 3， 12），遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将第 i 1次到第 i次反射点之间的线段记为 li（ i=2， 3， 4）， l1=
6、AE，将线段 l1， l2， l3， l4竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（ ） A. B. C. D. 12.一束光线自点 P（ 1， 1， 1）发出，被 yOz平面反射到达点 Q（ 6， 3， 3）被吸收，那么光线所走的距离是（ ） A. B. C. D. 4 二、填空题（共 3题；共 3分）13.如图所示，已知 A（ 4， 0）、 B（ 0， 4），从点 P（ 2， 0）射出的光线经直线 AB反射后再射到直线 OB上，最后经直线 OB反射后又回到 P点，则光线所经过的路程是_ 14.设点 A（ 3， 5）和 B（ 2， 15），在直线 l： 3x 4y+4=0上找一点 P，使 |P
7、A|+|PB|为最小，则这个最小值为 _ 15.自点（ 3， 3）发出的光线射到 x轴上，被 x轴反射，其反射光线 L所在直线与圆 x2+y2 4x 4y+7=0相切，则反射光线 L所在直线方程为 _ 5 答案解析部分一、单选题 1.【答案】 D 【考点】 与直线关于点、直线对称的直线方程 【解析】 【解答】解：建立如图所示的坐标系： 可得 B（ 4， 0）， C（ 0， 4），故直线 BC的方程为 x+y=4， ABC的重心为（ ， ），设 P（ a， 0），其中 0 a 4， 则点 P关于直线 BC的对称点 P1（ x， y），满足 ， 解得 ，即 P1（ 4， 4 a），易得 P关于 y
8、轴的对称点 P2（ a， 0）， 由光的反射原理可知 P1， Q， R， P2四点共线， 直线 QR的斜率为 k= = ，故直线 QR的方程为 y= （ x+a）， 由于直线 QR过ABC的重心（ ， ），代入化简可得 3a2 4a=0， 解得 a= ，或 a=0（舍去），故 P（ ， 0），故 AP= 故选 D 【分析】建立坐标系，设点 P的坐标，可得 P关于直线 BC的对称点 P1的坐标，和 P关于 y轴的对称点 P2的坐标，由 P1， Q， R， P2四点共线可得直线的方程，由于过ABC的重心，代入可得关于 a的方程，解之可得 P的坐标，进而可得 AP的值 2.【答案】 B 【考点】 与
9、直线关于点、直线对称的直线方程 6 【解析】 【解答】点 关于 轴的对称点为 。因为点 在 轴上，由对称性可知 ,所以 ,所以当 三点共线时此距离和最短。因为， 所以直线 方程为 ， 即 ， 令 得 ， 即三点共线时 。所以所求 m的值为 。 故 B正确。 3.【答案】 D 【考点】 椭圆的应用，双曲线的应用 【解析】 【分析】根据题意，可知光线从左焦点出发经过椭圆反射要回到另一个焦点，光线从双曲线的左焦点出发被双曲线反射后，反射光线的反向延长线过另一个焦点，从而可计算光线经过 2k（ kN*)次反射后回到左焦点所经过的路径长 【解答】因为光线被曲线反射，等效于被曲线在反射点处的切线反射已知光
10、线从椭圆的一个焦点出发，被椭圆反射后要回到椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点出发被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点发出 所以，光线从左焦点出发经过椭圆反射要回到另一个焦点，光线从双曲线的左焦点出发被双曲线反射后，反射光线的反向延长线过另一个焦点 如图， AF2=2m+AF1， BF1+BA+AF1=2a-AF2+AF1=2a-（ 2m+AF1)+AF1=2a-2m 所以光线经过 2k（ kN*)次反射后回到左焦点所经过的路径长 为 2k（ a-m) 故选 D 4.【答案】 D 【考点】 直线的一般式方程，圆的标准方程，直线与圆的位置关系 【解析】 【解答】有光的反应原理知，反射光
11、线的反向延长线必过点 ,设反射光线所在直线的斜率为 k,则反射光线所在直线方程： , 即： .又应圆与光线相切： ,所以， ,整理得： ,解得： ,或 ，故选 D 【分析】本题考查了圆与直线的方程的基础知识，重点考查利用对称性解决直线方程的有关问题以及直线与圆的位置关系的判断，意在考查学生对直线与直线、直线与圆的位置关系的理解与把握以及学生的运算求解能力 . 5.【答案】 A 7 【考点】 两点间距离公式的应用，关于点、直线对称的圆的方程 【解析】 【解答】依题意可得，在 x轴上找一点使得到点 A与 C的距离和最短，这最短距离减去半径 1，就是所求的值 .点 A关于 x轴的对称点 A-1(-1
12、,-1),圆心 C（ 2,3）， A-1C的距离为， 所以到圆上的最短距离为 5-1=4.故选 A. 6.【答案】 C 【考点】 直线与平面所成的角 【解析】 【解答】解：根据线面角的定义，当入射光线在面 BCC1B1的入射点离点 B距离越近，入射光线 PQ与侧面 BCC1B1所成角的正切值越大， 如图所示，此时 tanPHB= ， 结合选项，可得入射光线 PQ与侧面 BCC1B1所成角的正切值的范围是（ ， ）， 故选： C 【分析】作点 P关于平面 BCC1B1的对称点 P1， 采用极限分析法 7.【答案】 C 【考点】 抛物线的应用 【解析】 【解答】解：由题意，根据抛物线的光学性质，可
13、知：1=2 1=PFM，2=PMF， PFM=PMF |PF|=|PM|， |PM|=+x0 故选： C 8 【分析】根据抛物线的光学性质，可知：1=2，从而可得PFM=PMF，则 |PF|=|PM|，即可得出结论 8.【答案】 C 【考点】 椭圆的简单性质 【解析】 【解答】依题意可知小球经两次椭圆壁后反弹后回到 A点， 根据椭圆的性质可知所走的路程正好是 4a=44=16 故选 C. 【分析】根据椭圆的光学性质可知，小球 从点 A沿直线出发，经椭圆壁反弹到 B点继续前行碰椭圆壁后回到 A点，所走的轨迹正好是两次椭圆上的点到两焦点距离之和，进而根据椭圆的定义可求得答案。 9.【答案】 B 【
14、考点】 与直线关于点、直线对称的直线方程，抛物线的简单性质 【解析】 【分析】由题意可知， p=4,F(2,0),P(2,4)， Q(2,-4),QN:y=-4,，直线 QN,MN关于 l:x-y-10=0对称，即直线 平分直线 QN,MN的夹角，所以直线 MN垂直于 y轴 . 解 得 N(6,-4)，故 x0等于 6，选 B. 10.【答案】 C 【考点】 抛物线的应用 【解析】 【解答】解：设抛物线方程为 y2=2px（ p 0），点（ 10， 12）在抛物线 y2=2px上， 14=2p10 =3.6 因此，灯泡与反光镜的顶点的距离为 3.6cm 故选： C 【分析】先设出抛物线的标准方
15、程 y2=2px（ p 0），点（ 10， 12）代入抛物线方程求得 p，进而求得 ， 即灯泡与反光镜的顶点的距离 9 11.【答案】 C 【考点】 空间中的点的坐标，点、线、面间的距离计算 【解析】 【解答】解：根据题意有： A的坐标为：（ 0， 0， 0）， B的坐标为（ 11， 0， 0）， C的坐标为（ 11， 7， 0）， D的坐标为（ 0， 7， 0）； A1的坐标为：（ 0， 0， 12）， B1的坐标为（ 11， 0， 12）， C1的坐标为（ 11， 7， 12）， D1的坐标为（ 0， 7， 12）； E的坐标为（ 4， 3， 12） （ 1） l1长度计算 所以： l1=
16、|AE|= =13 （ 2） l2长度计算 将平面 A1B1C1D1沿 Z轴正向平移 AA1个单位，得到平面 A2B2C2D2；显然有： A2的坐标为：（ 0， 0， 24）， B2的坐标为（ 11， 0， 24）， C2的坐标为（ 11， 7， 24）， D2的坐标为（ 0， 7， 24）； 显然平面 A2B2C2D2和平面 ABCD关于平面 A1B1C1D1对称 设 AE与的延长线与平面 A2B2C2D2相交于： E2（ xE2， yE2， 24） 根据相似三角形易知： xE2=2xE=24=8， yE2=2yE=23=6， 即： E2（ 8， 6， 24） 根据坐标可知， E2在长方形
17、A2B2C2D2内 根据反射原理， E2在平面 ABCD上的投影即为 AE反射光与平面 ABCD的交点 所以 F的坐标为（ 8， 6， 0） 因此： l2=|EF|= =13 （ 3） l3长度计算 设 G的坐标为：（ xG， yG， zG） 如果 G落在平面 BCC1B1； 这个时候有： xG=11， yG7， zG12 根据反射原理有： AEFG 于是：向量 与向量 共线； 即有： = 因为： =（ 4， 3， 12）； =（ xG 8， yG 6， zG 0） =（ 3， yG 6， zG） 即有：（ 4， 3， 12） =（ 3， yG 6， zG） 解得： yG= ， zG=9； 故
18、 G的坐标为：（ 11， ， 9） 10 因为： 7，故 G点不在平面 BCC1B1上， 所以： G点只能在平面 DCC1D1上； 因此有： yG=7； xG11， zG12 此时： =（ xG 8， yG 6， zG 0） =（ xG 8， 1， zG） 即有：（ 4， 3， 12） =（ xG 8， 1， zG） 解得： xG= ， zG=4； 满足： xG11， zG12 故 G的坐标为：（ ， 7， 4） 所以： l3=|FG|= = （ 4） l4长度计算 设 G点在平面 A1B1C1D1的投影为 G，坐标为（ ， 7， 12） 因为光线经过反射后，还会在原来的平面内； 即： AEF
19、GH共面 故 EG的反射线 GH只能与平面 A1B1C1D1相交，且交点 H只能在 A1G； 易知： l4 |G|=12 4=8 l3 根据以上解析，可知 l1， l2， l3， l4要满足以下关系： l1=l2；且 l4 l3对比 ABCD选项，可知，只有 C选项满足以上条件 故本题选： C 【分析】根据平面反射定理，列出反射线与入射线的关系，得到入射线与反射平面的交点，再利用两点间的距离公式，求出距离，即可求解 12.【答案】 D 【考点】 空间中的点的坐标，空间两点间的距离公式 【解析】 【解答】解：点 P（ 1， 1， 1）平面 xoy的对称点的 M坐标（ 1， 1， 1），一束光线自
20、点 P（ 1， 1， 1）发出， 遇到 平面 xoy被反射，到达点 Q（ 6， 3， 3）被吸收， 那么光所走的路程是： = 11 故选 D 【分析】求出 P关于平面 xoy的对称点的 M坐标，然后求出 MQ的距离即可 二、填空题 13.【答案】 2 【考点】 直线的一般式方程，与直线关于点、直线对称的直线方程 【解析】 【解答】解：点 P关于 y轴的对称点 P坐标是（ 2， 0），设点 P关于直线 AB： x+y 4=0的对称点 P（ a， b）， 由 解得 ， 故光线所经过的路程 |PP|=2 故答案为 2 【分析】设点 P关于 y轴的对称点 P，点 P关于直线 AB： x+y 4=0的对
21、称点 P，由对称特点可求 P和 P的坐标，在利用入射光线上的点关于反射轴的对称点在反射光线所在的直线上， 光线所经过的路程 |PP| 14.【答案】 5 【考点】 与直线关于点、直线对称的直线方程 【解析】 【解答】解：设点 A（ 3， 5）关于直线 l： 3x 4y+4=0的对称点为 A（ a， b）， 则 ， 解得 A（ 3， 3） 则 |PA|+|PB|的最小值 =|AB|=5 故答案为： 5 【分析】设点 A（ 3， 5）关于直线 l： 3x 4y+4=0的对 称点为 A（ a， b），求出 A可得 |PA|+|PB|的最小值 =|AB| 15.【答案】 4x 3y+3=0或 3x 4y 3=0 【考点】 待定系数法求直线方程，直线与圆的位置关系 12 【解析】 【解答】解：如图示： 根据对称关系，首先求出点 A的对称点 A的坐标为（ 3， 3）， 其次设过 A的圆 C的切线方程为 y=k（ x+3） 3 根据 d= =1，即求出圆 C的切线的斜率为 k= 或 k= ， 进一步求出反射光线所在的直线的方程为： 4x 3y+3=0或 3x 4y 3=0， 故答案为： 4x 3y+3=0或 3x 4y 3=0 【分析】化简圆的方程为标准方程，求出关于 x轴对称的圆的方程，设 l的斜率为 k，利用相切求出 k的值即可得反射光线所在的直线方程
