1、上海市松江区 2018 届高三二模数学试卷2018.04一. 填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分）1. 双曲线219xya（ 0a）的渐近线方程为 320xy，则 a 2. 若二元一次方程组的增广矩阵是 124c，其解为 1，则 12c 3. 设 mR，若复数 (1)zmi在复平面内对应的点位于实轴上，则 m 4. 定义在 R 上的函数 2xf的反函数为 1()yfx，则 1(3)f 5. 直线 l的参数方程为 1ty（ 为参数），则 l的一个法向量为 6. 已知数列 na，其通项公式为 3na， *N， na的前 项和为 nS，则 lina
2、7. 已知向量、 b的夹角为 60， |1， |2b，若 ()()bx，则实数 x的值为 8. 若球的表面积为 10，平面 与球心的距离为 3，则平面 截球所得的圆面面积为 9. 若平面区域的点 (,)xy满足不等式 |4xyk（ 0k），且 zy的最小值为 5，则常数 k 10. 若函数 2()log(1)af（ 0a且 1）没有最小值，则 a的取值范围是 11. 设 1234,0x，那么满足 234|xx的所有有序数对()的组数为 12. 设 *nN， na为 ()(1)nnx的展开式的各项系数之和， 2ct， R，1255nb（ 表示不超过实数 x的最大整数），则 2()()nbc的最小
3、值为 二. 选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）13. “ 0xy”是“ x且 0y”成立的（ ）A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件14. 如图，点 A、 B、 C分别在空间直角坐标系 Oxyz的三条坐标轴上， (0,2)OC，平面 ABC的法向量为(2,1)n，设二面角 的大小为 ，则cos（ ）A. 43 B. 5 C. 23 D. 2315. 已知等比数列 na的前 项和为 nS，则下列判断一定正确的是（ ）A. 若 30S，则 2018 B. 若 30S，则 2018aC. 若 21，则 9 D. 若 21，则 920
4、1816. 给出下列三个命题：命题 1：存在奇函数 ()fx（ 1D）和偶函数 ()gx（ 2D），使得函数 ()fxg（ 12D）是偶函数；命题 2：存在函数 ()f、 g及区间 ，使得 ()f、 在 上均是增函数，但 ()fx在 上是减函数；命题 3：存在函数 ()fx、 （定义域均为 D），使得 ()fx、 g在 0x（ D）处均取到最大值，但 ()fg在 0处取到最小值；那么真命题的个数是（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3三. 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分）17. 如图所示，在棱长为 2 的正方体 1ABCD中， E、 F分别是 AB、
5、 1C的中点.（1 ）求三棱锥 EDF的体积；（2 ）求异面直线 1A与 所成的角的大小.18. 已知函数 ()3sincosfxx.（1 ）当 ()03f，且 |1，求 的值；（2 ）在 ABC中， a、 b、 c分别是角 A、 B、 C的对边， 3a， bc，当 2， ()1fA时，求 bc的值.19. 某公司利用 APP 线上、实体店线下销售产品 A，产品 A 在上市 20 天内全部售完，据统计，线上日销售量 ()ft、线下日销售量 ()gt（单位：件）与上市时间 t（ *N）天的关系满足： 101022tt， 2()0g（ 12t） ，产品 A 每件的销售利润为 45()htt（单位：
6、元）（日销售量=线上日销售量+线下日销售量）.（1 ）设该公司产品 A 的日销售利润为 ()Ft，写出 ()t的函数解析式；（2 ）产品 A 上市的哪几天给该公司带来的日销售利润不低于 5000 元？20. 已知椭圆2:1xyab（ 0a），其左、右焦点分别为 1F、 2，上顶点为 B， O为坐标原点，过 2F的直线 l交椭圆 于 P、 Q两点， 13sinBFO.（1 ）若直线 垂直于 x轴，求 12|的值；（2 ）若 b，直线 l的斜率为 ，则椭圆 上是否存在一点 E，使得 1F、 关于直线 l成轴对称？如果存在，求出点 E的坐标，如果不存在，请说明理由；（3 ）设直线 1:6ly上总存在
7、点 M满足 2OPQM，当 b的取值最小时，求直线 l的倾斜角 . 21. 无穷数列 na（ *N），若存在正整数 t，使得该数列由 t个互不相同的实数组成，且对于任意的正整数 ， 12,nt中至少有一个等于 na，则称数列 na具有性质 T，集合*|nPp.（1 ）若 ()a， ，判断数列 n是否具有性质 T；（2 ）数列 n具有性质 T，且 1a， 43， 82a， 1,3P，求 20a的值；（3 ）数列 具有性质 ，对于 P中的任意元素 ip， ki为第 个满足 kiip的项，记 1kkbi（*kN），证明：“数列 kb具有性质 T”的充要条件为“数列 n是周期为 t的周期数列，且每个周
8、期均包含 t个不同实数”.上海市松江区 2018 届高三二模数学试卷2018.04一. 填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分）1. 双曲线219xya（ 0a）的渐近线方程为 320xy，则 a 【解析】2. 若二元一次方程组的增广矩阵是 1234c，其解为 10y，则 12c 【解析】 1203c3. 设 mR，若复数 (1)zmi在复平面内对应的点位于实轴上，则 m 【解析】虚部为零， 14. 定义在 R 上的函数 ()2xf的反函数为 1()yfx，则 1(3)f 【解析】 123x5. 直线 l的参数方程为 2ty（ 为参数），则 l的
9、一个法向量为 【解析】 1()30yx，法向量可以是 (2,1)6. 已知数列 na，其通项公式为 1na， *N， na的前 项和为 nS，则 limna【解析】235nS， lim2nS7. 已知向量 a、 b的夹角为 60， |1a， |b，若 (2)()abx，则实数 x的值为 【解析】 (2)()0()803xxx8. 若球的表面积为 1，平面 与球心的距离为 3，则平面 截球所得的圆面面积为 【解析】 5R， 4r， 6S9. 若平面区域的点 (,)xy满足不等式 |14xyk（ 0k），且 zxy的最小值为 5，则常数 k 【解析】数形结合，可知图像 |经过点 (5,)，10.
10、若函数 2()log(1)afxx（ 0a且 1）没有最小值，则 a的取值范围是 【解析】分类讨论，当 0时，没有最小值，当 a时，即 210x有解， 0，综上， (,),)11. 设 1234,1,2x，那么满足 1234|x的所有有序数对()的组数为 【解析】 1234|xx，有 10 组； 1234|xx，有 16 组； |，有 19 组；综上，共 45 组12. 设 *nN， na为 (4)(1)nnx的展开式的各项系数之和， 324ct， R，1255nb（ 表示不超过实数 x的最大整数），则 2()()nbc的最小值为 【解析】 na， 21nna，2nb， 22()()nt的几何
11、意义为点2(,)()*N到点 3(,)4t的距离，由图得，最小值即 ,1到 34yx的距离，为 0.4 二. 选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）13. “ 0xy”是“ x且 0y”成立的（ ）A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件【解析】B14. 如图，点 A、 B、 C分别在空间直角坐标系 Oxyz的三条坐标轴上， (0,2)O，平面 ABC的法向量为(2,1)n，设二面角 的大小为 ，则cos（ ）A. 43 B. 5 C. 23 D. 23【解析】 4cos|OCn，选 C15. 已知等比数列 na的前 项和为 nS，则
12、下列判断一定正确的是（ ）A. 若 30S，则 2018 B. 若 30S，则 2018aC. 若 21，则 9 D. 若 21，则 92018【解析】A 反例， a， 2， 34a，则 08；B 反例， 4， a，3a，则 2018；C 反例同 B 反例， 21921a；故选 D 16. 给出下列三个命题：命题 1：存在奇函数 ()fx（ 1D）和偶函数 ()gx（ 2），使得函数 ()fxg（ 12D）是偶函数；命题 2：存在函数 ()f、 g及区间 ，使得 ()f、 在 D上均是增函数，但 ()fx在 上是减函数；命题 3：存在函数 ()fx、 （定义域均为 ），使得 ()fx、 g在
13、0x（ D）处均取到最大值，但 ()fxg在 0x处取到最小值；那么真命题的个数是（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【解析】命题 1： ()0fxg， xR；命题 2： ()fxgx， (,0)；命题 3： 2()f， ；均为真命题，选 D三. 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分）17. 如图所示，在棱长为 2 的正方体 1ABC中， E、 F分别是 AB、 1C的中点.（1 ）求三棱锥 EDF的体积；（2 ）求异面直线 1A与 所成的角的大小.【解析】（1） 23V（2 ） 54cos2，所成角为 4arcos518. 已知函数 ()3sincos
14、fxx.（1 ）当 0，且 |1，求 的值；（2 ）在 ABC中， a、 b、 分别是角 A、 B、 C的对边， 3a， bc，当 2，()f时，求 c的值.【解析】（1） ()2sin()6fx， ()036f k， |1，（2 ） (1fA3，由余弦定理， 2bc19. 某公司利用 APP 线上、实体店线下销售产品 A，产品 A 在上市 20 天内全部售完，据统计，线上日销售量 ()ft、线下日销售量 ()gt（单位：件）与上市时间 t（ *N）天的关系满足： 101022tt， 2()0g（ 12t） ，产品 A 每件的销售利润为 45()htt（单位：元）（日销售量=线上日销售量+线下
15、日销售量）.（1 ）设该公司产品 A 的日销售利润为 ()Ft，写出 ()t的函数解析式；（2 ）产品 A 上市的哪几天给该公司带来的日销售利润不低于 5000 元？【解析】（1）2240(3),10() 15,2ttFttt（2 ） ()5015t，第 5 天到第 15 天20. 已知椭圆2:1xyab（ 0a），其左、右焦点分别为 1F、 2，上顶点为 B， O为坐标原点，过 2F的直线 l交椭圆 于 P、 Q两点， 13sinBFO.（1 ）若直线 垂直于 x轴，求 12|的值；（2 ）若 b，直线 l的斜率为 ，则椭圆 上是否存在一点 E，使得 1F、 关于直线 l成轴对称？如果存在，
16、求出点 E的坐标，如果不存在，请说明理由；（3 ）设直线 1:6ly上总存在点 M满足 2OPQM，当 b的取值最小时，求直线 l的倾斜角 . 【解析】（1）223xb， :lxb， 23F， 153， 12|5PF（2 ）2y， 1:()ly， 1(,0)，关于 l 对称点 6(,)E，不在椭圆上（3 ）设 :()lkxb，点差得 :3OMlyxk，联立 1:ly，得 (3,)Mk，代入直线 l， 632)， 6b， k， 5621. 无穷数列 na（ *N），若存在正整数 t，使得该数列由 t个互不相同的实数组成，且对于任意的正整数 ， 12,nt中至少有一个等于 na，则称数列 na具有性质 T，集合*|nPp.（1 ）若 ()a， ，判断数列 n是否具有性质 T；（2 ）数列 n具有性质 T，且 1a， 43， 82a， 1,3P，求 20a的值；（3 ）数列 具有性质 ，对于 P中的任意元素 ip， ki为第 个满足 kiip的项，记 1kkbi（*kN），证明：“数列 kb具有性质 T”的充要条件为“数列 n是周期为 t的周期数列，且每个周期均包含 t个不同实数”.【解析】（1） 2t，对任意正整数 n， 2na恒成立，具有性质 T（2 ）分类讨论，得结论， 6， 有周期性，周期为 3， 208a（3 ）略
