1、2017-2018 学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷高三数学 2018.4一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果1已知全集 RU，集合 032xA，则 ACU . 2在6x的二项展开式中，常数项是 . 3函数 ()lg32)xf的定义域为 _4已知抛物线 ay的准线方程是 14y，则 a .5若一个球的体积为 3，则该球的表面积为 _6 已知实数 xy， 满足01， 则目标函数 zxy的最小值为_ 7函数 2sinco()xf 的最小正周期是_8若一圆锥的底面半径为 3，体积是 1，则该圆
2、锥的侧面积等于 .9 将两颗质地均匀的骰子抛掷一次，记第一颗骰子出现的点数是 m，记第二颗骰子出现的点数是 n，向量 2,amn，向量 ,b，则向量 ab的概率是 .10已知直线 12:0:20lxylxmy.当 在实数范围内变化时， 1l与 2的交点 P恒在一个定圆上，则定圆方程是 .11若函数2()sin)1fx的最大值和最小值分别为 M、 m，则函数()igxMm图像的一个对称中心是 12已知向量 ,ab的夹角为锐角，且满足 8|15a、 4|b，若对任意的(,),|1,0xyxyx，都有 |xy成立，则 a的最小值为 .二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题分）每题有且只
3、有一个正确选项。考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑13 在四边形 ABCD中， ，且 AC BD0，则四边形 ABCD是-（ ）NMD1 C1B1A1D CBA（A）菱形 （B）矩形 （C）直角梯形 （D）等腰梯形14. 若无穷等比数列 na的前 项和为 nS，首项为 1，公比为 2，且 aSnlim，(n*N)，则复数 iz1（ 为虚数单位）在复平面上对应的点位于 -（ ）（A）第一象限 （B ） 第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限15在 C中， “cosincosinAB”是“ 09”的- （ ）（A） 充分非必要条件 （B）必要非充分条件（C ） 充要条件 （D）
4、既不充分也不必要条件16如图，圆 分别与 x轴正半轴， y轴正半轴相切于点 ,A，过劣弧 B上一点 T作圆 C的切线，分别交 x轴正半轴， y轴正半轴于点 ,MN，若点 (2,1)Q是切线上一点，则 MON周长的最小值为-( )（A）10 （B ）8 （ C） 45 （D）12三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17 (本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分)如图在长方体 DCBA中， ， 4AD，12AC，点 M为 的中点，点 N为 B的中点（1 ）求长方体 1的体积；（2 ）求异面直线 A1与 B
5、所成角的大小（用反三角函数表示） 18 (本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分)如图：某快递小哥从 A地出发，沿小路 ABC以平均时速 20 公里 /小时，送快件到 C处，已知 10D（公里） ，0045,3DCB， 是等腰三角形， ABCD012ABD（1） 试问，快递小哥能否在 50 分钟内将快件送到 C处？（2）快递小哥出发 15 分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路C追赶，若汽车平均时速 60 公里 /小时，问，汽车能否先到达 C处？19 (本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分)已知函数
6、 2()3fxt，其定义域为 0,31,5，(1) 当 t时，求函数 ()yfx的反函数；(2) 如果函数 ()f在其定义域内有反函数，求实数 t的取值范围20 (本题满分 16 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分)如图， ,AB是椭圆2:xCy长轴的两个端点，,MN是椭圆上与 ,均不重合的相异两点，设直线的斜率分别是 123,k.(1)求 23k的值；(2)若直线 N过点 ,02，求证： 136k；(3)设直线 M与 x轴的交点为 (,)t( 为常数且 0t)，试探究直线 AM与直线 BN的交点 Q是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程
7、；若不是，请说明理由21 (本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分)已知数列 na的前 项和 nA满足 *1()nN，且 1a，数列 nb满足*210()nnbN， 32b，其前 9 项和为 36(1)求数列 a和 的通项公式；(2)当 为奇数时，将 n放在 的前面一项的位置上；当 n为偶数时，将 nb放在 a前面一项的位置上，可以得到一个新的数列： 12345,abba，求该数列的前 项和 nS；(3)设 nnca，对于任意给定的正整数 2k，是否存在正整数 ,()lmkl，使得 ,klmc成等差数列？若存在，求出 ,lm(用 表示)
8、 ；若不存在，请说明理由2017 学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷数学学科参考答案及评分标准 2018.4一 填空题：（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分E NMD1 C1B1A1D CBA 3,1 220 3 (0,) 4 1 5 6 6 17 8 9 16 10 20xy 11 4， 12 85 二选择题：（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题分）13 A 14D 15B 16 A三解答题：（本大题共 5 题，满分 74 分）17 (本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分)【解】 （1） 连 C
9、、 A BC是直角三角形， 245AC1DBA是长方体， 1， D1，又 CB，1平面 ， 又在 1CRt中，2A， 5， 1C，18BCDV-6 分（2 ）解法一：如图建立空间直角坐标系则 14,0、 ,0M、 14,2B、 ,0N，所以 A、 ，10 分则向量 1与 N所成角 满足 110cosABM异面直线 1与 N1所成的角等于 arcos1014 分解法二：取 AD的中点 E，连 A1、 M1/BEN， 四边形 NB为平行四边形， NBEA1/， M等于异面直线 1与 1所成的角或其补 角AxBMNCyD111z-9 分1AM， 2E， 1A，得 2M， 15AE， M，150cos
10、， 10arcos异面直线 A1与 NB1所成的角等于 r0-14 分18 (本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分)【解】 （1） 0（公里） ，BCD中，由 0sin45i3C，得 5B（公里）-2 分于是，由 261.0知，快递小哥不能在 50 分钟内将快件送到 处-6 分（2）在 ABD中，由 22100302，得 103（公里） ，-8 分在 BC中， 015，由 005sinsi3CD，得 53D（公里） ，-10 分由1060152345.981.2（分钟）知，汽车能先到达 C处-14 分19 (本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2
11、 小题满分 8 分)【解】(1) 38,73xy； -6 分(2) 01 若 2t，即 0t，则 yfx在定义域上单调递增，所以具有反函数；-8 分若 35，即 1，则 在定义域上单调递减，所以具有反函数；-10 分0当 t，即 8t时，由于区间 0,3关于对称轴 32t的对称区间是3,t，于是当 312t或 315t，即 2,4t或 6,8t时， 函数 yfx在定义域上满足 1-1 对应关系，具有反函数综上， (,02,4)(6,810,)t-14 分20 (本题满分 16 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分)【解】(1)设 0(,)Nxy，由于
12、 (,)(,)AB，所以200230ykx，因为 0(,)Nxy在椭圆 C上，于是201，即 2200xy，所以20231k.-4 分(2)设直线 2:MNxmy， 12(,)(,)xyN，由 2xmy得 23()02，于是 12123,yymm，-6 分121213 2139ykx2 222 2331969mm10 分(3)由于直线 MN与 x轴的交点为 (,0)t，于是 :MNxyt，联立直线 :myt与椭圆2:1xCy的方程，可得22()0myt，于是2121,tym.-12 分因为直线 1:()2AMx，直线 2:()yBNx，两式相除，可知 12121222 1()xytytymm2
13、212 12()()()t tmt ttyy 21()()tt tm ，于是 2xt，所以 xt，即直线 AM与直线 BN的交点 Q落在定直线 2xt上16 分21 (本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分)【解】答案：(1)因为 *()nAN，于是数列 nA是首项为 1，公差为 2的等差数列，所以 12n，即 *1()2n，当 时， 1nnaA，又因为 1a，所以 *()nN.-2 分又因为 *210()bN，于是数列 b是等差数列，设 n的前 项和为 nB，由于 9536，则 54，由于 32b，所以 (*)-4 分(2)数列 na
14、的前 n 项和 (1)2nA，数列 nb的前 项和 (1)2nB-5 分当 2(*)kN时， 2(1)2nkkkSB；-6 分当 43n时，243212(1)(23)1463nkkkSABkk；-7 分当 (*)N时， 2412()()nkkkkk；-8 分所以2,3,41,nSk，其中 *kN-10 分(3)由(1)可知， 12nc.若对于任意给定的正整数 k，存在正整数 ,()lmkl，使得 ,klmc成等差数列，则2lkmc，即 122l，-11 分于是 14()1kll ，所以2212()44kllk2()1kl，即2()1ml，-13 分则对任意的 ,N， 4k能整除 2()k，且 410kl.由于当 2时， 1中存在多个质数，所以 4kl只能取 1 或 2或 21-14 分若 ，则 lk， 45mk，于是273(4)0mlk，符合 lm；-15 分若 41，则 l，矛盾，舍去；-16 分若 2()l，则 2k，于是 ，矛盾-17 分综上，当 k时，存在正整数 21,45lk，满足 kl，且使得 ,klmc成等差数列-18 分
