1、选修 44 坐标系与参数方程第一节 坐标系考纲传真 1.理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程1平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 ：Error!的作用下，点 P(x，y) 对应到点 P(x，y )，称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换2极坐标系与点的极坐标(1)极坐标系：如图 1 所示，在平面内取一个定点 O(极点)，自极点 O 引一条射线 Ox(极轴) ；再选定一个长度单
2、位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取 逆时针 方向) ，这样就建立了一个极坐标系图 1(2)极坐标：平面上任一点 M 的位置可以由线段 OM 的长度 和从 Ox 到OM 的角度 来刻画，这两个数组成的有序数对( ， )称为点 M 的极坐标其中 称为点 M 的极径， 称为点 M 的极角3极坐标与直角坐标的互化点 M 直角坐标( x，y) 极坐标( ， )互化公式 Error! 2x 2y 2tan (x0)yx4.圆的极坐标方程曲线 图形 极坐标方程圆心在极点，半径为 r 的圆 r(02)圆心为(r, 0)，半径为 r 的圆2rcos _(0 )2圆心为 ，半径为 r 的圆(r，2)
3、 2r sin_(0)5.直线的极坐标方程(1)直线 l 过极点，且极轴到此直线的角为 ，则直线 l 的极坐标方程是(R)(2)直线 l 过点 M(a,0)且垂直于极轴，则直线 l 的极坐标方程为 cos a.( 2 2)(3)直线过 M 且平行于极轴，则直线 l 的极坐标方程为(b，2)sin_b(0 )1(思考辨析) 判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系( )(2)若点 P 的直角坐标为(1， )，则点 P 的一个极坐标是 .( )3 (2， 3)(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯
4、一的( )(4)极坐标方程 (0)表示的曲线是一条直线( )答案 (1) (2) (3) (4)2(教材改编) 若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段 y1 x(0x1)的极坐标方程为( )A ，01cos sin 2B ，01cos sin 4Ccos sin ，02D cos sin ，0 4A y1x (0x1)，sin 1cos (0cos 1)， .1sin cos (0 2)3(教材改编) 在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系若曲线 C 的极坐标方程为 2sin ，则曲线 C 的直角坐标方程为_x2y 22y0
5、 由 2sin ，得 22sin .所以曲线 C 的直角坐标方程为 x2y 22y 0.4已知直线 l 的极坐标方程为 2sin ，点 A 的极坐标为 A( 4) 2，则点 A 到直线 l 的距离为_(22，74)由 2sin ，得 2 ，522 ( 4) 2 ( 22sin 22cos ) 2yx1.由 A ，得点 A 的直角坐标为(2，2)(22，74)点 A 到直线 l 的距离 d .|2 2 1|2 5225(2015江苏高考 )已知圆 C 的极坐标方程为 2 2 sin 40，2 ( 4)求圆 C 的半径解 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点 O，以极轴为 x 轴的正半轴，建立直
6、角坐标系 xOy.2 分圆 C 的极坐标方程可化为 22 40，4 分2(22sin 22cos )化简，得 2 2sin 2cos 40.6 分则圆 C 的直角坐标方程为 x2y 22x 2y40，即(x1) 2(y1) 26，所以圆 C 的半径为 .10 分6平面直角坐标系中的伸缩变换将圆 x2y 21 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 2倍，得曲线 C.(1)求曲线 C 的方程；(2)设直线 l： 2xy20 与 C 的交点为 P1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段 P1P2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程解 (1)设(x 1，y 1)
7、为圆上的点，在已知变换下变为曲线 C 上的点(x ，y)，依题意，得 Error!2 分由 x y 1 得 x2 21，21 21 (y2)故曲线 C 的方程为 x2 1.5 分y24(2)由Error!解得 Error!或 Error!6 分不妨设 P1(1,0)，P 2(0,2)，则线段 P1P2 的中点坐标为 ，所求直线斜率为(12，1)k ，8 分12于是所求直线方程为 y 1 ，12(x 12)化为极坐标方程，并整理得 2cos 4sin 3，故所求直线的极坐标方程为 .10 分34sin 2cos 规律方法 1.解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与
8、作用；二是明确变换前的点 P(x，y)与变换后的点P( x，y )的坐标关系，利用方程思想求解2求交点坐标，得直线方程，最后化为极坐标方程，其实质是将 xcos ，y sin 代入转化变式训练 1 在平面直角坐标系中，已知伸缩变换 ：Error! 【导学号：01772437】(1)求点 A 经过 变换所得点 A的坐标；(13， 2)(2)求直线 l： y6x 经过 变换后所得直线 l的方程解 (1)设点 A( x，y) ，由伸缩变换：Error!得 Error!2 分x 31，y 1.13 22点 A的坐标为(1 ， 1).5 分(2)设 P( x，y)是直线 l上任意一点由伸缩变换 ：Err
9、or!得 Error!8 分代入 y6x，得 2y6 2x，x3yx为所求直线 l的方程.10 分极坐标与直角坐标的互化(2015全国卷)在直角坐标系 xOy 中，直线 C1：x2，圆C2：( x1) 2( y2) 21，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求 C1，C 2 的极坐标方程；(2)若直线 C3 的极坐标方程为 (R)，设 C2 与 C3 的交点为 M，N，求4C 2MN 的面积解 (1)因为 xcos ，ysin ，所以 C1 的极坐标方程为 cos 2，C 2 的极坐标方程为 22 cos 4 sin 40.4 分(2)将 代入 22cos 4 sin 40
10、，得423 40，解得 12 ， 2 .8 分2 2 2故 1 2 ，即|MN| .2 2由于 C2 的半径为 1，所以C 2MN 的面积为 .10 分12迁移探究 1 若本例条件不变，求直线 C1 与 C3 的交点的极坐标解 联立方程 Error!解得 且 2 .6 分4 2所以交点的极坐标为 .10 分( 22，4)迁移探究 2 本例条件不变，求圆 C2 关于极点的对称圆的方程解 因为点 (，)与点( ， )关于极点对称，设点(，)为对称圆上任意一点，则(，)在圆 C2 上，所以( )22cos 4sin 40.6 分故所求圆 C2 关于极点的对称圆的方程为 x2y 22x4y 40.10
11、 分规律方法 1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是灵活应用互化公式：xcos ，y sin ， 2x 2y 2，tan (x0)yx2进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，要注意 ， 的取值范围及其影响；要善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；要灵活运用代入法和平方法等方法变式训练 2 (2016 北京高考改编 )在极坐标系中，已知极坐标方程C1：cos sin 1 0，C 2：2cos .3(1)求曲线 C1，C 2 的直角坐标方程，并判断两曲线的形状；(2)若曲线 C1，C 2 交于 A，B 两点，求两交点间的距离解 (1)由 C1：cos sin 10，3x y10，
12、表示一条直线.2 分3由 C2： 2cos ，得 2 2cos ，x 2y 22x，则(x1) 2 y21.C 2 是圆心为(1,0)，半径 r1 的圆.4 分(2)由(1)知点(1,0)在直线 x y10 上，3因此直线 C1 过圆 C2 的圆心.6 分两交点 A，B 的连线段是圆 C2 的直径因此两交点 A，B 间的距离|AB|2r 2.10 分直线与圆的极坐标方程的应用(2016全国卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为Error!(t 为参数，a0)在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：4cos .(1)说明 C1 是哪一种曲线，并将 C1 的
13、方程化为极坐标方程；(2)直线 C3 的极坐标方程为 0，其中 0 满足 tan 02，若曲线 C1 与 C2的公共点都在 C3 上，求 a.解 (1)消去参数 t 得到 C1 的普通方程为 x2(y1) 2a 2，则 C1 是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆.2 分将 xcos ，y sin 代入 C1 的普通方程中，得到 C1 的极坐标方程为22sin 1a 20.4 分(2)曲线 C1，C 2 的公共点的极坐标满足方程组Error!若 0，由方程组得 16cos28sin cos 1a 20，由已知 tan 2，得 16cos28sin cos 0，8 分从而 1a 20，解得 a1(
14、舍去)或 a1.当 a1 时，极点也为 C1，C 2 的公共点，且在 C3 上所以 a1.10 分规律方法 1.第(1) 问将曲线 C1 的参数方程先化为普通方程，再化为极坐标方程，考查学生的化归与转化能力第(2)问中关键是理解极坐标方程，有意识地将问题简单化，进而求解2由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标方程解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解变式训练 3 (2017 太原市质检 )已知曲线 C1：x y 和3 3C2：Error! ( 为参数)以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位(1)把曲线 C1 和 C2 的方
15、程化为极坐标方程；(2)设 C1 与 x，y 轴交于 M，N 两点，且线段 MN 的中点为 P.若射线 OP 与C1，C 2 交于 P，Q 两点，求 P，Q 两点间的距离解 (1)曲线 C1 化为 cos sin .3 3sin .2 分( 6) 32曲线 C2 化为 1.(*)x26 y22将 xcos ， ysin 代入(*) 式得 cos2 sin21，即 2(cos23sin 2)6.26 22曲线 C2 的极坐标方程为 2 .4 分61 2sin2(2)M( ，0)，N(0,1)，P ，3 (32，12)OP 的极坐标方程为 ，6 分6把 代入 sin 得 11，P .6 ( 6)
16、32 (1，6)把 代入 2 得 22，Q .8 分6 61 2sin2 (2，6)|PQ| 2 1|1，即 P，Q 两点间的距离为 1.10 分思想与方法1曲线的极坐标方程与直角坐标方程互化：对于简单的可以直接代入公式cos x，sin y， 2x 2y 2，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方，两边同乘以 等2确定极坐标方程的四要素：极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可易错与防范1平面上点的直角坐标的表示形式是唯一的，但点的极坐标的表示形式不唯一极坐标与 P 点之间不是一一对应的，所以我们又规定 0,02 ，来使平面上的点与它的极坐标之间是一一对应的，但仍然不包括极点2进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，应注意两点：(1)注意 ， 的取值范围及其影响(2)重视方程的变形及公式的正用、逆用、变形使用
