1、习题 3-11. 验证罗尔定理对函数 y=ln sin x 在区间上的正确性. 解 因为 y=ln sin x 在区间上连续, 在内可导, 且, 所以由罗尔定理知, 至少存在一点, 使得 y(x)=cot x=0. 由 y(x)=cot x=0 得. 因此确有, 使 y(x)=cot x=0.2. 验证拉格朗日中值定理对函数 y=4x3-5x2x-2 在区间0, 1上的正确性. 解 因为 y=4x3-5x2x-2 在区间0, 1上连续, 在(0, 1)内可导, 由拉格朗日中值定理知, 至少存在一点 x(0, 1), 使. 由 y(x)=12x2-10x1=0 得. 因此确有, 使. 3. 对函
2、数 f(x)=sin x 及 F(x)=x +cos x 在区间上验证柯西中值定理的正确性.解 因为 f(x)=sin x 及 F(x)=x +cos x 在区间上连续, 在可导 , 且 F(x)=1-sin x 在内不为 0, 所以由柯西中值定理知至少存在一点, 使得. 令, 即. 化简得. 易证, 所以在内有解, 即确实存在, 使得. 4. 试证明对函数 y=px2qxr 应用拉格朗日中值定理时所求得的点总是位于区间的正中间. 证明 因为函数 y=px2qxr 在闭区间a, b上连续, 在开区间 (a, b)内可导, 由拉格朗日中值定理, 至少存在一点 x(a, b), 使得 y(b)-y
3、(a)=y(x)(b-a), 即(pb2qbr)-(pa2qar)=(2pxq)(b-a). 化间上式得p(b-a)(ba)=2px (b-a), 故. 5. 不用求出函数 f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)的导数, 说明方程 f (x)=0 有几个实根, 并指出它们所在的区间. 解 由于 f(x)在1, 2上连续, 在(1, 2)内可导, 且 f(1)=f(2)=0, 所以由罗尔定理可知, 存在 x1(1, 2), 使 f (x1)=0. 同理存在 x2(2, 3), 使 f (x2)=0; 存在 x 3(3, 4), 使 f (x 3)=0. 显然 x1,x2,x 3 都是
4、方程 f (x)=0 的根. 注意到方程 f (x)=0 是三次方程, 它至多能有三个实根, 现已发现它的三个实根, 故它们也就是方程 f (x)=0 的全部根. 6. 证明恒等式: (-1x1). 证明 设 f(x) arcsin xarccos x. 因为, 所以 f (x)C, 其中 C 是一常数. 因此, 即. 7. 若方程 a0xn+a1xn-1+ + an-1x=0 有一个正根 x0, 证明方程a0nxn-1+a1(n-1)xn-2 + +an-1 =0 必有一个小于 x0 的正根.证明 设 F(x)=a0xn+a1xn-1+ + an-1x, 由于 F(x)在0, x0上连续,
5、在(0, x0)内可导, 且F(0)=F(x0)=0, 根据罗尔定理, 至少存在一点 x(0, x0), 使 F (x)=0, 即方程a0nxn-1+a1(n-1)xn-2 + +an-1 =0 必有一个小于 x0 的正根.8. 若函数 f(x)在(a, b)内具有二阶导数, 且 f(x1)=f(x2)=f(x3), 其中 ax1x2x3b, 证明: 在(x1, x3)内至少有一点 x, 使得 f (x)=0. 证明 由于 f(x)在x1, x2上连续, 在(x1, x2)内可导, 且 f(x1)=f(x2), 根据罗尔定理, 至少存在一点 x1(x1, x2), 使 f (x1)=0. 同理
6、存在一点 x2(x2, x3), 使 f (x2)=0. 又由于 f (x)在 x1, x2上连续, 在(x1, x2)内可导, 且 f (x1)=f (x2)=0, 根据罗尔定理, 至少存在一点 x (x1, x2)(x1, x3), 使 f (x )=0. 9. 设 ab0, n1, 证明: nbn-1(a-b)ex. 12. 证明方程 x5x-1=0 只有一个正根. 证明 设 f(x)x5x1, 则 f(x)是0, )内的连续函数 因为 f(0)1, f(1)1, f(0)f(1)0, 所以函数在(0, 1)内至少有一个零点 即 x5x10 至少有一个正根. 假如方程至少有两个正根 则由
7、罗尔定理 f (x)存在零点 但 f (x)5x410, 矛盾 这说明方程只能有一个正根 13. 设 f(x),g(x)在a, b上连续, 在(a, b)内可导, 证明在 (a, b)内有一点 x, 使.解 设, 则 j(x)在a, b上连续, 在(a, b)内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在 x(a, b), 使j(b)-j(a)=j(x)(b-a), 即 . 因此 .14. 证明 : 若函数.f(x)在(-, +)内满足关系式 f (x)=f(x), 且 f(0)=1 则 f(x)=ex .证明 令, 则在(-, +)内有, 所以在(-, +)内 j(x)为常数. 因此 j(x)=j(0)=1, 从而 f(x)=ex .15. 设函数 y=f(x)在 x=0 的某邻域内具有 n 阶导数, 且 f(0)=f (0)= =f (n-1)(0)=0, 试用柯西中值定理证明:(0q1). 证明 根据柯西中值定理(x1 介于 0 与 x 之间), (x2 介于 0 与 x1 之间), (x3 介于 0 与 x2 之间), 依次下去可得(xn 介于 0 与 xn-1 之间), 所以. 由于 xn 可以表示为 xn =q x (0q1), 所以 (0q1).
