1、2018 届北京市西城区高三下学期 4 月统一测试（一模）数学（文）试题数学（文科） 2018. 4第卷（选择题 共 40 分）一、 选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的 四个选项中，选 出符合题目要求的一项1若集合 ， ，则 （A） （B）（C ） （D）2若复数 的实部与虚部相等，则实数（A） （B） （C ） （D）3执行如图所示的程序框图，输出的 值为（A）（B）（C ）（D）4若函数 是奇函数，则（A） （B） （C ） （D）5正三棱柱的三视图如图所示 ，该正三棱柱的表面积是（A） （B）（C ） （D）6已知二次函数 则“ ”是“ 恒成立”的（A
2、）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件7已知 是正方形 的中心若 ，其中 ， ，则（A） （B） （C ） （D）8如图，在长方体 中， ，点 在侧面 上满足到直线 和的距离相等的点 （A）不存在 （B）恰有 1 个 （C ）恰有 2 个 （D）有无数个第卷（非选择题 共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9 函数 的定义域是 _10已知 ， 满足条件 则 的最小值为_11已知抛物线 的焦点与双曲线 的一个焦点重合，则 _；双曲线的渐近线方程是_12在 中， ， ， ，则 _13能够说明“存在不相等的正数
3、 ， ，使得 ”是真命题的一组 ， 的值为_14某班共有学生 40 名，在乒乓球、篮球、排球三项运动中每人至少会其中的一项，有些人会其中的两项，没有人三项均会若该班 18 人不会打乒乓球，24 人不会打篮球，16 人不会打排球，则该班会其中两项运动的学生人数是_三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15 （本小题满分 13 分）设等差数列 的公差不为 0， ，且， ， 成等比数列（）求 的通项公式；（）设数列 的前 项和为 ，求使 成立的 的最小值16 （本小题满分 13 分）函数 的部分图象如图所示（）求 的值；（）求 的值17 （本小题满分
4、 13 分）某企业 2017 年招聘员工，其中 A、B、C、D、E 五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到1%）如下：岗位 男性应聘人数 男性录用人数 男性录用比例 女性应聘人数 女性录用人数 女性录用比例A 269 167 62% 40 24 60%B 40 12 30% 202 62 31%C 177 57 32% 184 59 32%D 44 26 59% 38 22 58%E 3 2 67% 3 2 67%总计 533 264 50% 467 169 36%（）从表中所有应聘人员中随机选择 1 人，试估计此人被录用的概率；（）从应聘 E 岗位的 6 人中随机选择 1 名男性和
5、1 名女性，求这 2 人均被录用的概率；（）表中 A、B、C、D、E 各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大于 5%），但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位（只需写出结论）18 （本小题满分 14 分）如图 1，在 中， ， 分别为 ， 的中点， 为 的中点， 将 沿 折起到 的位置，使得平面 平面 ， 为的中点，如图 2 （）求证： 平面 ；（）求证：平面 平面 ；（）线段 上是否存在点 ，使得 平面 ？说明理由图 1 图 219 （本小题满分 14 分）已知椭圆 的离心率为 ，以椭圆
6、的任意三个顶点为顶点的三角形的面积是（）求椭圆 的方程；（）设 是椭圆 的右顶点，点 在 轴上若椭圆 上存在点 ，使得 ，求点 横坐标的取值范围20 （本小题满分 13 分）已知函数 ，其中 （）若曲线 在 处的切线与直线 垂直，求 的值；（）记 的导函数为 当 时，证明： 存在极小值点 ，且 西城区高三统一测试数学（文科）参考答案及评分标准 2018.4一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.1 D 2B 3C 4A 5 D 6B 7A 8D二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 9 1011 ，12 13 （答案不唯一） 1422注：第 11
7、题第一空 3 分，第二空 2 分. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15 （本小题满分 13 分）解：（）设等差数列 的公差为 ， 因为 ， ， 成等比数列， 所以 2 分即 ， 4 分 解得 ，或 （舍去） 6 分所以 的通项公式为 8 分（）因为 ， 所以 10 分依题意有 ，解得 12 分使 成立的 的最小值为 8 13 分 16 （本小题满分 13 分）解：（）依题意，有 ， 2 分所以 ，解得 4 分（）因为 6 分 9 分 10 分所以 的最小正周期 11 分 所以 13 分17 （本小题满分 13 分）解：（）因为 表中所有
8、应聘人员总数为 ，被该企业录用的人数为 所以从表中所有应聘人员中随机选择 1 人，此人被录用的概率约为 3 分（）记应聘 E 岗位的男性为 ， ， ，被录用者为 ， ；应聘 E 岗位的女性为 ， ，被录用者为 ， 4 分从应聘 E 岗位的 6 人中随机选择 1 名男性和 1 名女性，共 9 种情况，即： 7 分这 2 人均被录用的情况有 4 种，即： 8 分记“从应聘 E 岗位的 6 人中随机选择 1 名男性和 1 名女性，这 2 人均被录用”为事件 ，则 10 分（）这四种岗位是：B、C、D 、E 13 分18 （本小题满分 14 分）解：（）取线段 的中点 ，连接 ， 1 分因为 在 中，
9、 ， 分别为 ， 的中点，所以 ， 因为 ， 分别为 ， 的中点，所以 ， ， 所以 ， ，所以 四边形 为平行四边形， 3 分所以 4 分因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 5 分（）因为 在 中， ， 分别为 ， 的中点，所以 所以 ，又 为 的中点，所以 6 分因为 平面 平面 ，且 平面 ，所以 平面 ， 7 分所以 8 分在 中， ，易知 ， 所以 ，所以 平面 ， 9 分所以 平面 平面 10 分（）线段 上不存在点 ，使得 平面 11 分否则，假设线段 上存在点 ，使得 平面 ，连接 ， ，则必有 ，且 在 中，由 为 的中点， ，得 为 的中点 12 分在 中，因为 ， 所以
10、，这显然与 ， 矛盾！所以 线段 上不存在点 ，使得 平面 14 分19 （本小题满分 14 分）解：（）设椭圆 的半焦距为 依题意，得 ， ，且 3 分解得 ， 所以椭圆 的方程为 5 分（）“椭圆 上存在点 ，使得 ”等价于“存在不是椭圆左、右顶点的点 ，使得成立” 6 分依题意， 设 ， ，则 ， 7 分且 ，即 9 分将 代入上式，得 10 分因为 ，所以 ，即 12 分所以 ， 解得 ，所以 点 横坐标的取值范围是 14 分20 （本小题满分 13 分）解：（） 2 分依题意，有 ， 3 分解得 4 分（）由（）得 ，所以 6 分因为 ，所以 与 同号设 ， 7 分则 所以 对任意 ，有 ，故 在 单调递增 8 分因为 ，所以 ， ，故存在 ，使得 10 分与 在区间 上的情况如下：
