1、用几何画板探究点的轨迹:圆一、教学背景分析（1）知识背景与学生学情分析本课是在学生学习了“直线与方程” 、 “圆与方程”这两章课本知识后，基于对曲线与方程有了较好的理解和掌握的前提下，教材安排的一节“信息技术应用”课程在当今时代，计算机已经走进了学生们的日常生活，走进了课堂，学生普遍都具备了一定的计算机和信息技术知识，而且他们对计算机和计算机软件也有较熟练的操作能力（2）新教材特色分析我们现行的教材，基本都是新课标颁布实施以后的新编版本，在这套普通高中课程标准实验教科书 数学教材中，课本在形式上改进了前一套教材中的相应版块，增设了新的“信息技术应用”材料和内容，便于让数学的教与学贴近生活、贴近
2、现实，增强学以致用、强化体验等新课程理念，顺应素质教育的要求我今天选说的“用几何画板探究点的轨迹:圆” ，就是必修第四章 139 页的“信息技术应用”课题（3）探究性学习的需求分析时代在进步，科技在提高，学生的学习方式也顺应着教学改革不断完善，向着多样化、自主性、探究式的方向转变所以新教材有新创意，体现着时代特征，是对传统教学的不断改进，值得我们响应与附和利用计算机解决学科问题，特别是数学问题，早就是学生司空见惯、耳闻目睹的事情，面对陌生的数学问题或陌生的计算机软件，学生在心理上并没有恐惧感，相反，在老师的推荐、带动和指导下，还容易激发他们的好奇心和求新欲望，甚至激发他们热衷于对计算机软件的尝
3、试和探究的潜能因此，课本设置这样的一节课，不仅是要增强学生掌握现代信息技术的意识，也是在强化对新课程理念的导向，更是对我们教师自身学习与探究能力的挑战、检验与鞭策这样一节课，我喜欢！二、教学目标的设计与实现（1）知识定位：借助几何画板来探究有关圆的轨迹问题，从新的视角审视轨迹问题的本质；认识圆的几何属性在探究过程中的完美运用（2）能力定位：让学生从认识 了解 会用几何画板的一些基本功能，提升学生信息技术的实践能力，加强新时代背景下学生信息技术的基本功；培养学生利用计算机软件来探究、展示或拓展数学知识，开阔视野，激发创新潜能 （3）情感导向：简单的操练平台，简单的操作软件，让学生体验“过把瘾”
4、；把知识教给学生，把能力传授给学生；投其所好，实施快乐教学，实现愉悦学习；师生共同提高，提升“数学”品味三、教法与学法教法：演示法、指导法学法：实践法、探究法（“动手”学习，亲历体验） 四、课程运作（1） 几何画板的搜索、下载和安装，快乐与好奇的开始（2）基本操作入门在阅读课本对几何画板的介绍过程中，初步了解这个软件的基本信息与功能（3）实例演练：【例】已知点 ，点 与点 的距离是它与点 的距离的 ，用(20)(8PQ， ， ， MPQ15几何画板探究点 的轨迹，并给出轨迹的方程（1）点拨基本元素的操练：怎样让工作窗口显示直角坐标系如何作出点 (20)(8PQ， ， ，用“点工具”任作一可移动
5、的点 ，用“线段直尺工具”将点 与点MM连成线段 PQ、 MPQ、先后选中 ，并“度量”比值MPQ、 :?MPQ（2）动态演示与作图：用鼠标拖着点 移动，比值 变化，当比值显示 时停止，那M:PQ0.2么这时的点 ，就是轨迹上的一点 （采用这个操作，尝试寻找符合条件的另外一些点，其间可用键盘上的方向键微调点 的位置，使 的精度M:.PQ更高）到此，师生暂停操作，提出问题：这个寻找符点 的方法，只能找到符合M题意的有限个点，甚至还不是准确位置的点，只是通过这些初级操作熟悉了几何画板最基础的几个简单功能那么，我们怎样才能用几何画板得到符合题意的所有点，并得到完整的轨迹曲线呢？此时，我们还得借助我们
6、掌握的求轨迹的方法（坐标法） ，先来算出轨迹方程，再从方程的角度来分析点 的轨迹到底是哪类曲线（可能认识，M也可能不认识！）经过代数运算，学生得出方程 ，表明轨迹是以 为圆275()416xy7(0)4，心、 为半径的圆54r用几何画板的“圆工具” ，作出所得的圆，要求圆心位置准确、半径准确将先前探索时所得的点 选中，又选中圆周，在菜单“编辑(E)”下点M“合并点到圆” 用鼠标拖动点 在圆周上运动，观察 的值，可以看到它已经不M:MPQ会随点 的位置改变而变化了，恒定为 由此，我们用几何画0.2板验证了我们求得的方程对应的曲线（圆）符合题意设置动画，让计算机自动演示这个轨迹的形成选中点 ，点“
7、编辑(E)”M“操作类按钮(B)” “动画(A)” ，打开动画设置窗口，点“确定”按钮；在窗口左上角就出现了“动画点”按钮；用鼠标右键点击圆周，在弹出菜单中点“隐藏圆(H)” ；选中点 ，在“显示(D)”下点“追踪点(T)” 这几个动作M设置完后，点“动画点”按钮，即可展示点 的轨迹的形成这就是我们今天课程的第一个操作流程（初级操作） ，下面就要进入第二个操作流程（中级操作） 通过动画，我们已经看到，满足方程 的所有点都满足题意275()416xy条件（与点 的距离是它与点 的距离的 ） ；那么，反过来，满足题意条件的PQ15所有点是否都在那个圆上呢？下面，我们让几何画板自己来作出轨迹，看是不
8、是与我们画出的圆一致？ 以点 为圆心，适当长度为半径画出一个圆（把控制点停在 轴上，以便于x调整这个圆的大小） 作圆 的任意一条半径 ，双击点 ，然后选中点 在菜单“变换(T)”PPKK下点击“缩放(D)” ，打开“缩放”对话框；在对话框里输入缩放比例为，点确定，即得到 5 倍于 长的线段 5:1 PR 采用作“平行四边形”的方法，将线段 “平移”到点 处，得线段 ；PRQS以点 为圆心、 为半径画出圆 Q5SPRK 若圆 不相交，则用鼠标拖动 的控制点，使得 相交，PQ圆 、 圆 P圆 PQ圆 、 圆点击两圆相交处，出现交点并命名为 ，并连接 M、（提问学生思考：根据作图过程，判断这个交点
9、满足 吗？）M15PQ 选中两圆交点 ，在“显示”下点“追踪交点”后，用鼠标连续拖动M圆的控制点，看到两圆的大小连续变化，点 的轨迹呈现当我们反复多次拖动控制点，使得交点的轨迹变得足够密集，就完美显示出了点 的轨迹曲线 对比我们画出的圆 和软件生成的轨迹，发现它们是同一条275()416xy曲线，这就验证了所求的轨迹是一个圆，方程是 22(1.75).xy除此之外，我们还可以通过几何画板函数作图(圆)的功能，让软件自动作出轨迹曲线（高级操作） 在“数据(N)”菜单下打开“新建参数(W)”窗口（或在鼠标右键菜单里点“新建参数(W)” ，或用快捷键 Shift+Ctrl+P） ，新建参数“ ”1r
10、 在“数据(N)”菜单下打开“新建函数(N)”窗口（或在鼠标右键菜单里点 “新建函数(N)” ，或用快捷键 Ctrl+F） ，新建以下四个函数：“ ”、 “ ”、 “ ”、 “22()yrx22()yrx22(5)8)yrx”，它们对应于四个半圆58 选中四个函数表达式，在“绘制(G)”菜单下打开“绘制新函数(F)” （或使用快捷键 Ctrl+G） ， 几何画板会自动画出这四个函数的曲线，即圆、 22()xyr22(8)(5)xyr 选中“ ”，用数字“+” 、 “-”键改变 的值，使 相交，点击相1rrPQ圆 、 圆交处，给生成的交点命名为“ ”M 选中点 ，在“显示(D)”菜单下点“追踪交
11、点(T)” （Ctrl+F） M 用数字“+” 、 “-”键连续减小或增大参数 值，即可描出点 的轨迹曲rM线分析这个曲线，可以看出是经过点 ，且关于 轴对称的一个圆，方程1(0)32， 、 ， x是 22(1.75).xy到此，用几何画板探索点的轨迹（圆）的演练过程完成，下面同学们独立或相互合作，探索一下一个简单的轨迹作图：【实例】已知原点 和点 ，过点 分别作互相垂直的直线 ，(0)O， (10)A， OA、 l、垂足为 试用几何画板探索点 的轨迹曲线，并写出轨迹方程MM几何关系分析：两条互相垂直的直线，斜率之积为 （互为负倒数） ，故可将1一条直线（如 ）的斜率 作为参数，建立动态的直线方程lk操作点拨引导：方法一： 作一个 ，在圆周上任取一点 ，作直线 （即 ） O圆 POl 作点 ，过 作 的垂线 ，垂足为“ ”，选中并设置“追踪交点”(10)A， OPlM 对点 设置动画，同时隐藏 PO圆点“动画点”按钮，可自动生成点 的轨迹曲线轨迹方程为M22(5)xy方法二： 新建参数 1k 新建函数 ，新建函数 ，并绘制函数图像（直线） ykx1(0)yxk 命名交点（垂足）为“ ”，选中它并设置“追踪交点” M 连续改变参数 的值，画出交点 的轨迹曲线；轨迹方程为kM22(5)xy
