1、离散数学 第一章 复习总结,北华航天工业学院 计算机学院 王兴会,命题,对错确定的陈述语句称为命题,北华航天工业学院-计算机学院 制作,联结词,命题逻辑中的联结词归纳为以下5种。合取：C语言中 & and 并且析取：C语言中 | or 或否定：C语言中 ! not 非,不是,否定条件式：C语言中 if () 如果那么 如p则q双条件式： 如p则q且如q则p,当且仅当,北华航天工业学院-计算机学院 制作,等值式,(1)pqpqqp 条件式的等值式 (2)pq(pq)(qp)(pq)(pq) 双条件 (3)pp 双重否定律 (4)ppppp 幂等律 (5)pq qp，pq qp 交换律 (6) p
2、(qr) (pq) r 结合律p(qr) (pq) r (7) p(qr) (pq)(pr) 分配律p(qr) (pq)(pr) (8) p(pr) p 吸收律(多吃少)p(pr) p (9) (pq) pq 德摩律(pq) pq,北华航天工业学院-计算机学院 制作,置换规则,置换规则：当将公式A中的子公式B换成C得到公式D后，若BC，那么AD。当将一个公式的局部进行等值替换后，仍与原公式等值，这也是数学中最常见的方法，不断对局部进行等值替换的操作，称为“等值演算”。利用该规则及前述的等值式，可进行等值演算，从而推导出新的公式。,北华航天工业学院-计算机学院 制作,等值演算的基本套路,等值演算
3、的基本套路(1)转换 ： ABAB(2)恰当转换 ：AB(AB) (AB)(AB)(AB)确保公式只保留 联结词(3)否定到底 ： A, (AB), (AB)(4)恰当使用分配律、吸收律。,北华航天工业学院-计算机学院 制作,析取范式与合取范式,文字：命题变项(变元)及其否定称为文字.如 : p, q, r, p, q, r简单析取式:仅由有限个文字构成的析取式.如 : pq, pq, pq, p q, pqr 简单合取式:仅由有限个文字构成的合取式.如 : pq, pq, pq, pq, pqr,北华航天工业学院-计算机学院 制作,析取范式与合取范式,析取范式：由有限个简单合取式的析取构成的
4、命题公式。 合取范式：由有限个简单析取式的合取构成的命题公式。,北华航天工业学院-计算机学院 制作,析取范式与合取范式,构造析取范式的一般步骤： (1)转换 ： ABAB(2)恰当转换 ：AB(AB) (AB)(AB)(AB)(3)否定到底 ： A, (AB), (AB)(4)适当使用分配律： A(BC), A(BC).,北华航天工业学院-计算机学院 制作,析取范式与合取范式,(pq) r (pq) r (pq)r)(pq)r) (p r)(qr)(pqr),(pq) r ( (pq)r)( (pq) r) ( (pq)r)( (pq) r) (pq)r)( (pq) r) (pr) (qr)
5、( (pq) r) (pr) (qr)( pq r),北华航天工业学院-计算机学院 制作,析取范式与合取范式,小项：在含有n个变元的简单合取式中,每个命题变元或其否定仅出现一次,且各变元按其字母顺序出现,则该简单合取式为(极)小项。m010 ：pqr 大项：在含有n个变元的简单析取式中,每个命题变元或其否定仅出现一次,且各变元按其字母顺序出现,则该简单析取式为(极)大项。M010：pqr,北华航天工业学院-计算机学院 制作,析取范式与合取范式,主析取范式：一个析取范式中，如果所有简单合取式均为(极)小项，则称为主析取范式。 主合取范式：一个合取范式中，如果所有简单析取式均为(极)大项，则称为主
6、合取范式。,北华航天工业学院-计算机学院 制作,(pq) r的主析取范式、主合取范式,主析取范式 公式值为1的指派对应小项的析取 m001 m011 m100 m111 1变元,0变元否定, 使小项=1 (pqr) (pqr)(pqr)( pqr),北华航天工业学院-计算机学院 制作,(pq) r的主析取范式、主合取范式,主合取式范式 公式值为0的指派对应大项的合取 M000 M010 M101 M110 1变元否定0变元,使大项=0 (pqr)( pqr)( pqr)( pqr),北华航天工业学院-计算机学院 制作,析取范式与合取范式,(pq) r (p r)(qr)(pqr) 不是 (pq
7、r)(pqr)(pqr)(pqr) 是主析取范式 方法：每一项合取(qq) (pq)r (pr)(qr)(pqr) 不是 (pqr) (pqr)(pqr) (pqr) 是主合取范式 方法：每一项析取(qq),北华航天工业学院-计算机学院 制作,【例题】在某班班委的选举中，该班的甲、乙、丙学生预言： 甲说：王娟为班长、刘强为生活委员； 乙说：金鑫为班长、王娟为生活委员； 丙说：刘强为班长、王娟为学习委员； 结果公布后，发现甲、乙、丙三人都恰好对了一半，请问王娟、刘强、金鑫各任何职？ 解：每个人说法对一半”将是一个非常复杂的公式，构造真值表需要要构造这9个变元的真值表，将需要29=512行，工作量
8、实在太大了， ！,析取范式与合取范式,北华航天工业学院-计算机学院 制作,析取范式与合取范式,p1,q1,r1:表示王娟，刘强，金鑫是班长； p2,q2,r2:分别表示王娟，刘强，金鑫是学习委员； p3,q3,r3:分别表示王娟，刘强，金鑫是生活委员； 甲说(p1,q3)对一半：(p1q3)、(p1q3) 乙说(r1,p3)对一半：(r1p3)、(r1p3) 丙说(q1,p2)对一半：(q1p2)、(q1p2),北华航天工业学院-计算机学院 制作,析取范式与合取范式,(p1q3r1p3q1p2) (p1q3r1p3q1p2) (p1q3r1p3q1p2) (p1q3r1p3q1p2) (p1q
9、3r1p3q1p2) (p1q3r1p3q1p2) (p1q3r1p3q1p2) ( p1q3r1p3q1p2),北华航天工业学院-计算机学院 制作,参考“真值表”，设计如下的判断表,北华航天工业学院-计算机学院 制作,推理理论,从已知条件、假设、前提或公理出发，根据推理规则推出结论、定理的过程，称为推理 。 【定义1 】设A与C是两个命题公式，若AC为永真式(重言式)，则称C是A的有效结论，记为AC. 【定义2 】设A与C是两个命题公式，若当A为真时C也为真，则称C是A的有效结论，或称A可以逻辑推出C，记为AC。,北华航天工业学院-计算机学院 制作,推理理论,假言推理（分离原则）：(A(AB
10、) B是重言式 AAB ABA (AB)(BC)(AC),北华航天工业学院-计算机学院 制作,CP规则,例题 求证 (AB)(CD)(BD)AC 即：证(AB)(CD)(BD)(AC)为重言式(AB)(CD)(BD)(AC)(AB)(CD)(BD) (AC)( (AB)(CD)(BD)A)C)(AB)(CD)(BD)A)C)(AB)(CD)(BD)A)C故只需证 (AB)(CD)(BD)A)C为重言式即只需证明(AB)(CD)(BD)AC A从结论中挪到前提中，这种技巧称为附加条件(CP)法，适合于结论为条件式的情形。,北华航天工业学院-计算机学院 制作,CP规则,例题 求证 (AB)(CD)
11、(BD)AC (1)AB为真 前提条件 (2)A为真 附加前提 (3)B为真 (1)(2)及假言推理式(AB)AB (4)BD为真 前提条件 (5)BD为真 (4)及BDBD (6)D为真 (3)(5)及假言推理式(BD)BD (7)CD为真 前提条件 (8)DC为真 (7)及原命题逆否命题 (9)C为真 (6)(8)假言推理式(DC)DC,北华航天工业学院-计算机学院 制作,求证 (WR)V, V(CS),SU,C,UW (1)W为真 假设结论W为0即 W为1(真) (2)W为真 (1)与否定的性质 (3)(WR)为真 (2)与析取的性质 (4)(WR)V为真 前提条件 (5)V为真 (4)
12、(3)假言推理(WR)V)(WR) V (6)V(CS)为真 前提条件 (7) (CS)为真 (5)(6)假言推理(V(CS)V(CS) (8) CS为真 (7)与条件式的等值式CSCS (9)C为真 前提条件 (10)S为真 (8)(9)与假言推理(CS)( C)S (11) SU为真 前提条件 (12)U为真 (10)(11)假言推理(SU)SU (13) U为真 前提条件 显然(12)与(13)矛盾，故假设有误！,北华航天工业学院-计算机学院 制作,证明推理式的规律(1)“析取式”转换为“条件式”，以便可引用假言推理、传递律。(2)如果结论为条件式，则可采用CP规则。(3)如果结论的否定
13、在前提中多次出现，可采 用反证法。,北华航天工业学院-计算机学院 制作,证明(AC)(BC)AB (1) (AC)为真 前提条件 (2) A C为真 与(1)等值 (3) BC为真 前提条件 (4) C B为真 与(3)等值 (5)CB为真 与(4)等值 (6) AB为真 (2)(5)传递律 (7) AB为真 与(6)等值由于(AC(BC)中互补的公式C、C同时消失了，称“AB”为 “(AC)，(BC)”的消解式。,消解规则,北华航天工业学院-计算机学院 制作,2、 p(qr)，q(rs) (pq) s (1) p(qr)为真 前提条件 (2) p (qr)为真 与(1)等值，条件式的等值 (3) p qr为真 与(2)等值，结合律 (4) q(rs)为真 前提条件 (5) q(rs)为真 与(4)等值 (6) qrs为真 与(5)等值，结合律 (7) p qs为真 因为(3)(6)为真，故其消解式为真 (8) (pq) s为真 与(7)等值，德摩律 (9) (pq) s为真 与(8)等值，因为条件式的等值式,北华航天工业学院-计算机学院 制作,题目中的5句话可以用公式表示为：,
